金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含解析

《金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含解析（26頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題三三角函數(shù)與解三角形第一講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)必記公式1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象單調(diào)性在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在k，k(kZ)上單調(diào)遞增對(duì)稱性對(duì)稱中心：(k，0)(kZ)；對(duì)稱軸：xk(kZ)對(duì)稱中心：(kZ)；對(duì)稱軸：xk(kZ)對(duì)稱中心：(kZ)2.三角函數(shù)的兩種常見圖象變換 重要結(jié)論1三角函數(shù)的奇偶性(1)函數(shù)yAsin(x)是奇函數(shù)k(kZ)，是偶函數(shù)k(kZ)；(2)函數(shù)yAcos(x)是奇函數(shù)k(kZ)，是偶函數(shù)k(kZ)；(3)函數(shù)yAtan

2、(x)是奇函數(shù)k(kZ)2三角函數(shù)的對(duì)稱性(1)函數(shù)yAsin(x)的圖象的對(duì)稱軸由xk(kZ)解得，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由xk(kZ)解得；(2)函數(shù)yAcos(x)的圖象的對(duì)稱軸由xk(kZ)解得，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由xk(kZ)解得；(3)函數(shù)yAtan(x)的圖象的對(duì)稱中心由x(kZ)解得失分警示1忽視定義域求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值(值域)以及作圖象等問題時(shí)，要注意函數(shù)的定義域2重要圖象變換順序在圖象變換過程中，注意分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向3忽視A，的符號(hào)在求yAsin(x)的單

3、調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和的符號(hào)，若<0，需先通過誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正的4易忽略對(duì)隱含條件的挖掘，擴(kuò)大角的范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤 考點(diǎn)三角函數(shù)的定義域、值域(最值)典例示法典例1(1)20xx·合肥一模函數(shù)ylg (2sinx1)的定義域是_解析由題意，得即首先作出sinx與cosx表示的角的終邊(如圖所示)由圖可知劣弧和優(yōu)弧的公共部分對(duì)應(yīng)角的范圍是，2k(kZ)所以函數(shù)的定義域?yàn)?kZ)答案(kZ)(2)已知函數(shù)f(x)sin6sinxcosx2cos2x1，xR.求f(x)的最小正周期；求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解f(x)sin2xcos2x3sin2xcos2x2sin2

4、x2cos2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.由知f(x)2sin.因?yàn)閤，所以2x，則sin.所以f(x)在上最大值為2，最小值為2.1三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解2三角函數(shù)值域(最值)的三種求法(1)直接法：利用sinx，cosx的值域(2)化一法：化為yAsin(x)k的形式逐步分析x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值)(3)換元法：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問題針對(duì)訓(xùn)練20xx·天津高考已知函數(shù)f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(

5、x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cos2xsin2xcos2xsin.所以，f(x)的最小正周期T.(2)解法一：因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，f，f，f.所以，f(x)在區(qū)間，上的最大值為，最小值為.解法二：由x得2x，故當(dāng)2x，x時(shí)，f(x)取得最小值為，當(dāng)2x，x時(shí)，f(x)取最大值為.考點(diǎn)三角函數(shù)的性質(zhì)典例示法典例220xx·山東棗莊質(zhì)檢已知函數(shù)f(x)sinsin2cos2，xR(其中0)(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

6、解(1)f(x)sinxcosxsinxcosx(cosx1)212sin1由1sin1，得32sin11，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,1(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，f(x)的周期為，所以，即2.所以f(x)2sin1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)1求解函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)問題的三種意識(shí)(1)轉(zhuǎn)化意識(shí)：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)Asin(x)的形式(2)整體意識(shí)：類比ysinx的性質(zhì)，只需將yAsin(x)中的“x”看成ysinx中的“x”，采用整體代入求解令xk(kZ)，可求得對(duì)稱軸方程令xk(kZ)

7、，可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)將x看作整體，可求得yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間，注意的符號(hào)(3)討論意識(shí)：當(dāng)A為參數(shù)時(shí)，求最值應(yīng)分情況討論A>0，A<0.2求解三角函數(shù)的性質(zhì)的三種方法(1)求單調(diào)區(qū)間的兩種方法代換法：求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A，為常數(shù)，A0，0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，令xz，則yAsinz(或yAcosz)，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間(2)判斷對(duì)稱中心與對(duì)稱軸：利用函數(shù)yAsin(x)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)這一性質(zhì)，通過檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷(3)三角函數(shù)周期的求法利用

8、周期定義利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.利用圖象針對(duì)訓(xùn)練120xx·湖南高考已知0，在函數(shù)y2sinx與y2cosx的圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2，則_.答案解析由題意，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)間的最短距離即相鄰的兩交點(diǎn)間的距離，設(shè)相鄰的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2(x2x1)2(y2y1)2，其中|y2y1|()2，|x2x1|為函數(shù)y2sinx2cosx2sin的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離，恰好為函數(shù)最小正周期的一半，所以(2)22(2)2，.220xx·北京高考設(shè)函數(shù)f(x

9、)Asin(x)(A，是常數(shù)，A>0，>0)若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且fff，則f(x)的最小正周期為_答案解析由f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且ff知，f(x)有對(duì)稱中心，由ff知f(x)有對(duì)稱軸x().記f(x)的最小正周期為T，則T，即T.故，解得T.考點(diǎn)三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用典例示法題型1利用圖象求yAsin(x)的解析式典例3函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖象如圖所示，則，的值分別是()A2， B2，C4， D4，解析從圖中讀出此函數(shù)的周期情況為T·，所以2.又讀出圖中最高點(diǎn)坐標(biāo)為，代入解析式f(x)2sin(2x)，得到22sin，所以2×2k(

10、kZ)，則2k.因?yàn)?lt;<，所以令k0，得到，故選A.答案A題型2函數(shù)yAsin(x)的圖象變換典例420xx·山東高考要得到函數(shù)ysin的圖象，只需將函數(shù)ysin4x的圖象()A向左平移個(gè)單位 B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位解析因?yàn)閥sinsin，所以只需將ysin4x的圖象向右平移個(gè)單位，即可得到函數(shù)ysin的圖象，故選B.答案B題型3函數(shù)yAsin(x)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例520xx·太原一模已知函數(shù)f(x)sin(x)的最小正周期是，若將其圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的圖象()A關(guān)于直線x對(duì)稱 B關(guān)于

11、直線x對(duì)稱C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱解析f(x)的最小正周期為，2，f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到g(x)sinsin的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，k，kZ，k，kZ，又|<，<，k1，f(x)sin，當(dāng)x時(shí)，2x，A，C錯(cuò)誤，當(dāng)x時(shí)，2x，B正確，D錯(cuò)誤答案B本例中條件不變，若平移后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)的圖象又關(guān)于誰對(duì)稱？()答案D解析g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則k，kZ，可求，f(x)sin，2xk，可得x，令k1，則x，故選D.1函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)Asin(x)B的確定方法2.三角函數(shù)圖象平移問題處理策略(1)看平移要求：首先要看題目要求由哪個(gè)函數(shù)平移得

12、到哪個(gè)函數(shù)，這是判斷移動(dòng)方向的關(guān)鍵點(diǎn)(2)看移動(dòng)方向：移動(dòng)的方向一般記為“正向左，負(fù)向右”，看yAsin(x)中的正負(fù)和它的平移要求(3)看移動(dòng)單位：在函數(shù)yAsin(x)中，周期變換和相位變換都是沿x軸方向的，所以和之間有一定的關(guān)系，是初相，再經(jīng)過的壓縮，最后移動(dòng)的單位是.3研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的常用方法(1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在定義域內(nèi)，先化簡三角函數(shù)式，盡量化為yAsin(x)的形式，然后再求解(2)對(duì)于形如yasinxbcosx型的三角函數(shù)，要通過引入輔助角化為ysin(x)，的形式來求 全國卷高考真題調(diào)研120xx·全國卷若將函

13、數(shù)y2sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)答案B解析函數(shù)y2sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y2sin，令2k(kZ)，解得x(kZ)，所以所求對(duì)稱軸的方程為x(kZ)，故選B.220xx·全國卷函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案D解析由圖象可知2m，2m，mZ，所以，2m，mZ，所以函數(shù)f(x)coscos的單調(diào)遞減區(qū)間為2k<x<2k，kZ，即2k<x<2k，kZ，

14、故選D.其它省市高考題借鑒320xx·北京高考將函數(shù)ysin圖象上的點(diǎn)P向左平移s(s>0)個(gè)單位長度得到點(diǎn)P.若P位于函數(shù)ysin2x的圖象上，則()At，s的最小值為Bt，s的最小值為Ct，s的最小值為Dt，s的最小值為答案A解析因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)ysin的圖象上，所以tsinsin.又P在函數(shù)ysin2x的圖象上，所以sin，則22k或22k，kZ，得sk或sk，kZ.又s>0，故s的最小值為.故選A.420xx·陜西高考如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y3sink.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為()A5 B6C8 D1

15、0答案C解析由題圖可知3k2，k5，y3sin5，ymax358.520xx·湖南高考將函數(shù)f(x)sin2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象若對(duì)滿足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，則()A. B.C. D.答案D解析由已知得g(x)sin(2x2)，滿足|f(x1)g(x2)|2，不妨設(shè)此時(shí)yf(x)和yg(x)分別取得最大值與最小值，又|x1x2|min，令2x1，2x22，此時(shí)|x1x2|，又0<<，故，選D.620xx·湖北高考某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)Asin(x)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分

16、數(shù)據(jù)，如下表：x02xAsin(x)0550(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；(2)將yf(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)(>0)個(gè)單位長度，得到y(tǒng)g(x)的圖象若yg(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，求的最小值解(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A5，2，.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：x02xAsin(x)05050且函數(shù)表達(dá)式為f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因?yàn)閥sinx的對(duì)稱中心為(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函數(shù)yg(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，令，解得，kZ.由>0可知，當(dāng)k1時(shí)，取得最小值. 一、選擇題120x

17、x·貴陽監(jiān)測(cè)下列函數(shù)中，以為最小正周期的奇函數(shù)是()Aysin2xcos2x BysinCysin2xcos2x Dysin22xcos22x答案C解析A中，ysin2xcos2xsin，為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)；B中，ysincos4x，為偶函數(shù)，故B錯(cuò)；C中，ysin2xcos2xsin4x，最小正周期為且為奇函數(shù)，故C正確；D中，ysin22xcos22xcos4x ，為偶函數(shù)，故D錯(cuò)，選C.220xx·唐山統(tǒng)考將函數(shù)ycos2xsin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)，則g(x)()A2sin2x B2sin2xC2cos D2sin答案A解析

18、因?yàn)閥cos2xsin2x2sin2sin2x，將其圖象向右平移個(gè)單位長度得到g(x)2sin2sin(2x)2sin2x的圖象，所以選A.320xx·武昌調(diào)研已知函數(shù)f(x)2sin1(0)的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則的最小值是()A3 B.C. D.答案A解析將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到圖象的函數(shù)解析式為2sin12sin1，所以2k，kZ，所以3k，kZ，因?yàn)?，kZ，所以的最小值為3，故選A.420xx·沈陽質(zhì)檢某函數(shù)部分圖象如圖所示，它的函數(shù)解析式可能是()Aysin BysinCysin Dycos答案C解析不妨令該函數(shù)解析式為yAsin(x)

19、(0)，由圖知A1，于是，即，是函數(shù)的圖象遞減時(shí)經(jīng)過的零點(diǎn)，于是×2k，kZ，所以可以是，選C.520xx·廣州模擬已知sin，且，函數(shù)f(x)sin(x)(0)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，則f的值為()A BC. D.答案B解析由函數(shù)f(x)sin(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，得到其最小正周期為，所以2，fsincos.620xx·重慶測(cè)試設(shè)x0為函數(shù)f(x)sinx的零點(diǎn)，且滿足|x0|f33，則這樣的零點(diǎn)有()A61個(gè) B63個(gè)C65個(gè) D67個(gè)答案C解析依題意，由f(x0)sinx00得，x0k，kZ，x0k，kZ.當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，f

20、sinsin1，|x0|f|k|133，|k|34，滿足這樣條件的奇數(shù)k共有34個(gè)；當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，fsinsin1，|x0|f|k|133，|k|32，滿足這樣條件的偶數(shù)k共有31個(gè)綜上所述，滿足題意的零點(diǎn)共有343165個(gè)，選C.二、填空題7函數(shù)f(x)sin(x)(xR)的部分圖象如圖所示，如果x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)_.答案解析由題圖可知，則T，2，又，f(x)的圖象過點(diǎn)，即sin1，得，f(x)sin.而x1x2，f(x1x2)fsinsin.820xx·貴陽監(jiān)測(cè)為得到函數(shù)ysin的圖象，可將函數(shù)ysinx的圖象向左平移m個(gè)單位長度，或向右平移n個(gè)

21、單位長度(m，n均為正數(shù))，則|mn|的最小值是_答案解析由題意可知，m2k1，k1為非負(fù)整數(shù)，n2k2，k2為正整數(shù)，|mn|，當(dāng)k1k2時(shí)，|mn|min.920xx·湖南岳陽質(zhì)檢已知函數(shù)f(x)sin的圖象向左平移個(gè)單位后與函數(shù)g(x)sin的圖象重合，則正數(shù)的最小值為_答案解析將f(x)sin的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)f1(x)sin的圖象又f1(x)sin的圖象與g(x)sinx的圖象重合，故x2kx，kZ.所以12k(kZ)又0，故當(dāng)k1時(shí)，取得最小值，為12.三、解答題1020xx·山東高考已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函數(shù)f(x)

22、a·b，且yf(x)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn).(1)求m，n的值；(2)將yf(x)的圖象向左平移(0)個(gè)單位后得到函數(shù)yg(x)的圖象，若yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題意知f(x)a·bmsin2xncos2x.因?yàn)閥f(x)的圖象過點(diǎn)和，所以即解得(2)由(1)知f(x)sin2xcos2x2sin.由題意知g(x)f(x)2sin.設(shè)yg(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)，由題意知x11，所以x00，即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2)將其代入yg(x)得sin1，因?yàn)?，所以，因此g(x)2

23、sin2cos2x.由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.1120xx·天津五區(qū)縣調(diào)考已知函數(shù)f(x)sinxcosxcos2x(xR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位長度，得到g(x)的圖象，求函數(shù)yg(x)在x0，上的最大值及最小值解(1)f(x)sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin由2k2x2k得kxk(kZ)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)(2)函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位，得g(x)sin，因

24、為x0，得：x，所以sin所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)sin有最小值，當(dāng)x時(shí)，g(x)sin有最大值1.1220xx·福建質(zhì)檢已知函數(shù)f(x)sinxcosxcos2x.(1)若tan2，求f()的值；(2)若函數(shù)yg(x)的圖象是由函數(shù)yf(x)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度而得到，且g(x)在區(qū)間(0，m)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值解(1)因?yàn)閠an2，所以f()sincoscos2sincos(2cos21)sincoscos2.(2)由已知得f(x)sin2xcos2xsin.依題意，得g(x)sin，即g(x)sin.因?yàn)閤(0，m)，所以2x.又因?yàn)間(x)在區(qū)間(0，m)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以2m，即m，故實(shí)數(shù)m的最大值為.