高中數(shù)學人教版A版必修一學案：第三單元 章末復習課 Word版含答案

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1、（人教版）精品數(shù)學教學資料 章末復習課 網絡構建 核心歸納 1．函數(shù)的零點與方程的根的關系 函數(shù)f(x)的零點就是方程f(x)＝0的解，函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)與方程f(x)＝0的解的個數(shù)相等，也可以說方程f(x)＝0的解就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，即函數(shù)f(x)的函數(shù)值等于0時自變量x的取值． 因此方程的解的問題可以轉化為函數(shù)問題來解決．討論方程的解所在的大致區(qū)間可以轉化為討論函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間，討論方程的解的個數(shù)可以轉化為討論函數(shù)的零點的個數(shù)． 2．函數(shù)零點的存在性定理 (1)該定理的條件是：①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的

2、；②f(a)f(b)<0，即f(a)和f(b)的符號相反．這兩個條件缺一不可． (2)該定理的結論是“至少存在一個零點”，僅僅能確定函數(shù)零點是存在的，但是不能確定函數(shù)零點的個數(shù)． 3．函數(shù)應用 (1)要解決函數(shù)應用問題，首先要增強應用函數(shù)的意識．一般來說，解決函數(shù)應用問題可分三步：第一步，理解題意，弄清關系；第二步，抓住關鍵，建立模型；第三步，數(shù)學解決、檢驗模型．其中第二步尤為關鍵． (2)在解題中要充分運用數(shù)形結合、轉化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想及策略，尋求解題途徑． (3)根據已知條件建立函數(shù)解析式是函數(shù)應用的一個重要方面．一般分為兩類：一類是借助于生活經驗、函數(shù)知識等建立函數(shù)

3、模型，以二次函數(shù)模型為主，一般是求二次函數(shù)的最值．另一類是根據幾何、物理概念建立函數(shù)模型． 要點一　函數(shù)的零點與方程的根 　函數(shù)的零點與方程的根的關系及應用 1．函數(shù)的零點與方程的根的關系：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． 2．確定函數(shù)零點的個數(shù)有兩個基本方法：利用圖象研究與x軸的交點個數(shù)或轉化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)進行判斷． 【例1】　(1)函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)是________． (2)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________． 解析　(1)①當x≤0時，由f(x)＝0，即

4、x2－2＝0，解得x＝或x＝－.因為x≤0，所以x＝－. ②法一　(函數(shù)單調性法)當x>0時，f(x)＝2x－6＋ln x. 而f(1)＝21－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝23－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)f(3)<0，又函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的，故由零點存在性定理，可得函數(shù)f(x)在(1,3)內至少有一個零點．而函數(shù)y＝2x－6在(0，＋∞)上單調遞增，y＝ln x在(0，＋∞)上單調遞增，所以函數(shù)f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上單調遞增． 故函數(shù)f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)內有且只有1個零點．綜上，函數(shù)f(x)共有2個零點． 法二　(數(shù)

5、形結合法)當x>0時，由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0， 即ln x＝6－2x. 如圖，分別作出函數(shù)y＝ln x和y＝6－2x的圖象． 顯然，由圖可知，兩函數(shù)圖象只有一個交點，且在y軸的右側，故當x>0時，f(x)＝0只有一個解． 綜上，函數(shù)f(x)共有2個零點． (2)由f(x)＝0得|2x－2|＝b，在同一坐標系中作出函數(shù)y＝|2x－2|和y＝b的圖象，如圖所示，由圖可知0

6、下列結論中正確的是(　　) A．此方程無實根 B．此方程有兩個互異的負實根 C．此方程有兩個異號實根 D．此方程僅有一個實根 解析　由常數(shù)a，b同號，b，c異號，可得a，c異號，令2x＝t，則方程變?yōu)閍t2＋bt＋c＝0，t>0，由于此方程的判別式Δ＝b2－4ac>0，故此方程有2個不等實數(shù)根，且兩根之積為<0，故關于t的方程只有一個實數(shù)根，故關于x的方程只有一個實數(shù)根． 答案　D 要點二　二分法求方程的近似解(或函數(shù)的零點) 1．二分法求方程的近似解的步驟 (1)構造函數(shù)，轉化為求函數(shù)的零點． (2)明確精確度和函數(shù)的零點所在的區(qū)間(最好區(qū)間左右端點相差1)． (3)利

7、用二分法求函數(shù)的零點． (4)歸納結論． 2．使用二分法的注意事項 (1)二分法的實質是通過“取中點”，不斷縮小零點所在區(qū)間的范圍，所以要選好計算的初始區(qū)間，保證所選區(qū)間既符合條件，又使區(qū)間長度盡量小． (2)計算時注意依據給定的精確度，及時檢驗計算所得的區(qū)間是否滿足精確度的要求． (3)二分法在具體使用時有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一個零點，其次f(x)在(a，b)內有不變號零點時，不能用二分法求得． 【例2】　設函數(shù)f(x)＝x3＋3x－5，其圖象在(－∞，＋∞)上是連續(xù)不斷的． 先求值：f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝______

8、__，f(3)＝________. 所以f(x)在區(qū)間________內存在一個零點x0，填下表， 區(qū)間 中點m f(m)符號 區(qū)間長度 結論x0的值為多少？(精確度0.1) 解　f(0)＝－5，f(1)＝－1， f(2)＝9，f(3)＝31， 所以初始區(qū)間為(1,2). 區(qū)間 中點m f(m)符號 區(qū)間長度 (1,2) 1.5 ＋ (1,1.5) 1.25 ＋ 0.5 (1,1.25) 1.125 － 0.25 (1.125,1.25) 1.187 5 ＋ 0.125

9、 (1.125,1.187 5) 0.062 5 因為|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1， 所以x0≈1.125(不唯一)． 【訓練2】　若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165. 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根可以為(精確度為0.1)(　　) A．1.2　　　 B．1.35　　　 C．1.43　　 D．1.5 解析　∵f(1.438)＝0.165>0，f

10、(1.375)＝－0.260<0，∴函數(shù)f(x)在(1.375,1.438)內存在零點，又1.438－1.375<0.1，結合選項知1.43為方程f(x)＝0的一個近似根． 答案　C 要點三　函數(shù)的實際應用 1．建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題的步驟 (1)對實際問題進行抽象概括，確定變量之間的主被動關系，并用x，y分別表示． (2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時要注意函數(shù)的定義域． (3)求解函數(shù)模型，并還原為實際問題的解． 2．建模的三個原則 (1)簡化原則：建立模型，要對原型進行一定的簡化，抓主要因素、主變量，盡量建立較低階、較簡便的模型． (2)可推演原則：

11、建立的模型一定要有意義，既能對其進行理論分析，又能計算和推理，且能推演出正確結果． (3)反映性原則：建立的模型必須真實地反映原型的特征和關系，即應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明現(xiàn)實問題的功能，能回到具體研究對象中去解決問題． 【例3】　某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產產品x(百臺)，其總成本為G(x)(萬元)，其中固定成本為2.8萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元(總成本＝固定成本＋生產成本)．銷售收入R(x)(萬元)滿足R(x)＝ 假定該產品產銷平衡(即生產的產品都能賣掉)，根據上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題： (1)寫出

12、利潤函數(shù)y＝f(x)的解析式(利潤＝銷售收入－總成本)； (2)要使工廠有盈利，求產量x的取值范圍； (3)工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多？ 解　(1)由題意得G(x)＝2.8＋x. ∴f(x)＝R(x)－G(x)＝ (2)①當0≤x≤5時，由－0.4x2＋3.2x－2.8>0得x2－8x＋7<0，解得15時，由8.2－x>0，得x<8.2， 所以50. 即當產量x大于100臺，小于820臺時，能使工廠有盈利． (3)當0≤x≤5時，函數(shù)f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 當x＝4

13、時，f(x)有最大值為3.6； 當x>5時，∵函數(shù)f(x)單調遞減， ∴f(x)