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1、◆+◆◆二〇一九中考數(shù)學學習資料◆+◆◆
第16講 等腰、等邊及直角三角形
一、 知識清單梳理
知識點一：等腰和等邊三角形
關鍵點撥與對應舉例
1.等腰三角形
（1）性質
①等邊對等角：兩腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高
互相重合;
③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，直線AD是對稱軸.
（2）判定
①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
②等角對等邊：即若∠B＝∠C，則△ABC是等腰三角形.
（1）三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個條件中，只要滿足其中兩個，
2、其余均成立. 如：如左圖，已知AD⊥BC,D為BC的中點，則三角形的形狀是等腰三角形.
失分點警示：當?shù)妊切蔚难偷撞幻鞔_時，需分類討論. 如若等腰三角形ABC的一個內角為30，則另外兩個角的度數(shù)為30、120或75、75.
2.等邊三角形
（1）性質
①邊角關系：三邊相等，三角都相等且都等于60.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60；
②對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對稱軸.
（2）判定
①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等（均為60）的三角形是等邊三角形；
③任一內角為60的等腰三角形
3、是等邊三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60，則△ABC是等邊三角形.
（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質.
（2）等邊三角形有一個特殊的角60，所以當?shù)冗吶切纬霈F(xiàn)高時，會結合直角三角形30角的性質，即BD=1/2AB.
例：△ABC中，∠B=60，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長為9.
知識點二 ：角平分線和垂直平分線
3.角平分線
（1）性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則PA＝PB.
（2）判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的角平
分線上．
例：如圖，△ABC中，
4、∠C=90，∠A=30，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，CD=2，則AC=6.
4.垂直平分線圖形
（1）性質：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點距離相等．即若OP垂直且平分AB，則PA＝PB.
（2）判定：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
知識點三：直角三角形的判定與性質
5.直角三角形的性質
(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90；
(2) 30角所對的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30則AC＝AB；
(3) 斜邊上的中線長等于斜邊長的一半．即若CD是中線，則CD＝AB.
(4) 勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于
5、斜邊c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
（1）直角三角形的面積S=1/2ch=1/2ab(其中a,b為直角邊，c為斜邊，h是斜邊上的高)，可以利用這一公式借助面積這個中間量解決與高相關的求長度問題.
（2）已知兩邊，利用勾股定理求長度，若斜邊不明確，應分類討論.
（3）在折疊問題中，求長度，往往需要結合勾股定理來列方程解決.
6.直角三角形的判定
(1) 有一個角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90，則△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，則△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，則△ABC是Rt△.
【冀教版】中考數(shù)學：知識清單梳理 第16講等腰、等邊及直角三角形
