金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第一編 數(shù)學(xué) 思想方法 第四講轉(zhuǎn)化與化歸思想 Word版含解析

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1、 第四講轉(zhuǎn)化與化歸思想思想方法解讀 考點(diǎn)特殊與一般的轉(zhuǎn)化典例1(1)過(guò)拋物線yax2(a0)的焦點(diǎn)F，作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)度分別為p，q，則等于()A2a B.C4a D.解析拋物線yax2(a0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y(a0)焦點(diǎn)F，取過(guò)焦點(diǎn)F的直線垂直于y軸，則|PF|QF|，所以4a.答案C(2)20xx廈門模擬如圖，P為橢圓1上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)A、上頂點(diǎn)B分別作y軸、x軸的平行線，它們相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)P引BC，AC的平行線交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)D，E，記矩形PMCN的面積為S1，三角形PDE的面積S2，則S1S2()A1

2、B2C. D.解析由點(diǎn)P為橢圓第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則可設(shè)點(diǎn)P為特殊點(diǎn)，易求得S1S2，故選A.答案A特殊與一般的轉(zhuǎn)化步驟特殊與一般轉(zhuǎn)化法是在解決問(wèn)題過(guò)程中將某些一般問(wèn)題進(jìn)行特殊化處理或?qū)⒛承┨厥鈫?wèn)題進(jìn)行一般化處理的方法這類轉(zhuǎn)化法一般的解題步驟是：第一步，確立需轉(zhuǎn)化的目標(biāo)問(wèn)題：一般將要解決的問(wèn)題作為轉(zhuǎn)化目標(biāo)第二步，尋找“特殊元素”與“一般元素”：把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題時(shí)，尋找“特殊元素”；把特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般問(wèn)題時(shí)，尋找“一般元素”第三步，確立新目標(biāo)問(wèn)題：根據(jù)新確立的“特殊元素”或者“一般元素”，明確其與需要解決問(wèn)題的關(guān)系，確立新的需要解決的問(wèn)題第四步，解決新目標(biāo)問(wèn)題：在新的板塊知識(shí)背景下用

3、特定的知識(shí)解決新目標(biāo)問(wèn)題第五步，回歸目標(biāo)問(wèn)題第六步，回顧反思：常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等對(duì)于選擇題，當(dāng)題設(shè)在普通條件下都成立時(shí)，用特殊值進(jìn)行探求，可快捷地得到答案；對(duì)于填空題，當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案【針對(duì)訓(xùn)練1】(1)20xx成都模擬在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列的前11項(xiàng)和S11()A58 B88C143 D176答案B解析解法一：由a4a816，可令a4a88，即數(shù)列an為常數(shù)列，易得S1188，故選B.解法二：a4a8162a6，得a68，又S111

4、1a688，故選B.(2)已知f(x)，則f(20xx)f(20xx)f(0)f(1)f(20xx)_.答案20xx解析f(x)f(1x)1，f(0)f(1)1，f(20xx)f(20xx)1，f(20xx)f(20xx)f(0)f(1)f(20xx)20xx.考點(diǎn)函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化典例2已知函數(shù)f(x)ex，a，bR，且a0.(1)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，試求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)a(x1)exf(x)，g(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)若存在x0(1，)，使g(x0)g(x0)0成立，求的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)f(x)ex

5、，由題知即解得a2，b1，所以函數(shù)f(x)ex(x0)此時(shí)f(x)exex，令f(x)0得x，令f(x)0得1x0或0x1)則u(x)6ax26ax2b6ax(x1)2b2b，當(dāng)b0時(shí)，u(x)0，此時(shí)u(x)在(1，)上單調(diào)遞增，因此u(x)u(1)ab.因?yàn)榇嬖趚0(1，)，使2ax3ax2bx0b0成立，所以只要ab0即可，此時(shí)10時(shí)，令u(x)b，解得x11，x2(舍去)，x30(舍去)，得u(x1)b0，又u(1)ab1，使2ax3ax2bx0b0成立，此時(shí)0.綜上有的取值范圍為(1，)函數(shù)、方程與不等式相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問(wèn)題需要函

6、數(shù)幫助，解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，一般可將不等關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值(值域)問(wèn)題，從而求出參變量的范圍【針對(duì)訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)3e|x|.若存在實(shí)數(shù)t1，)，使得對(duì)任意的x1，m，mZ且m1，都有f(xt)3ex，則m的最大值為_(kāi)答案3解析因?yàn)楫?dāng)t1，)且x1，m時(shí)，xt0，所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)t1，)，使得不等式t1ln xx對(duì)任意x1，m恒成立令h(x)1ln xx(x1)因?yàn)閔(x)10，所以函數(shù)h(x)在1，)上為減函數(shù)，又x1，m，所以h(x)minh(

7、m)1ln mm.所以要使得對(duì)任意x1，m，t值恒存在，只需1ln mm1.因?yàn)閔(3)ln 32ln ln 1，h(4)ln 43ln ln 1，且函數(shù)h(x)在1，)上為減函數(shù)，所以滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.考點(diǎn)正難則反的轉(zhuǎn)化典例3若對(duì)于任意t1,2，函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x，當(dāng)x(t,3)時(shí)恒成立，m43t恒成立，則m41，即m5；由得m43x當(dāng)x(t,3

8、)時(shí)恒成立，則m49，即m.使函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為m5.答案mx2的區(qū)域內(nèi)，則2，整理得(2k1)(6k22k1)0，解得k.因此當(dāng)k時(shí)，拋物線yx2上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線yk(x3)對(duì)稱，于是當(dāng)k時(shí)，拋物線yx2上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線yk(x3)對(duì)稱所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選D.考點(diǎn)常量與變量的轉(zhuǎn)化典例4已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)若對(duì)滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)解析由題意知，g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.對(duì)1a1，恒有g(shù)(x)0，即(

9、a)0，即解得x1.故當(dāng)x時(shí)，對(duì)滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)1，即a2時(shí)，函數(shù)y2a在t0,1上單調(diào)遞增，t1時(shí)，函數(shù)有最大值ymaxaa1，解得a2(舍去)；當(dāng)01，即0a2時(shí)，t函數(shù)有最大值，ymaxa1，解得a或a4(舍去)；當(dāng)0，即a0(舍去)，綜上所述，存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)有最大值換元法的主要應(yīng)用換元法的特點(diǎn)是通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，把陌生的形式轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ男问礁咧袛?shù)學(xué)中主要換元法有整體換元、三角換元、對(duì)稱換元、均值換元等等換元法應(yīng)用廣泛，如解方程、解不等式、證明不等式、求函數(shù)的值域、求數(shù)列的通項(xiàng)與和等，在解析幾何中也有廣泛的應(yīng)用解題過(guò)程中要注意換元后新變量的取值范圍【針對(duì)訓(xùn)練5】求函數(shù)f(x)24asinxcos2x的最大值和最小值解f(x)24asinx(12sin2x)2sin2x4asinx12(sinxa)212a2.設(shè)sinxt，則1t1，并且yg(t)2(ta)212a2.當(dāng)a1時(shí)，如圖，有y最大g(1)34a，y最小g(1)34a；當(dāng)1a1時(shí)，有y最小g(a)12a2，y最大為g(1)和g(1)中的較大者，即y最大34a(1a0)，或y最大34a(01時(shí)，有y最大g(1)34a，y最小g(1)34a.