數(shù)學中考:第五單元 第18課時 二次函數(shù)的應用

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1、2019 屆數(shù)學中考復習資料第 18 課時二次函數(shù)的應用(60 分)一、選擇題(每題 6 分,共 12 分)1圖 181是圖中拱形大橋的示意圖,橋拱與橋面的交點為 O,B,以點 O為原點,水平直線 OB 為 x 軸,建立平面直角坐標系,橋的拱形可以近似看成拋物線 y1400(x80)216, 橋拱與橋墩 AC 的交點 C 恰好在水面, 且有ACx 軸,若 OA10 m,則橋面離水面的高度 AC 為(B)圖 181A16940mB.174mC16740mD.154m【解析】 ACx 軸,OA10 m,點 C 的橫坐標為10.當 x10 時,y1400(x80)2161400(1080)21617

2、4,點 C 的坐標為10,174 ,橋面離水面的高度 AC 為174m.22017臨沂足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出,足球飛行的路線是一條拋物線,不考慮空氣阻力,足球距離地面的高度 h(單位:m)與足球被踢出后經(jīng)過的時間 t(單位:s)之間的關(guān)系如下表:t01234567h0814182020184下列結(jié)論:足球距離地面的最大高度為 20 m;足球飛行路線的對稱軸是直線 t92;足球被踢出 9 s 時落地;足球被踢出 1.5 s 時,距離地面的高度是 11 m其中正確結(jié)論的個數(shù)是(B)A1B2C3D4【解析】 利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)表達式;將函數(shù)表達式配方成頂點式可得對稱軸

3、和足球距離地面的最大高度;求出 h0 時 t 的值,即可得足球的落地時間;求出 t1.5 s 時 h 的值,即可對作出判斷由表格可知拋物線過點(0,0),(1,8),(2,14),設該拋物線的表達式為 hat2bt,將點(1,8), (2, 14)分別代入, 得ab8,4a2b14,解得a1,b9.ht29tt922814,則足球距離地面的最大高度為814m,對稱軸是直線 t92,錯誤、正確;ht29t0,當 h0 時,t0 或 9,正確;當 t1.5 s 時,ht29t11.25,錯誤綜上所述,正確結(jié)論的個數(shù)是 2.二、填空題(每題 6 分,共 18 分)32016臺州豎直上拋的小球離地高度

4、是它運動時間的二次函數(shù),小軍相隔 1 s依次豎直向上拋出兩個小球,假設兩個小球離手時離地高度相同,在各自拋出后 1.1 s 時到達相同的最大離地高度,第一個小球拋出后 t(s)時在空中與第2 個小球的離地高度相同,則 t_1.6_s.【解析】 設各自拋出后 1.1 s 時到達相同的最大離地高度為 h,則小球的高度ya(t1.1)2h,由題意,得 a(t1.1)2ha(t11.1)2h,解得 t1.6.故第一個小球拋出后 1.6 s 時在空中與第二個小球的離地高度相同4 如圖 182, 在ABC 中, B90, AB12 mm,BC24 mm,動點 P 從點 A 開始沿邊 AB 向點 B 以2

5、mm/s 的速度移動(不與點 B 重合),動點 Q 從點 B開始沿邊BC向點C以4 mm/s的速度移動(不與點C重合)如果 P,Q 分別從 A,B 同時出發(fā),那么經(jīng)過_3_s,四邊形 APQC 的面積最小【解析】 設經(jīng)過 t s, 四邊形面積最小, S四邊形APQC12122412(122t)4t4t224t144(0t6),當 tb2a24243 時,S四邊形APQC最小52017溫州小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖 183),完全開啟后,水流路線呈拋物線,把手端點 A,出水口 B 和落水點 C 恰好在同一直圖 182線上,點 A 至出水管 BD 的距離為 12 cm,洗手盆及水龍

6、頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示,現(xiàn)用高 10.2 cm 的圓柱型水杯去接水,若水流所在拋物線經(jīng)過點 D和杯子上底面中心 E,則點 E 到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離 EH 為_248 2_圖 183【解析】建立如答圖所示的直角坐標系, 過 A 作 AGOC于 G,交 BD 于 Q,過 M 作 MPAG 于 P,由題可得 AQ12,PQMD6,故 AP6,AG36,在 RtAPM中,MP8,DQ8OG,BQ1284.由 BQCG可得ABQACG,BQCGAQAG,即4CG1236,解得 CG12,則 OC12820,C(20,0)又水流所在拋物線經(jīng)過點 D(0,24),可設拋物線表達式為 yax2bx24,把 C(2

7、0,0),B(12,24)代入,可得24144a12b24,0400a20b24,解得a320,b95,拋物線為 y320 x295x24,令 y10.2,解得 x168 2,x268 2(舍去),點 E 的橫坐標為 68 2,又ON30,EH30(68 2)248 2.三、解答題(共 30 分)6(15 分)2016郴州某商店原來平均每天可銷售某種水果 200 kg,每千克可盈利 6 元,為減少庫存,經(jīng)市場調(diào)查,如果這種水果每千克降價 1 元,則每天可多售出 20 kg.第 5 題答圖(1)設每千克水果降價 x 元,平均每天盈利 y 元,試寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達式;(2)若要平均每天

8、盈利 960 元,則每千克應降價多少元?解:(1)根據(jù)題意,得y(20020 x)(6x)20 x280 x1 200.(2)令 y960,則96020 x280 x1 200,即 x24x120,解得 x2 或6(舍去)答:若要平均每天盈利 960 元,則每千克應降價 2 元7(15 分)2016南京如圖 184 是拋物線形拱橋,P 處有一照明燈,水面 OA寬 4 m,從 O,A 兩處觀測 P 處,仰角分別為,且 tan12,tan32,以 O 為原點,OA 所在直線為 x 軸建立直角坐標系圖 184第 7 題答圖(1)求點 P 的坐標;(2)水面上升 1 m 后,水面寬多少( 2 取 1.

9、41,結(jié)果精確到 0.1 m)?解:(1)如答圖,過點 P 作 PHOA 于點 H,設 PH3x,在 RtOHP 中,tanPHOH12,OH6x.在 RtAHP 中,tanPHAH32,AH2x,OAOHAH8x4,x12,OH3,PH32,點 P 的坐標為3,32 ;(2)如答圖,若水面上升 1 m 后到達 BC 位置,過點 O(0,0),A(4,0)的拋物線的表達式可設為 yax(x4),點 P3,32 在拋物線 yax(x4)上,代入得 3a(34)32,解得 a12,拋物線的表達式為 y12x(x4)當 y1 時,12x(x4)1,解得 x12 2,x22 2,BC(2 2)(2 2

10、)2 22.8(m)答:水面上升 1 m 后,水面寬約為 2.8 m.(25 分)8(10 分)2017德州隨著新農(nóng)村的建設和舊城的改造,我們的家園越來越美麗小明家附近的廣場中央新修了個圓形噴水池(如圖 185),在水池中心豎直安裝了一根高為 2 m 的噴水管,它噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為 1 m 處達到最高,水柱落地處離池中心 3 m.圖 185(1)請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,求出水柱拋物線的函數(shù)表達式;(2)水柱的最大高度是多少?【解析】(1)由于題目所給數(shù)據(jù)均與水池中心相關(guān), 故可選取水池中心為原點,原點與水柱落地點所在直線為 x 軸,水管所在直線為 y 軸,建立平面直

11、角坐標系,再利用頂點式求解函數(shù)關(guān)系式;(2)拋物線的頂點縱坐標即為水柱的最大高度解:(1)如答圖,以水管與地面交點為原點,原點與水柱落地點所在直線為 x 軸,水管所在直線為 y 軸,建立平面直角坐標系由題意可設拋物線的函數(shù)表達式為 ya(x1)2h(0 x3)第 8 題答圖拋物線過點(3, 0)和(0, 2), 代入拋物線表達式, 可得4ah0,ah2,解得a23,h83.拋物線表達式為 y23(x1)283(0 x3),化為一般式為 y23x243x2(0 x3);(2)由(1)知拋物線表達式為 y23(x1)283,當 x1 時,y83.答:水柱的最大高度為83m.9(15 分)2017成

12、都隨著地鐵和共享單車的發(fā)展, “地鐵單車”已成為很多市民出行的選擇, 李華從文化宮站出發(fā), 先乘坐地鐵, 準備在離家較近的 A, B,C,D 中的某一站出地鐵,再騎共享單車回家,設他出地鐵的站點與文化宮距離為 x(單位:km),乘坐地鐵的時間 y1(單位:min)是關(guān)于 x 的一次函數(shù),其關(guān)系如下表:地鐵站ABCDEx(km)y1(min)(1)求 y1關(guān)于 x 的函數(shù)表達式;(2)李華騎單車的時間 y2(單位: min)也受 x 的影響, 其關(guān)系可以用 y212x211x78 來描述,請問:李華應選擇在哪一站出地鐵,才能使他從文化宮回到家里所需的時間最短?并求出最短時間解:(1)設乘坐地鐵的

13、時間 y1關(guān)于 x 的一次函數(shù)是 y1kxb,把 x8,y118;x10,y122 代入,得188kb,2210kb,解得k2,b2,y1關(guān)于 x 的函數(shù)表達式是 y12x2;(2)設回家所需的時間為 y,則 yy1y2,即 y2x212x211x7812x29x8012(x9)2792,當 x9 時,y最小792(min)答:李華選擇從 B 地鐵口出站,騎單車回家的時間最短,最短時間為792min.(15 分)10(15 分)2017嘉興如圖 186,某日的錢塘江觀潮信息如下表:2017 年月日,天氣:陰;能見度:1.8 km.11:40 時,甲地“交叉潮”形成,潮水勻速奔向乙地;12:10

14、 時,潮頭到達乙地,形成“一線潮”,開始均勻加速,繼續(xù)向西;12:35 時,潮頭到達丙地,遇到堤壩阻擋后回頭,形成“回頭潮”圖 186按上述信息,小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離 s(km)與時間t(min)的函數(shù)關(guān)系用圖表示,其中:“11:40 時甲地交叉潮的潮頭離乙地 12 km” 記為點 A(0, 12), 點 B 坐標為(m, 0), 曲線 BC 可用二次函數(shù) s1125t2btc(b,c 是常數(shù))刻畫(1)求 m 的值,并求出潮頭從甲地到乙地的速度;(2)11:59 時,小紅騎單車從乙地出發(fā),沿江邊公路以 0.48 km/min 的速度往甲地方向去看潮,問她幾分鐘后與潮頭相

15、遇?(3)相遇后,小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭,沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行,但潮頭過乙地后均勻加速,而單車最高速度為 0.48 km/min,小紅逐漸落后,問小紅與 潮 頭 相 遇 到 落 后 潮 頭1.8km共 需 多 長 時 間 ?潮水加速階段速度 vv02125(t30) ,v0是加速前的速度解:(1)由題意可知:m30,B(30,0),潮頭從甲地到乙地的速度為12300.4(km/min);(2)潮頭的速度為 0.4 km/min,到 11:59 時,潮頭已前進 190.47.6(km),設小紅出發(fā) x min 與潮頭相遇,0.4x0.48x127.6,解得 x5,小紅 5 min 與潮頭相遇

16、;(3)把 B(30,0),C(55,15)代入 s1125t2btc,解得 b225,c245,s1125t2225t245.v00.4,v2125(t30)25,當潮頭的速度達到單車最高速度 0.48 km/min,0.482125(t30)25,解得 t35.此時,s1125t2225t245115.從 t35 min(12:15 時)開始,潮頭快于小紅速度奔向丙地,小紅逐漸落后,但小紅仍以 0.48 km/min 的速度勻速追趕潮頭設她離乙地的距離為 s1,則 s1與時間 t 的函數(shù)關(guān)系式為 s10.48th(t35),當 t35 時,s1s115,代入可得 h735,s11225t735.最后潮頭與小紅相距 1.8 km 時,即 ss11.8,1125t2225t2451225t7351.8,解得 t50 或 20(不符合題意,舍去),小紅與潮頭相遇后,按潮頭速度與潮頭并行到達乙地用時 6 min,共需要時間為 6503026(min)答:小紅與潮頭相遇到潮頭離她 1.8 km 外共需要 26 min.

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