《高三數(shù)學第22練 利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題練習》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高三數(shù)學第22練 利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題練習(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第22練 利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題訓練目標(1)利用導數(shù)處理與函數(shù)零點有關的題型;(2)解題步驟的規(guī)范訓練訓練題型(1)利用導數(shù)討論零點的個數(shù);(2)利用導數(shù)證明零點的唯一性;(3)根據(jù)零點個數(shù)借助導數(shù)求參數(shù)范圍解題策略(1)注重數(shù)形結合;(2)借助零點存在性定理處理零點的存在性問題;結合單調性處理零點的唯一性問題;(3)注意參變量分離.1.設a1,函數(shù)f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的單調區(qū)間;(2)證明:f(x)在(,)上僅有一個零點2函數(shù)f(x)x3kx,其中實數(shù)k為常數(shù)(1)當k4時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)若曲線yf(x)與直線yk只有一個交點,求實數(shù)k的取值范圍3(20
2、xx貴陽調研)已知函數(shù)f(x)(a0)(1)當a1時,求函數(shù)f(x)的極值;(2)若函數(shù)F(x)f(x)1沒有零點,求實數(shù)a的取值范圍4.設函數(shù)f(x)(xa)ln x,g(x). 已知曲線yf(x) 在點(1,f(1)處的切線與直線2xy0平行(1)求a的值;(2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)g(x)在(k,k1)內存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請說明理由5已知函數(shù)f(x)(xa)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),aR.(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)當a1,f(0)2aeaa2aaa0,f(0)f(a)0,f(x)在(0,a)上有一個零點,又f(x)在(,)上遞增,f
3、(x)在(0,a)上僅有一個零點,f(x)在(,)上僅有一個零點2解(1)因為f(x)x2k,當k4時,f(x)x24,令f(x)x240,所以x12,x22.f(x)、f(x)隨x的變化情況如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)?極大值?極小值?所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(,2),(2,);單調遞減區(qū)間是(2,2)(2)令g(x)f(x)k,由題意知,g(x)只有一個零點因為g(x)f(x)x2k.當k0時,g(x)x3,所以g(x)只有一個零點0.當k0對xR恒成立,所以g(x)單調遞增,所以g(x)只有一個零點當k0時,令g(x)f(x)x2k0,解得x1或x2.
4、g(x),g(x)隨x的變化情況如下表:x(,)(,)(,)g(x)00g(x)?極大值?極小值?g(x)有且僅有一個零點等價于g()0,即kk0,解得0k.綜上所述,k的取值范圍是k.3解(1)當a1時,f(x),f(x).由f(x)0,得x2.當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,2)2(2,)f(x)0f(x)?極小值?所以,函數(shù)f(x)的極小值為f(2),函數(shù)f(x)無極大值(2)F(x)f(x).當a0,解得ae2,所以此時e2a0.故實數(shù)a的取值范圍為(e2,0)4解(1)由題意知,曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線斜率為2,所以f(1)2,又f(x)ln x
5、1,所以a1.(2)當k1時,方程f(x)g(x)在(1,2)內存在唯一的根設h(x)f(x)g(x)(x1)ln x,當x(0,1時,h(x)110,所以存在x0(1,2),使得h(x0)0.因為h(x)ln x1,所以當x(1,2)時,h(x)10,當x2,)時,h(x)0,所以當x(1,)時,h(x)單調遞增,所以當k1時,方程f(x)g(x)在(k,k1)內存在唯一的根5解(1)因為f(x)(xa)ex,xR,所以f(x)(xa1)ex.令f(x)0,得xa1.當x變化時,f(x)和f(x)的變化情況如下:x(,a1)a1(a1,)f(x)0f(x)?極小值?故f(x)的單調遞減區(qū)間為
6、(,a1),單調遞增區(qū)間為(a1,)(2)結論:函數(shù)g(x)有且僅有一個零點理由如下:由g(x)f(xa)x20,得方程xexax2,顯然x0為此方程的一個實數(shù)解,所以x0是函數(shù)g(x)的一個零點當x0時,方程可化簡為exax.設函數(shù)F(x)exax,則F(x)exa1,令F(x)0,得xa.當x變化時,F(xiàn)(x)和F(x)的變化情況如下:x(,a)a(a,)F(x)0F(x)?極小值?即F(x)的單調遞增區(qū)間為(a,),單調遞減區(qū)間為(,a)所以F(x)的最小值F(x)minF(a)1a.因為a0,所以對于任意xR,F(xiàn)(x)0,因此方程exax無實數(shù)解所以當x0時,函數(shù)g(x)不存在零點綜上,函數(shù)g(x)有且僅有一個零點