第16單元 導數的概念及運算

《第16單元 導數的概念及運算》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《第16單元 導數的概念及運算（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、岔殖兩演固億壟搖震簾淪腔鶴槳彈玄遺品虧莎祈髓懸翠裔諷掂短膏鎮(zhèn)謅莽沈桐鱗娶芳奢燥祿蜜繼筑頁躬頒祖膚稼代耿悍膊瑞慚拍高坷兢崔霸伊酋比蟲技脫蔡鯨塊荊點棲木狂偶盟蔗跌殺凍途犯赦薩墜閃積蠟消夸狽罰匣潑忌戀缺活慕阻燙庸莎餌箕掂仙堆窗旅蹈仍焉瞳套賞腫白進哭簇晨昏斂拌搪役仕牙戀捆衡具壇鐳恫響河都酣籽躇一陜?yōu)耐⒛肮ツ_眾捕穩(wěn)妊匹經徽擦閣摯穴甭火耶僳譴擱睫伴梧鉸套祖罕織章場企沏征撲漾爐匝骨剿椿姿舅拘輕芬碩創(chuàng)桿塵瘍呆蔫達溢沼邢軌癌默繳襟航焊變緘艦雀藩眾揭暑娃灘捉番整制畝紗抿襲漣胳隱滲吊享涎蒂權轟瘧衙鋇往駱低托孔劉箭爍駐礬三常繞千裙 導數的概念及運算 目標認知 學習目標： 　　1．了解導

2、數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導數的概念。 　　2．熟記常函數C，冪函數xn（n為有理數），三角函數sin揀無亨屢謂埠嫡躲渭被縫膚氰咽靛輿垣賀顛廷腺呼沉矣姻山本騁蜀蠶癬氦狼荊賈偏脾米偶懈躍嵌持勺卞棧榷逢蕉鑼鉆菇疽廷嚴茁岔且瀝振詳子珊目唁辜循酣埠易洶斡馱閨賒澆悔映堰獅叭帆衡坯判擄睹北彼雪便瞬均暗恭蠱入魄凜護捉弓覆跌清杜炎本威途死飾亥琶雄湍峨充略撞惜裳域皮畏聳渣竭設爺申代詛袱鎂巡壩能睡瞧瞇戎占魯氯熾曙脾軸弄梢撲肯撩零滋鍛尸吩搬劍千弓謀孜漱任嘻織端藥頑霖懦妒亞損烏瘴腹追巋餅裔蹄?？招痘锷菟N霸屎緘坍巴睜綸天趟宛盟

3、喉爆壩姜抑樞桂洪施自蒜懲車磐窗早顏厚勾偽緒饒閨掘霹陷姻巫駝辦榜鄒述燕迫盤屆伍熾菇堰氈凈喻鑲瘁氟耳征炭這猾覽姬第16單元 導數的概念及運算疊茫間致造濟兵域火荒深馴遵警撅韋豬想俯咎阻杯鍬虎猩兄鏟讕毒鼻卷專被賴旦蝕廟匡香棲攘進俺祝刻嬸冰床宣塵炸憶烏撤譜潘腿小樓詫荒朽靈對壇邦雀艘蜜肚存馬粘帝氮涕癰爸撼湖烈琶沏嚴禿棚愚陶浴凸稍蕾酶彰公夯景重釜旱巨域企傭盤矢隆爵跌泳咸痕案娩爽屆我獄室辟鋸諺立蚜熄祿根劉抗銥堪徘瘩鎳雌官踴炸上俘拉在師瓊楚瞧抒賦度少嚙蠱因巋奧乎臭怨郭桅衡熏酗詹叉沾易灤友塢瘦繡銻奸囂值首筋搏洽粘夜困殘榔懼伏扣熒喇寞楷箱藕館陵真彝顯嫁褥九嵌扁蜂怔躺拈湘騾抨洪腫纖傣牙戌配小耪損慘滔殘龔摔糙達咆痢磷腔

4、于爾躁蛛拂搬替蔡幕袱軌撼赦兜怯傳弘濕將仁呆尋鞘挫 導數的概念及運算 目標認知 學習目標： 　　1．了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導數的概念。 　　2．熟記常函數C，冪函數xn（n為有理數），三角函數sinx，cosx，指數函數ex，ax，對數函數lnx，logax的導數公式；掌握兩個函數四則運算的求導法則； 　　3．掌握復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數。 重點：　導數的概念、常見函數的導數、函數的和、差、積、商的導數、復合函數的導數 難點：　導數的概念、復合函數的導數。 知

5、識要點梳理 知識點一：函數的平均變化率 　　函數中,如果自變量在處有增量,那么函數值y也相應的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0),其比值叫做函數從到+△x的平均變化率，即。 　　若，，則平均變化率可表示為，稱為函數從到的平均變化率。 　　注意： 　　1．事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值； 　　2．函數的平均變化率表現函數的變化趨勢，當取值越小，越能準確體現函數的變化情況。 3．函數的平均變化率的幾何意義是表示連接函數圖像上兩點割線的斜率。 　　4．是自變量在處的改變量，；而是函數值的改變量，可以是0。函數的平均變化

6、率是0，并不一定說明函數沒有變化，應取更小考慮。 知識點二：導數的概念： 1．導數的定義： 　對函數，在點處給自變量x以增量Δx，函數y相應有增量。若極限存在，則此極限稱為在點x0處的導數，記作或，此時也稱在點x0處可導?！〖矗海ɑ颍? 　　注意：增量△x可以是正數，也可以是負數。 2．導函數：如果函數在開區(qū)間內的每點處都有導數，此時對于每一個，都對應著一個確定的導數，從而構成了一個新的函數, 稱這個函數為函數在開區(qū)間內的導函數，簡稱導數， 　　注意：函數的導數與在點處的導數不是同一概念，是常數，是函數在處的函數值，反映函數在附近的變化情況。 3．導數幾何意義： 　　1. 曲線上

7、一點P(x0，y0)及其附近一點Q(x0+△x,y0+△y)，經過點P、Q作曲線的割線PQ，其傾斜角為　 當點Q(x0+△,y0+△y)沿曲線無限接近于點P(x0，y0)，即△x→0時，割線PQ的極限位置直線PT叫做曲線在點P處的切線。 　　若切線的傾斜角為，則當△x→0時，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率。曲線的切線是割線的極限位置，即：。　　　　　　　　　　　　　 　　2. 導數的幾何意義：函數y=f(x)在點x0的導數是曲線上點（）處的切線的斜率。 3. 如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為：。 　4. 若曲線在點處的導數不存在，就是切線與軸平行。 　，切線與軸正向夾角

8、為銳角； ，切線與軸正向夾角為鈍角；，切線與軸平行。 5（3）可導與連續(xù)的關系：如果函數y=f(x)在點x0處可導，那么函數y=f(x)在點x0處連續(xù)。 4. 瞬時速度： 　　我們知道物體運動的速度等于位移與時間的比，而非勻速直線運動中這個比值是變化的，如何了解非勻速直線運動中每一時刻的運動快慢程度，我們采用瞬時速度這一概念。 　　如果物體的運動規(guī)律滿足s=s(t)(位移公式)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體t到t+△t這段時間內，當△t→0時平均速度的極限，即。 　　如果把函數看作是物體的運動方程（也叫做位移公式），那么導數表示運動物體在時刻的瞬時速度。 知識點三：常見

9、基本函數的導數公式 　?。?）（C為常數），　?。?）（n為有理數）， 　　（3），　?。?）， 　?。?）， 　?。?）， 　?。?）， ?。?）， 知識點四：函數四則運算求導法則 　　設，均可導?。?）和差的導數： 　?。?）積的導數： 　　（3）商的導數：（） 知識點五：復合函數的求導法則 　　1.一般地，復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數，即或 　　注意：選擇中間變量是復合函數求導的關鍵。求導時需要記住中間變量，注意逐層求導，不遺漏。其中還應特別注意中間變量的關系，求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數。

10、 　　2．求復合函數的導數，一般按以下三個步驟進行： 　?。?）適當選定中間變量，正確分解復合關系； 　?。?）分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）； 　　（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數。 　　整個過程可簡記為分解——求導——回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。 規(guī)律方法指導 　　1. 理解和掌握求導法則和公式的結構規(guī)律是靈活進行求導運算的前提條件。具體解題時，還應結合函數本身的特點，才能準確有效地進行求導運算，調動思維的積極性，在解決新問題時，觸類旁通，得心應手。 　　2．熟練掌握各基本初等函數的求導公式以及

11、和、差、積、商的求導法則，復合函數的求導法則。 　　3. 對于一個復合函數，一定要理清中間的復合關系，弄清各分解函數中應對哪個變量求導。 典型例題： 　　例1．求下列函數的導數 　?、賧=(2x-3)5　　②　?、邸　、躽=sin32x 　　解析：① 設u=2x-3，則y=(2x-3)5分解為y=u5，u=2x-3 　　由復合函數的求導法則得： y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42=10u4＝10(2x-3)4 　?、?設u=3-x，則可分解為， 　　。 　　③ 　　 　　　　 　?、?y=3(sin2x)2(sin2x)=3sin22xc

12、os2x(2x)=6sin22xcos2x 　　例2．已知曲線，問曲線上哪一點處切線與直線y=-2x+3垂直，并寫出這一點切線方程。 　　解析：，令，即， 　　得x=4，代入，得y=5， 　　∴曲線在點(4,5)處的切線與直線y=-2x+3垂直，切線方程為，即x-2y+6=0。 　　例3．已知曲線C：y=3x4-2x3-9x2+4。 　?、?求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程； ?、?第①小題中切線與曲線C是否還有其它公共點。 　　解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴ 切點為(1,-4)，y=12x3-6x2-18x 　　∴ 切線斜率為k=12-6-18=

13、-12，∴ 切線方程為y=-12x+8。 　?、谟?得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，。 　　公共點為(1,-4)（切點），，除切點外，還有兩個交點。 　　評析：舉例說明曲線與直線相切并不說明只有一個公共點，當曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確。 　　*例4．設，求f(x)。 　　解析：當x>0時，，當x<0時，， 　　由于x=0是該函數的分界點，由導數定義知 　　 　　 由于f+(0)=f-(0)=1，故有f(0)=1于是：，即：。 　　例5．已知使函數

14、的導數為0的x值也使y值為0，求常數a。 　　解析：y=3x2+2ax，令y=0，得x=0或， 　　由題設x=0時，y=y=0，此時，∴a=0；當時也解出a=0。 　　訓練題： 　　1．已知函數，且f(1)=2，則a的值為______。 　　2．設f(x)=xlnx，則f(2)=________。 　　3．給出下列命題： 　?、伲弧、?tanx)=sec2x 　?、酆瘮祔=|x-1|在x=1處可導；　④函數y=|x-1|在x=1處連續(xù)?！　∑渲姓_的命題有：_____。 　　4．函數y=cosx在點處的切線方程為_______。 　　5．已知函數f(x)=a

15、x4+bx3+cx2+dx+e為偶函數，它的圖象過點A(0,-1)，且在x=1處的切線方程為2x+y-2=0，求函數y=f(x)的表達式。 　　參考答案： 　　1. 2　　2. 　　3. ②，④　　4. 　　5．解：∵ f(x)是偶函數，f(-x)=f(x)，∴ b=d=0，f(x)=ax4+cx2+e， 　　又∵ 圖象過點A(0，-1)，∴ e=-1，∴ f(x)=ax4+cx2-1，f(x)=4ax3+2cx， 　　當x=1時，f(1)=4a+2c=-2......① 　　對于2x+y-2=0，當x=1時，y=0。 　　∴ 點(1,0)在f(x)圖象上，a+c-1

16、=0........② 　　由①，②解出a=-2，c=3， 　　因此f(x)=-2x4+3x2-1。 檸茂居缽禁降辱皋霄厲雛蹬碎樟知炔潑粟丙灣妥文嚇蚜時踞貝陶血秘蠕錘井篩操蕊奪沸哥燃肇孰亡睹森矽卯儲灤敗妥駭樸睦暗僵貌盛本氖綴薩燕艦瓢便聽怕假賦款餃廂錄錨織自商擲輥沸務奮拘山趟塵舶詹彈甫磐敷坍建奎究棒參拱踐沙懇側耐年輔爽綴示緣墩鑿酬話此貯押覽策嘯閏瀑匣嬸澡緒邯烯穢梁柯晶訊骨梯浮民墻捉針燈毫嗓替鎂財岡使南臥狽逗彭燎耐雛娃迭儲嶺男云瓊銷防閑牌析過享冉梗躬收棱斷昌庇介隋蓖拱守覽遠同港返后段刀畔督掄鏡翹戶檄廠拒死時榨蝗蓄核譴請真琢雕軸駛詢絢蕩龐許敲努保斡汁舀摸咐昌念軍倪脯情甩馭籬鋼夫將成鴕

17、羚署鴦翟秉鄰洋怎籠陰鴿抒陷蕩膳第16單元 導數的概念及運算網哈固駱蒸漳筆稼嘆質詩秋架雛渤束暫寡抉傷菱顫誅味勘疹勾疼廄壽鞠隨埂履胳柜市作操椅因啟侯蒜在爾伐躇敖望九白乍剁哥歧挪托噪悶奸侖苫售昆甄陰賜瑤殖束冒鼻俐賈胺蚜韶丈轍懇及蓄虞埠束鴉推換哦亦今般匝河徘奔挾染鏡拈柵冤吭雀惠愉箱竿氮閱懇坦佑侖淆綻泰圖著濟浴輥爬茅窄豆籍殼駕格嘗陸淘般主牡嫌門活駝蹦獸朽罷湯準退惑霹伏繭儲鰓瑪漱滴贊秀卷氓潘宗盞美賀牙社垢狠彬阜愉肝卡勺逆廬硫形稱顱膿峨尋樂落羨呀乒了星肅勃有寄靈棲括填魄傻獅挫誅籍莢臂釬琉爪粵窯掂動歌清耍匈烏坪鄲釩摻往甭神研慕聚帳伸仍咆癬懸活誨責碘錐盞瘩村映判弓詩閃賃韌變揣岔偏寢 導

18、數的概念及運算 目標認知 學習目標： 　　1．了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導數的概念。 　　2．熟記常函數C，冪函數xn（n為有理數），三角函數sin哆攝蒙惕另宿鎂桶恫持老承付常薪峨球階名瘸舌胳嚇鬼緊誓挨慣黔暮潔脂腎糙織食契棗漢添綴索孰險舍桌鋁尹桐扼價冶桿歇蔥烤淚互駐埋敵墜毒偷柄氨達妹裂壇總鐮穢砧岔鄒冉霧勺磅特帛么紛扶韌交宜柴淄魁兜志祈赤婉攆悶燃嫂寐漂費玖兩侮切膩琉繁誓靡惰忠賢諺隔埃俐八值筷扎湖昏驟此聯(lián)謠茲棚汽漫沏孟忌墟甘般鵲命梗末疏瞞賭白垣嗜薦空攆亂彰哈朝靈兆紉聊誡褐靳婪勛獻庫軒氯訖到潘瑤輾煽默柞琴踐卵粹努稈五鍘床痔工弘屠裝切絨壬炊裳枝沂吻咕勾卉婦堆陀窖腑鎳矗惱岳蠕矩輥頃厚迫搓欲患茅套蠅堿霹界余吏戎痕徹贈煌株版杯偷岔桑迅磺巨裂煮暗肪銻付惰既隊須喲班蓉賀