萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之選修2－1、2－2、2－3：專題二 圓錐曲線與方程 Word版含解析

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1、專題二專題二 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí) 1橢圓的概念 在平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)： (1)若ac，則集合P為橢圓； (2)若ac，則集合P為線段； (3)若ac，則集合P為空集 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2a2y2b21(ab0) y2a2x2b21(ab0) 圖形 性質(zhì) 范圍 axa byb bxb aya 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)

2、稱中心：(0，0) 頂點(diǎn) A1(a，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b，0)，B2(b，0) 軸 長軸A1A2的長為 2a 短軸B1B2的長為 2b 焦距 |F1F2|2c 離心率 eca，e(0，1) a，b，c的關(guān)系 c2a2b2 3雙曲線的概念 平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|2c0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù) 2a(02a2c)，則點(diǎn)P的軌跡叫雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c為常數(shù)且a0，c0： (1)當(dāng)ac時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；

3、(2)當(dāng)ac時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線； (3)當(dāng)ac時(shí)，P點(diǎn)不存在 4雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2a2y2b21 (a0，b0) y2a2x2b21 (a0，b0) 圖形 性質(zhì) 范圍 xa或xa，yR R xR R，ya或ya 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(a，0)，A2(a，0) A1(0，a)，A2(0，a) 漸近線 ybax yabx 離心率 eca，e(1，) 實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸， 它的長|A1A2|2a； 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的半實(shí)軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長 a、b、c的關(guān)系 c2a

4、2b2(ca0，cb0) 5拋物線的定義 滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線： (1)在平面內(nèi)； (2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) F 的距離與到定直線 l 的距離相等； (3)定點(diǎn)不在定直線上 6拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y22px (p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形 頂點(diǎn) O(0，0) 對(duì)稱軸 y0 x0 焦點(diǎn) F(p2，0) F(p2，0) F(0，p2) F(0，p2) 離心率 e1 準(zhǔn)線方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范圍 x0，yR R x0，yR R y0，xR R y0 xR R 開口方向 向右 向左

5、 向上 向下 焦半徑(其中P(x0，y0) |PF|x0p2 |PF|x0p2 |PF|y0p2 |PF|y0p2 7曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解； (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上 那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線 8曲線的交點(diǎn) 設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)0，曲線C2的方程為F2(x，y)0，則C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組F1（x，y）0，F(xiàn)2（x，y）0的實(shí)數(shù)解，若此方程組無解，則兩曲線無交點(diǎn)二、題之本：思想方法技巧 9

6、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定 (1)代數(shù)法：把圓錐曲線方程C1與直線方程l聯(lián)立消去y，整理得到關(guān)于x的方程ax2bxc0. 方程ax2bxc0 的解 l與C1的交點(diǎn) a0 b0 無解(含l是雙曲線的漸近線) 無公共點(diǎn) b0 有一解(含l與拋物線的對(duì)稱軸平行(重合)或與雙曲線的漸近線平行) 一個(gè)交點(diǎn) a0 0 兩個(gè)不相等的解 兩個(gè)交點(diǎn) 0 兩個(gè)相等的解 一個(gè)交點(diǎn) 0 無實(shí)數(shù)解 無交點(diǎn) (2)幾何法：在同一直角坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質(zhì)可判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 10直線與圓錐曲線的相交弦長問題 設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x

7、2，y2)，則 |AB| 1k2|x1x2| 1k2（x1x2）24x1x2 11k2|y1y2| 11k2（y1y2）24y1y2. 二、題之本：思想方法技巧二、題之本：思想方法技巧 1.在運(yùn)用橢圓的定義時(shí)，要注意“|F1F2|2a”這個(gè)條件，若|F1F2|2a，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不是橢圓，而是連結(jié)兩定點(diǎn)的線段(包括端點(diǎn))；若|F1F2|2a，則軌跡不存在. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，兩種形式可以統(tǒng)一為x2my2n1(m0，n0，且mn)，具體是哪種形式，由m與n的大小而定. 3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法和定義法，即(1)先設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件列出a，b的兩個(gè)方程，求參

8、數(shù)a，b的值；(2)由橢圓的定義及幾何性質(zhì)直接求出參數(shù)a，b的值. 4.充分利用圖形的幾何性質(zhì)可以減少計(jì)算量，橢圓中可以用來減少計(jì)算量的幾何性質(zhì)主要體現(xiàn)在橢圓的定義中. 5.直線與橢圓的位置關(guān)系，可通過討論橢圓方程與直線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定.通常用消元后的關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式 與零的大小關(guān)系來判定. 6.直線和橢圓相交時(shí)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)或弦中點(diǎn)軌跡方程可由韋達(dá)定理來解決.設(shè)而不求(設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn))的方法是解析幾何中最重要的解題方法之一. 7.橢圓中幾個(gè)常用的結(jié)論： (1)焦半徑：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與左(下)焦點(diǎn)F1與右(上)焦點(diǎn)F2之間的線段叫做橢圓的焦半徑

9、，分別記作r1|PF1，r2|PF2. x2a2y2b21(ab0)，r1aex0，r2aex0； y2a2x2b21(ab0)，r1aey0，r2aey0； 焦半徑中以長軸端點(diǎn)的焦半徑最大和最小(近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)). (2)焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形.r1|PF1|，r2|PF2|，F(xiàn)1PF2，PF1F2的面積為S，則在橢圓x2a2y2b21(ab0)中： 當(dāng)r1r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大； Sb2tan2c| |y0，當(dāng)| |y0b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc. (3)焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中以通徑

10、(垂直于長軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長lmin2b2a. (4)AB為橢圓x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則 弦長l 1k2|x1x211k2|y1y2|； 直線AB的斜率kABb2x0a2y0. 以上常用結(jié)論在教材的例題與習(xí)題中都有體現(xiàn). 8.對(duì)雙曲線的學(xué)習(xí)可類比橢圓進(jìn)行，應(yīng)著重注意兩者的異同點(diǎn). 9.雙曲線的定義中，當(dāng)|MF1|MF2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支，當(dāng)|MF1|MF2時(shí)，軌跡為雙曲線的另一支，而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中強(qiáng)調(diào)“差的絕對(duì)值”. 10.定義中|F1F2|2a這個(gè)條件不可忽視，若|F1F2|2a，則

11、軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線，若|F1F2|2a，則軌跡不存在. 11.在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)“大分母”，即標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2，y2誰的分母較大，則焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上；而在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，焦點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)“正系數(shù)”，即標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2，y2誰的系數(shù)為正(右邊的常數(shù)總為正)，則焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上. 12.在橢圓中，a，b，c滿足a2b2c2，即a最大；在雙曲線中，a，b，c滿足c2a2b2，即c最大. 13.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容.對(duì)漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會(huì)利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).

12、14.求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為Ax2By21 的形式，當(dāng)A0，B0，AB時(shí)為橢圓，當(dāng)AB0 時(shí)為雙曲線. 15.雙曲線的幾個(gè)常用結(jié)論： (1)與雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)有共同漸近線的雙曲線系方程為x2a2y2b2(0). (2)雙曲線上的點(diǎn)P(x0，y0)與左(下)焦點(diǎn)F1或右(上)焦點(diǎn)F2之間的線段叫做雙曲線的焦半徑，分別記作r1|PF1|，r2|PF2|，則 x2a2y2b21(a0，b0)，若點(diǎn)P在右支上，則r1ex0a，r2ex0a；若點(diǎn)P在左支上，則r1ex0a，r2ex0a.

13、 y2a2x2b21(a0，b0)，若點(diǎn)P在上支上，則r1ey0a，r2ey0a；若點(diǎn)P在下支上，則r1ey0a，r2ey0a. 16.拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)是解決有關(guān)拋物線問題的基礎(chǔ)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握. 17.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法或軌跡法.若拋物線的開口不確定，為避免多種情況分類求解的麻煩，可以設(shè)拋物線方程為y2mx或x2ny(m0，n0).若m0，開口向右；若m0，開口向左.m有兩解時(shí)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè).對(duì)n0與n0，有類似的討論. 18.拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題時(shí)，可以優(yōu)先考

14、慮利用拋物線的定義，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣往往可以使問題簡單化. 19.拋物線的幾個(gè)常用結(jié)論 (1)焦半徑：拋物線上的點(diǎn)P(x0，y0)與焦點(diǎn)F之間的線段叫做拋物線的焦半徑，記作r| |PF . y22px(p0)，rx0p2； y22px(p0)，rx0p2； x22py(p0)，ry0p2； x22py(p0)，ry0p2. (2)焦點(diǎn)弦：若AB為拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)弦，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，| |ABl.則： x1x2p24； y1y2p2； 弦長lx1x2p，因x1x22x1x2p，故當(dāng)x1x2時(shí)，l取得最小值，

15、最小值為2p，此時(shí)弦AB垂直于x軸，所以拋物線的焦點(diǎn)弦中通徑最短(垂直于拋物線對(duì)稱軸的焦點(diǎn)弦叫做拋物線的通徑). 20.對(duì)于圓錐曲線的綜合問題，要注意將曲線的定義性質(zhì)化，找出定義賦予的條件；要重視利用圖形的幾何性質(zhì)解題(本書多處強(qiáng)調(diào))；要靈活運(yùn)用韋達(dá)定理、弦長公式、斜率公式、中點(diǎn)公式、判別式等解題，巧妙運(yùn)用“設(shè)而不求”、“整體代入”、“點(diǎn)差法”、“對(duì)稱轉(zhuǎn)換”等方法. 21.在給定的圓錐曲線f(x，y)0 中，求中點(diǎn)為(m，n)的弦AB所在直線方程或動(dòng)弦中點(diǎn)M(x，y)軌跡時(shí)，一般可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B兩點(diǎn)在曲線上，得f(x1，y1)0，f(x2，y2)0及x1x22

16、m(或2x)，y1y22n(或2y)，從而求出斜率kABy1y2x1x2，最后由點(diǎn)斜式寫出直線AB的方程，或者得到動(dòng)弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系，整體消去x1，x2，y1，y2，得到點(diǎn)M(x，y)的軌跡方程. 22.對(duì)滿足一定條件的直線或者曲線過定點(diǎn)問題，可先設(shè)出該直線或曲線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線或曲線上以及切線、點(diǎn)共線、點(diǎn)共圓、對(duì)稱等條件，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程或方程組.為簡化運(yùn)算應(yīng)多考慮曲線的幾何性質(zhì)，求出相應(yīng)的含參數(shù)的直線或曲線，再利用直線或曲線過定點(diǎn)的知識(shí)加以解決. 以“求直線l：ykx2k1(k為參數(shù))是否過定點(diǎn)？”為例，有以下常用方法： 待定系數(shù)法：假設(shè)直線l過點(diǎn)

17、(c1，c2)，則yc2k(xc1)，即ykxc1kc2，通過與已知直線方程比較得c12，c21.所以直線l過定點(diǎn)(2，1). 賦值法：令k0，得l1：y1；令k1，得l2：yx3，求出l1與l2的交點(diǎn)(2，1)，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線系得 12k2k1 恒成立，所以直線l過定點(diǎn)(2，1). 賦值法由兩步構(gòu)成，第一步：通過給參數(shù)賦值，求出可能的定點(diǎn)坐標(biāo)；第二步：驗(yàn)證其是否恒滿足直線方程. 參數(shù)集項(xiàng)法：對(duì)直線l的方程中的參數(shù)集項(xiàng)得yk(x2)1，令k的系數(shù)為 0，得x2，y1，k的取值是任意的，但l的方程對(duì)點(diǎn)(2，1)恒成立，所以直線l過定點(diǎn)(2，1). 若方程中含有雙參數(shù)，應(yīng)考慮兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系

18、. 23.給出曲線上的點(diǎn)到直線的最短(長)距離或求動(dòng)點(diǎn)到直線的最短(長)距離時(shí)，可歸納為求函數(shù)的最值問題，也可借助于圖形的性質(zhì)(如三角形的公理、對(duì)稱性等)求解. 24.圓錐曲線上的點(diǎn)關(guān)于某一直線對(duì)稱的問題，通常利用圓錐曲線上的兩點(diǎn)所在直線與已知直線l(或者是直線系)垂直，圓錐曲線上兩點(diǎn)連成線段的中點(diǎn)一定在對(duì)稱軸直線l上，再利用判別式或中點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系求解. 25.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； (2)設(shè)點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)； (3)列式列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式； (4)代換依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程式，并化簡； (

19、5)證明證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 26.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程時(shí)，要特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程中的應(yīng)用，只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線的定義，就可直接得出方程. 27.要注意一些軌跡問題中包含的某些隱含條件，也就是曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，有時(shí)還要補(bǔ)充特殊點(diǎn)的坐標(biāo)或特殊曲線的方程. 28.求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，若求軌跡，則不僅要求出方程，而且還需要說明所求軌跡是什么曲線，即曲線的形狀、位置、大小都需說明

20、. 29.根據(jù)問題給出的條件不同，求軌跡的方法也不同，一般有如下規(guī)律： (1)單點(diǎn)的軌跡問題直接法待定系數(shù)法； (2)雙動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題相關(guān)點(diǎn)法； (3)多動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題參數(shù)法交軌法. 30.利用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)要注意：(1)參數(shù)的選擇要合理；(2)消參的方法靈活多樣；(3)對(duì)于所選的參數(shù)，要注意取值范圍，并注意參數(shù)范圍對(duì)x，y的取值范圍的制約. 31.曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱、關(guān)于直線軸對(duì)稱問題，通常是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對(duì)稱或軸對(duì)稱，一般結(jié)論如下： (1)曲線f(x，y)0 關(guān)于已知點(diǎn)A(a，b)的對(duì)稱曲線的方程是f(2ax，2by)0； (2)曲線f(x，y)0 關(guān)于ykxb的對(duì)稱曲線的求法： 設(shè)曲

21、線f(x，y)0上任意一點(diǎn)為P(x0，y0)，點(diǎn)P關(guān)于直線ykxb的對(duì)稱點(diǎn)為P(x，y)，則由軸對(duì)稱的條件知，P與P的坐標(biāo)滿足yy0 xx0k1，yy02kxx02b，從中解出x0，y0，將其代入已知曲線f(x，y)0，就可求出曲線f(x，y)0 關(guān)于直線ykxb對(duì)稱的曲線方程. 32.解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： （1） 給出直線的方向向量ku, 1或nmu,； （2）給出OBOA與AB相交,等于已知OBOA過AB的中點(diǎn); （3）給出0 PNPM,等于已知P是MN的中點(diǎn); （4）給出BQBPAQAP,等于已知,A B與PQ的中點(diǎn)三點(diǎn)共線; （5） 給出以下情形之一：ACAB/；存

22、在實(shí)數(shù),ABAC使；若存在實(shí)數(shù), ,1,OCOAOB 且使,等于已知CBA,三點(diǎn)共線. （6） 給出1OBOAOP，等于已知P是AB的定比分點(diǎn)，為定比，即PBAP （7） 給出0MBMA,等于已知MBMA ,即AMB是直角,給出0mMBMA,等于已知AMB是鈍角, 給出0mMBMA,等于已知AMB是銳角, （8）給出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分線/ （9）在平行四邊形ABCD中，給出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形; （10） 在平行四邊形ABCD中，給出| |ABADABAD，等于已知ABCD是矩形; （11） 在ABC中，給出12ADABAC,等于已知

23、AD是ABC中BC邊的中線; 33.圓錐曲線中常見的最值問題及其解法 (1)兩類最值問題：涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題 (2)兩種常見解法：幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解 34 解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五方面考慮： (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求

24、新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系； (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍 三、題之變：課本典例改編三、題之變：課本典例改編 1. 1. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十一頁例第四十一頁例 2 2）如圖，在圓224xy上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作X軸的垂線段PD，D為垂足當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？ 改編改編 1 1 設(shè)點(diǎn)P是圓224xy上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為

25、（8，0） 當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程 【解析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為, x y，點(diǎn)P的坐標(biāo)為00,xy，則082xx，02yy 即028xx，02yy 因?yàn)辄c(diǎn)P 00,xy在圓224xy上，所以22004xy 即222824xy，即2241xy，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 改編改編 2 2 設(shè)點(diǎn)P是圓224xy上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0） ，若點(diǎn)M滿足2PMMD當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程 2. 2. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十一頁例第四十一頁例 3 3）改編改編 1 1 已知點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)分別是 A（0，-1） ，B（0，1） ，直線 A

26、M、BM 相交于點(diǎn) M，且它們的斜率之積是-t，t（0，1求 M 的軌跡方程，并說明曲線的類型 【解析】設(shè) M（x，y） ，則10BMykx (x0)，( 1)0AMykx (x0)，BMAMkk=-t，10yx ( 1)0yx =-t(x0)，整理得221xyt1(x0)（1）當(dāng) t（0，1）時(shí)，M 的軌跡為橢圓（除去 A 和 B 兩點(diǎn)） ； （2）當(dāng) t=1 時(shí)，M 的軌跡為圓（除去 A 和 B 兩點(diǎn)） 改編改編 2 2 已知點(diǎn)AB、的坐標(biāo)分別是(0, 1)-、(0,1),直線,PA PB相交于點(diǎn)P,且它們的斜率之積為2. 求點(diǎn)P軌跡C的方程. . 【解析】設(shè)( , )P x y，則112

27、yyxx+-=-g(0)x ，整理得：2221xy+=(0)x . . 改編改編 3 3 設(shè)橢圓222210 xyabab的左、右頂點(diǎn)分別為A,B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若直線PA與PB的斜率之積為12，則橢圓的離心率為_. 【解析】拓展：橢圓222210 xyabab上任一點(diǎn)P與橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)0000(,), (,)A xyBxy-的連線的斜率之積22PAPBbk ka=-； 橢圓222210yxabab上任一點(diǎn)P與橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)0000(,), (,)A xyBxy-的連線的斜率之積22PAPBak kb=-.（記憶方法：無論橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸，總是以

28、橢圓方程中2x的分母為分母）由拓展，知221222b,e.a 改編改編 4 4 橢圓22122:1,43xyCA APCPA 的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn) 在 上且直線斜率的取值范圍是12, 1 ,PA那么直線斜率的取值范圍是 ( ) A.1 32 4， B.3 38 4， C.112， D.314， 【解析】由拓展，知1212333 3, , .448 4PAPAPAPAkkkk=-=-?選 B 改編改編 5 5 已知橢圓22:143xyC上一點(diǎn)3(1, )2P,過點(diǎn)P的直線12, l l與橢圓C分別交于AB、（不同于P）且它們的斜率12,k k滿足1234k k =-g，則直線AB過定點(diǎn)_. .

29、【解析】由拓展，AB、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即直線AB過定點(diǎn)(0,0). 改編改編 6 6 如圖，若P為橢圓的右頂點(diǎn)，直線PA、PB交直線3x于,E F兩點(diǎn)，則EF的最小值為 【答案】2. 改編改編 7 7 已知直線y12x與橢圓C：22182xy交于AB、兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為k的直線l1 直線l1與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P， 與直線x4 的交點(diǎn)為Q， 過Q點(diǎn)作直線PB的垂線l2 求證：直線l2恒過一定點(diǎn) 【解析】可求得( 2, 1),(2,1)AB-，且AB、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由拓展知，14PAPBk k=-，14PBkk=-，又2lPB,24 ,lkk=而l1：1(2),(4,61)yk xQk+ =+

30、-， 則l2；(61)4 (4),ykk x-=-即(410)1,yxk=-令4100,x-=則1,y =- 2l恒過定點(diǎn)5( , 1)2- 3 3原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十二頁第四十二頁練習(xí)第練習(xí)第 3 3 題）題）已知經(jīng)過橢圓2212516xy的右焦點(diǎn)2F作垂直于x軸的直線A B，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，1F是橢圓的左焦點(diǎn) （1）求1AFB的周長； （2）如果AB不垂直于x軸，1AFB的周長有變化嗎？為什么？ 改編（改編（20062006年年全國卷全國卷） ：） ：已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓2213xy上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC

31、的周長是 A2 3 B6 C4 3 D12 4. 4. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十七頁例第四十七頁例 7 7）改編改編 在直線：04 yx上任取一點(diǎn) M，過點(diǎn) M 且以雙曲線1322yx的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓(1)M 點(diǎn)在何處時(shí)，所求橢圓長軸最短； (2)求長軸最短時(shí)的橢圓方程 【解析】(1). 4, 3, 122222bacba故雙曲線1322yx的兩焦點(diǎn)),0 , 2(),0 , 2(21FF 過2F向引垂直線：2 xy，求出2F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)2F，則2F的坐標(biāo)為（4，2） （如圖） ， 直線21FF的方程為023 yx。. 04, 023yxyx，解得.23,25yx )

32、23,25(M即為所求的點(diǎn).此時(shí)，21MFMF21MFMF 21FF=102 (2)設(shè)所求橢圓方程為12222byax， , 2,10ca . 6410222cab所求橢圓方程為161022yx. 5. 5. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十八頁練習(xí)第第四十八頁練習(xí)第 4 4 題題）改編改編 求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn))21, 0(),31,31(QP的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. . 6. 6. 原題 （選修原題 （選修 2 2- -1 1 第四十九頁習(xí)題第四十九頁習(xí)題 2.2A2.2A 組第八題） 改編組第八題） 改編 已知橢圓與雙曲線22221xy共焦點(diǎn)，且過（2，0）

33、 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）求斜率為 2 的一組平行弦的中點(diǎn)軌跡方程 【解析】 （1）依題意得，將雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化為221122xy=1，則 c=1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，設(shè)橢圓方程為22221xyaa=1，橢圓過（2，0） ，22201aa=1，即2a=2，橢圓方程為222xy=1 （2） 依題意， 設(shè)斜率為 2 的弦所在直線的方程為 y=2x+b， 弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為 （x， y） ， 則 y=2x+b 且 222xy=1 得2298220 xbxb，1289bxx ，1229byy即 x=49b，y=9b，兩式消掉 b 得 y=14x令=0，226436(22)0bb，即 b=3，所以斜率為

34、 2且與橢圓相切的直線方程為 y=2x3，即當(dāng) x=43時(shí)斜率為 2 的直線與橢圓相切所以平行弦得中點(diǎn)軌跡方程為：y=14x（43x43） 7. 7. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十九頁習(xí)題第四十九頁習(xí)題 2.2A2.2A 組第組第 1 1 題）題）如果點(diǎn)( , )M x y在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式2222(3)(3)10,xyxy點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？為什么？寫出它的方程. 改編改編 方程222 592 5910 xxxx的解是x _. 【解析】 由222 592 5910 xxxx得22(5)4(5)410 xx，令24y ，則上式可化為2222(5)(5)10 xyx

35、y，由橢圓的定義知，到兩定點(diǎn)( 5,0)和(5,0)的距離之和為 10 的點(diǎn)( , )M x y的軌跡方程是221,2520 xy將24y 代入上式，可解得2 5.x 8. 8. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第四十九頁習(xí)題第四十九頁習(xí)題 2.2A2.2A 組第組第 6 6 題題）改編改編 已知橢圓的方程為221,43xy若點(diǎn)P是橢圓上第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，且12120 ,PFF求21FPF的面積. . 【解析】533. .推廣，對(duì)于橢圓：22221(0)xyabab，焦點(diǎn)為12,F F P為橢圓上的一點(diǎn)，已知12FPF，12FPF的面積為1 222sintan1 cos2PF FbS

36、b. . 9 9原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第六十一頁習(xí)題第六十一頁習(xí)題 2.3A2.3A 組第一題）改編組第一題）改編 1F、2F是雙曲線2211620 xy的焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線上，若點(diǎn) P 到焦點(diǎn)1F的距離等于 9，則點(diǎn) P 到焦點(diǎn)2F的距離等于 1010原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第六十二頁習(xí)題第六十二頁習(xí)題 2.3B2.3B 組第四題）改編組第四題）改編 經(jīng)過點(diǎn) A（2，1）作直線 L 交雙曲線2212yx 于1P，2P兩點(diǎn)，求線段1P2P的中點(diǎn) P 的軌跡方程 【解析】設(shè)直線 L 的方程為 y=k（x-2）+1， （1） ； 將（1）式代入雙曲線方程，

37、得：2222(2)(42 )4430kxkk xkk ， （2） ； 又設(shè)1P（1x，1y） ，2P（2x，2y） ，P(x，y)，則1x，2x必須是（2）的兩個(gè)實(shí)根，所以有1x+2x=22422kkk (2k-20)按題意，x=122xx，x=2222kkk因?yàn)?x，y)在直線（1）上，所以 y=k(x-2)+1=222(2)2kkkk+1=22(21)2kk再由 x，y 的表達(dá)式相除后消去 k 而得所求軌跡的普通方程為2214()8(1)2177yx，這就是所求的軌跡方程 1111原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第七十二頁練習(xí)題第七十二頁練習(xí)題 3 3）改編）改編 過動(dòng)點(diǎn)M（，0

38、）且斜率為 1 的直線與拋物線)0(22ppxy交于不同的兩點(diǎn)A、B，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，使| 2ABp 12. 12. 原題 （選修原題 （選修 2 2- -1 1 第七十三頁習(xí)題第七十三頁習(xí)題 2.4A2.4A 組第六題） 改編組第六題） 改編 直線 l 與拋物線22yx相交于A、B 兩點(diǎn)，O 為拋物線的頂點(diǎn)，若 OAOB則直線 l 過定點(diǎn) 【解析】設(shè)點(diǎn) A，B 的坐標(biāo)分別為（1x，1y） ， （2x，2y） （I）當(dāng)直線 l 存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為 y=kx+b，顯然 k0 且 b0聯(lián)立方程得：2,2ykxb yx消 去y得222(22)0k xkbxb， 由 題 意 ：1x2x=

39、22bk，12122()()by ykxb kxbk，又由 OAOB 得12120 x xy y，即 2220bbkk，解得 b=0（舍去）或 b=-2k，故直線 l 的方程為：y=kx-2k=k（x-2） ，故直線過定點(diǎn)（2，0） ； （II）當(dāng)直線 l 不存在斜率時(shí)，設(shè)它的方程為 x=m，顯然 m0，聯(lián)立方程2,2xm yx解得 2ym ，即1y2y=-2m，又由 OAOB 得12120 x xy y，即22mm=0，解得 m=0（舍去）或 m=2，可知直線 l 方程為：x=2，故直線過定點(diǎn)（2，0）綜合（1） （2）可知，滿足條件的直線過定點(diǎn)（2，0） 13. 13. 原題（選修原題（選

40、修 2 2- -1 1 第八十頁復(fù)習(xí)參考題第八十頁復(fù)習(xí)參考題 A A 組第組第 4 4 題題）改編改編 已知)0( 1cossin22 yx表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求的取值范圍. . 【解析】43,2. 14. 14. 原題（選修原題（選修 2 2- -1 1 第八十一頁復(fù)習(xí)參考題第八十一頁復(fù)習(xí)參考題 B B 組第一題）改編組第一題）改編 已知F1、F2分別為橢圓191622yx的左、 右焦點(diǎn)， 點(diǎn)P在橢圓上， 若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)， 求21FPF的面積. 1515. . 原題 （選修原題 （選修 2 2- -1 1 第八十一頁復(fù)習(xí)參考題第八十一頁復(fù)習(xí)參考題 B B 組第組第 3 3 題題） 改編改編 過拋物線)0(22ppxy的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，自A,B向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為1A,2A，求證：9011FBA. 【解析】由拋物線定義知AFAA 1 BFBB 1則11AFAFAA 11BFBFBB，又FOAFAA11 FOBFBB11，則 11902AFBB FOAFO，即9011FBA. 16. 16. 原題 （選修原題 （選修 2 2- -1 1 第八十七頁第八十七頁例題） 改編例題） 改編 已知BAO、三點(diǎn)共線， 且OBnOAmOP )0(mnRnm且、，則n4m1的最小值為 .