萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之必修一：專題二 函數(shù)的概念與函數(shù)的表示 Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識 1.函數(shù)概念 設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作y=f(x),x∈A．其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域． 2.區(qū)間的概念 設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),而且a<b．我們規(guī)定： （1）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間,表示為； （2）滿足不等式的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間,表示為(a,b)； （3）滿足不等式或的實(shí)數(shù)的集

2、合叫做半開半閉區(qū)間,分別表示為． 這里的實(shí)數(shù)a,b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)．這些區(qū)間的幾何表示如下表： 定義 名稱 符號 數(shù)軸表示 {x|a≤x≤b} 閉區(qū)間 {x|a<x<b} 開區(qū)間 (a,b) {x|a≤x<b} 半閉半開 區(qū)間 [a,b) {x|a<x≤b} 半開半閉 區(qū)間 (a,b] 實(shí)數(shù)集可用區(qū)間表示為,我們把滿足,,,的實(shí)數(shù)的集合分別表示為,,,．“¥” 讀作“無窮大”,“-¥” 讀作“負(fù)無窮大”,“+¥” 讀作“正無窮大”

3、． 3.函數(shù)的定義域 當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí),求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，求函數(shù)的定義域的原則：（解決任何函數(shù)問題，必須要考慮其定義域） ①分式的分母不為零； ②偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零； ③對數(shù)的底數(shù)大于０且不等于１； ④對數(shù)的真數(shù)大于０； ⑤指數(shù)為０的底不能為零；,則 ⑥如果函數(shù)有實(shí)際背景,那么除符合上述要求外,還要符合實(shí)際情況. ⑦當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí),定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合． 4. 函數(shù)相等 構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以

4、,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）。 5. 函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的常用的方法有解析法、圖象法、列表法. (1)解析法：把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)等式來表示,這個(gè)等式叫函數(shù)的解析表達(dá)式,簡稱解析式． (2)圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系． (3)列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系． 6．分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)。如 二、題之本：思想方法技巧 1．在映射f：A→B中滿足兩允許，兩不允許：允許B中有剩余元素，不允許中有剩余元素A；允許多對一，不允許一對多.函數(shù)是一個(gè)非空數(shù)集到另一個(gè)非空

5、數(shù)集上的映射. 例:已知函數(shù)f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個(gè)數(shù)是．（ ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言．從函數(shù)觀點(diǎn)看，問題是求函數(shù)y=f(x)，x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè)，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素組成的．這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1

6、∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1 F時(shí)沒有交點(diǎn)，所以選C． 2.討論函數(shù)是否為同一函數(shù)問題時(shí),要保持定義域優(yōu)先的原則,判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同,要先求定義域,若定義域不同,則不相等；若定義域相同,再化簡函數(shù)的解析式,看對應(yīng)關(guān)系是否相同．兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同雖然表示自變量的與函數(shù)的字母不相同,則仍是同一函數(shù),如如與是同一函數(shù). 3.提醒：在高中階段求定義域、值域及解不等式，結(jié)果都要用集合表示。 4.求函數(shù)解析式的主要方法 待定系數(shù)法、換元法、方程(組)法等．如果已知函數(shù)解析式的類型，可用待定系數(shù)法

7、；若已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的表達(dá)式時(shí)，可用換元法；若已知抽象函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，常用解方程(組)法． 5．分離常數(shù)法是對分式形式的式子進(jìn)行恒等變換的一種基本方法，在研究分式形式的函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)列時(shí)常用到這種方法:如求y=的值域. 解：y===1-，∵x2+1≥1，∴0<≤1,∴0≤1-<1,即y=的值域?yàn)? 其中表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù). 若關(guān)于x 的方程f(x)=kx+k有三個(gè)不同的實(shí)根, 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 . 【答案】B. 【解析】畫出f(x)的圖象(如右圖), 與過定點(diǎn)(-1, 0)的直線y=kx+k=k(x+1) 有三個(gè)不同的公共點(diǎn), 利用

8、數(shù)形結(jié)合的辦法, 可求得直線斜率k的取值范圍為. 故選B． 改編3 對于任意實(shí)數(shù)x，符號表示x的整數(shù)部分，即是不超過x的最大整數(shù)．這個(gè)函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用．那么， （1）++++……+= （2）設(shè)，則的值域?yàn)? 【答案】8204； 改編4 函數(shù)的值域?yàn)? . 【答案】 【解析】 當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；∴值域?yàn)?故答案：. 3.原題（必修1第四十四頁復(fù)習(xí)參考題A組第八題）設(shè)，求證：（1）；（2）. 改編1 設(shè)定在R上的函

9、數(shù)滿足：，則 . 【答案】0. 【解析】由．得 ．由所求式子特征考查：．．故答案0. 改編2 函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________. 【答案】． 改編3 若奇函數(shù)滿足，則 【答案】 【解析】由已知，令，則 ，又∵是奇函數(shù)，所以，∴，∴,故答案. 改編4 函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，是一個(gè)奇函數(shù)，且，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】由題知 ① 以代，①式得，即 ② +②得，故答案：A. 4.原題（必修1第四十五頁復(fù)習(xí)參考題B組第四題）已知函數(shù)求，，的值. 改

10、編1 已知函數(shù)，關(guān)于的方程有四個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A. 改編2 設(shè)則__________ 【答案】. 【解析】.故答案. 改編3 已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】分段函數(shù)的單調(diào)性需分段處理.故答案選C. 改編4 設(shè)函數(shù)f（x）= 則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為（ ） A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，

11、－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 【答案】A. 5.原題（必修1第四十五頁復(fù)習(xí)參考題B組第七題）《中華人民共和國個(gè)人所得稅》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過2000元的部分不必納稅，超過2000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額．此項(xiàng)稅款按下表分段累計(jì)計(jì)算： 某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款為26.78元，那么他當(dāng)月的工資、薪金所得是多少？ 改編1 2011年4月 25日，全國人大常委會(huì)公布《中華人民共和國個(gè)人所得稅法修正案（草案）》，向社會(huì)公開征集意見．草案規(guī)定，公民全月工薪不超過3000元的部分不必納稅，超過3000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額．此項(xiàng)稅款按下表分

12、段累進(jìn)計(jì)算． 級 數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅 率 1 不超過 1500元的部分 5% 2 超過 1500元至4500元的部分 10% 3 超過 4500元至9000元的部分 20% 依據(jù)草案規(guī)定，解答下列問題：（1）李工程師的月工薪為8000元，則他每月應(yīng)當(dāng)納稅多少元？（2）若某納稅人的月工薪不超過10000元，他每月的納稅金額能超過月工薪的8%嗎？若能，請給出該納稅人的月工薪范圍；若不能，請說明理由． 答：若該納稅人月工薪大于9375元且不超過10000元時(shí)，他的納稅金額能超過月工薪的8%． 改編2某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段

13、進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)，該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下： 高峰時(shí)間段用電價(jià)格表 低谷時(shí)間段用電價(jià)格表 高峰月用電量 (單位：千瓦時(shí)) 高峰電價(jià) (單位：元/千瓦時(shí)) 低谷月用電量(單位：千瓦時(shí)) 低谷電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí)) 50及以下部分 0.568 50及以下部分 0.288 超過50至200的部分 0.598 超過50至200的部分 0.318 超過200的部分 0.668 超過200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付電費(fèi)為 元(用數(shù)字作答)． 【答案】148.4 【解析】高峰時(shí)段電費(fèi)a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；低谷時(shí)段電費(fèi)b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為a＋b＝148.4(元)．故填148.4.