金版教程高考數(shù)學文二輪復習講義：第二編 專題整合突破 專題八系列4選講 第一講 選修4－4坐標系與參數(shù)方程 Word版含解析

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1、專題八系列4選講第一講(選修44)坐標系與參數(shù)方程必記公式直角坐標與極坐標的互化公式把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位設M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)，則重要結(jié)論1圓的極坐標方程(1)若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的方程為：220cos(0)r20.(2)幾個特殊位置的圓的極坐標方程當圓心位于極點，半徑為r：r；當圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos；當圓心位于M，半徑為a：2asin.2直線的極坐標方程(1)若直線過點M(0，0)，且極軸到此直線的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)(2)幾個特殊位

2、置的直線的極坐標方程直線過極點：0和0；直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cosa；直線過M且平行于極軸：sinb.3幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)圓以O(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中是參數(shù)當圓心在(0,0)時，方程為其中是參數(shù)(2)橢圓橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)(3)直線經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)4直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義過定點M0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).通常稱為直線l的參數(shù)方程的“標準式”其中參數(shù)t的幾何意義是：|t|是

3、直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|t|.當0<<時，sin>0，所以，直線l的單位方向向量e的方向總是向上此時，若t>0，則的方向向上；若t<0，則的方向向下；若t0，則點M與點M0重合，即當點M在M0上方時，有t|；當點M在M0下方時，有t|.失分警示1極坐標與直角坐標互化的前提是把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位2在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時，不僅僅是要把其中的參數(shù)消去，還要注意其中的x、y的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性考點極坐標方程及其應用典例

4、示法典例1已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(0,0<2)解(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160得28cos10sin160.所以C1的極坐標方程為28cos10sin160.(2)C2的普通方程為x2y22y0.由解得或所以C1與C2交點的極坐標分別為，. 解決極坐標系問題的策略(1)如果題目中曲線的極坐標方程比較容易化成直角坐標方程，則可以統(tǒng)一轉(zhuǎn)化

5、到直角坐標系中，利用直角坐標系的定理、公式解題(2)如果題目中曲線的極坐標方程比較復雜，不方便化成直角坐標方程或者極坐標系中的極角、極徑關系比較明顯，比如已知兩個點的極坐標，求兩個點間的距離，則可以直接利用已知的極角、極徑結(jié)合余弦定理求距離針對訓練2016·衡陽聯(lián)考在極坐標系中，曲線C：2acos(a>0)，l：cos，C與l有且僅有一個公共點(1)求a；(2)O為極點，A，B為曲線C上的兩點，且AOB，求|OA|OB|的最大值解(1)曲線C：2acos(a>0)，變形22acos，化為x2y22ax，即(xa)2y2a2.曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓；由l

6、：cos，展開為cossin，l的直角坐標方程為xy30.由題可知直線l與圓C相切，即a，解得a1.(2)不妨設A的極角為，B的極角為，則|OA|OB|2cos2cos3cossin2cos，當時，|OA|OB|取得最大值2.考點參數(shù)方程及其應用典例示法典例22014·全國卷已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值解(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點P(2cos，3sin)到l的距離為d|4c

7、os3sin6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan.當sin()1時，|PA|取得最大值，最大值為.當sin()1時，|PA|取得最小值，最小值為.1參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法(1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等式法(3)常見消參數(shù)的關系式：t·1；224；221.2參數(shù)方程表示的曲線的綜合問題的求解思路(1)可以統(tǒng)一成普通方程處理(2)利用參數(shù)方程中參數(shù)解決問題，如利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解決與距離有關的問題

8、，利用圓錐曲線參數(shù)方程中的參數(shù)角解決與最值相關的問題針對訓練2016·唐山統(tǒng)考將曲線C1：x2y21上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)得到曲線C2，A為C1與x軸正半軸的交點，直線l經(jīng)過點A且傾斜角為30°，記l與曲線C1的另一個交點為B，與曲線C2在第一、三象限的交點分別為C，D.(1)寫出曲線C2的普通方程及直線l的參數(shù)方程；(2)求|AC|BD|.解(1)由題意可得C2：y21，l：(t為參數(shù))(2)將代入y21，整理得5t24t40.設點C，D對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，且|AC|t1，|AD|t2.又|AB|2|OA|cos30°，

9、故|AC|BD|AC|(|AD|AB|)|AC|AD|AB|t1t2.考點極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用典例示法典例32015·全國卷在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0<.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2sin，C3：2cos.(1)求C2與C3交點的直角坐標；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值解(1)曲線C2的直角坐標方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點的直角坐標為(0,0)和.(2)曲線C1的極坐標方程為(R，0)，其中0<.因此A

10、的極坐標為(2sin，)，B的極坐標為(2cos，)所以|AB|2sin2cos|4.當時，|AB|取得最大值，最大值為4.解決極坐標方程、參數(shù)方程綜合問題的方法與極坐標方程、參數(shù)方程相關的問題往往涉及直線、圓、橢圓，處理的基本思路是把它們化為直角坐標方程或普通方程，利用直角坐標方程或普通方程解決實際問題，另外若涉及有關最值或參數(shù)范圍問題時可利用參數(shù)方程，化為三角函數(shù)的最值問題處理針對訓練2016·西安質(zhì)檢在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為sin4.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐

11、標方程(2)設P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離的最小值，并求此時點P的坐標解(1)對于曲線C1有則2y2cos2sin21，即C1的普通方程為y21.對于曲線C2有sin(cossin)4cossin8xy80，所以C2的直角坐標方程為xy80.(2)顯然橢圓C1與直線C2無公共點，橢圓上點P(cos，sin)到直線xy80的距離為d，當sin1時，d取最小值為3，此時點P的坐標為.全國卷高考真題調(diào)研12016·全國卷在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為

12、參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得圓C的極坐標方程為212cos110.(2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為(R)設A，B所對應的極徑分別為1，2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得212cos110.于是1212cos，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan±.所以l的斜率為或.22015·全國卷在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為(R)，設C2與

13、C3的交點為M，N，求C2MN的面積解(1)因為xcos，ysin，所以C1的極坐標方程為cos2，C2的極坐標方程為22cos4sin40.(2)將代入22cos4sin40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.32014·全國卷在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為2cos，.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設點D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標解(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)

14、(2)設D(1cost，sint)由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tant，t.故D的直角坐標為，即.其它省市高考題借鑒42016·北京高考在極坐標系中，直線cossin10與圓2cos交于A，B兩點，則|AB|_.答案2解析將cossin10化為直角坐標方程為xy10，將2cos化為直角坐標方程為(x1)2y21，圓心坐標為(1,0)，半徑r1，又(1,0)在直線xy10上，所以|AB|2r2.52015·湖北高考在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知直線l的極坐標

15、方程為(sin3cos)0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點，則|AB|_.答案2解析因為(sin3cos)0，所以sin3cos，所以y3x0，即y3x.由消去t得y2x24.由解得或不妨令A，B，由兩點間的距離公式得|AB|2.62015·湖南高考已知直線l：(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2cos.(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值解(1)2cos等價于22cos.將2x2y2，cosx代入，即得曲

16、線C的直角坐標方程為x2y22x0.(2)將代入，得t25t180.設這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知，|MA|·|MB|t1t2|18.12016·合肥質(zhì)檢在直角坐標系xOy中，曲線C：(為參數(shù))，在以O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，直線l：sincosm.(1)若m0時，判斷直線l與曲線C的位置關系；(2)若曲線C上存在點P到直線l的距離為，求實數(shù)m的取值范圍解(1)曲線C的普通方程為：(x1)2(y1)22，是一個圓；當m0時，直線l的直角坐標方程為：xy0，圓心C到直線l的距離為dr，r為圓C的半徑，所以直線l與圓C相切(2)

17、由已知可得，圓心C到直線l的距離為d，解得1m5.22016·湖南四校聯(lián)考已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為4sin.(1)求圓C的直角坐標方程；(2)若P(x，y)是直線l與圓面4sin的公共點，求xy的取值范圍解(1)因為圓C的極坐標方程為4sin，所以24sin4又2x2y2，xcos，ysin，所以x2y22y2x，所以圓C的普通方程為x2y22x2y0.(2)設zxy，由圓C的方程x2y22x2y0(x1)2(y)24，所以圓C的圓心是(1，)，半徑是2，將代入zxy得zt.又直線l過C(1，)，圓C的半

18、徑是2，所以2t2，所以2t2，即xy的取值范圍是2,232016·山西質(zhì)檢已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù))以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標方程；(2)設C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離解(1)C1：sin，C2：2.(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的極坐標方程為，把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.|PQ|21|1，即P，Q兩點間的距離為1.42016·長春質(zhì)量監(jiān)測在直角坐標系xOy中，曲線

19、C1的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為8cos.(1)求曲線C2的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；(2)若曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，求|AB|的最大值和最小值解(1)對于曲線C2有8cos，即24cos4sin，因此曲線C2的直角坐標方程為x2y24x4y0，其表示一個圓(2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程可得：t22sin·t130，|AB|t1t2|，因此|AB|的最小值為2，最大值為8.52016·河南六市一聯(lián)在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正

20、半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為.(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求AOB的面積解(1)由曲線C的極坐標方程，得2sin22cos，所以曲線C的直角坐標方程是y22x.由直線l的參數(shù)方程得t3y，代入x1t中，消去t得xy40，所以直線l的普通方程為xy40.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程y22x，得t28t70，設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t28，t1t27，所以|AB|t1t2|××6，因為原點到直線xy40的距離d2，所以AOB的面積是|AB|·d

21、5;6×212.62016·貴陽監(jiān)測極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，曲線C1的極坐標方程為4cos(0)，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<)，射線，與曲線C1分別交于(不包括極點O)點A、B、C.(1)求證：|OB|OC|OA|；(2)當時，B、C兩點在曲線C2上，求m與的值解(1)證明：依題意|OA|4cos，|OB|4cos，|OC|4cos，則|OB|OC|4cos4cos2(cossin)2(cossin)4cos|OA|.(2)當時，B、C兩點的極坐標分別為、，化為直角坐標為B(1，)、C(3，)，所以經(jīng)過點

22、B、C的直線方程為y(x1)，而C2是經(jīng)過點(m,0)且傾斜角為的直線，故m2，.72016·重慶測試在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為sin2.(1)求曲線C和直線l在該直角坐標系下的普通方程；(2)動點A在曲線C上，動點B在直線l上，定點P的坐標為(2,2)，求|PB|AB|的最小值解(1)由曲線C的參數(shù)方程可得，(x1)2y2cos2sin21，所以曲線C的普通方程為(x1)2y21.由直線l的極坐標方程：sin2，可得(sincos)4，即xy4.(2)設點P關于直線l的對稱點為Q(a，b

23、)，則解得由(1)知，曲線C為圓，圓心坐標為C(1,0)，故|PB|AB|QB|AB|QC|11.當Q，B，A，C四點共線，且A在B，C之間時，等號成立，所以|PB|AB|的最小值為1.82016·全國卷在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：4cos.(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；(2)直線C3的極坐標方程為0，其中0滿足tan02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為22sin1a20.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組若0，由方程組得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.a1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上所以a1.