數(shù)學(xué)人教A版必修4 第二章 平面向量 單元測試2 含解析

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1、(人教版)精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料(時(shí)間:100 分鐘,滿分:120 分)一、選擇題(本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是正確的)1.ABACBCBA化簡后等于()A3ABB.ABC.BAD.CA解析:選 B.原式(ABBA)(ACBC)(ABAB)(ACCB)0ABAB,故選B.2已知 i(1,0),j(0,1),則與 2i3j 垂直的向量是()A3i2jB2i3jC3i2jD2i3j解析:選 C.2i3j(2,3),C 中3i2j(3,2)因?yàn)?2(3)320,所以 2i3j 與3i2j 垂直3下列說法正確的是()A兩個(gè)單位向量的數(shù)量積為 1B若

2、abac,且 a0,則 bcC.ABOAOBD若 bc,則(ac)bab解析:選 D.A 中,兩向量的夾角不確定,故 A 錯(cuò);B 中,若 ab,ac,b 與 c 反方向,則不成立,故 B 錯(cuò);C 中,應(yīng)為ABOBOA,故 C 錯(cuò);D 中,因?yàn)?bc,所以 bc0,所以(ac)babcbab,故 D 正確4已知向量 a(1,1),b(2,x),若 ab 與 4b2a 平行,則實(shí)數(shù) x 的值是()A2B0C1D2解析:選 D.因?yàn)?a(1,1),b(2,x),所以 ab(3,x1),4b2a(6,4x2),由于 ab 與 4b2a 平行,得 6(x1)3(4x2)0,解得 x2.5已知兩個(gè)非零向量

3、 a,b 滿足|ab|ab|,則下面結(jié)論正確的是()AabBabC|a|b|Dabab解析:選 B.因?yàn)閨ab|ab|(ab)2(ab)2ab0,所以 ab,選 B.6已知向量 a(3,4),b(3,1),a 與 b 的夾角為,則 tan 等于()A.13B13C3D3解析:選 D.由題意,得 ab3(3)415,|a|5,|b| 10,則 cos ab|a|b|55 10110.0,sin 1cos2310,tan sin cos 3.7已知四邊形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn) A(0,2),B(1,2),C(3,1),且BC2AD,則頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為()A(2,72)B(2,12)C(3,2)D

4、(1,3)解析:選 A.設(shè) D(x,y),則BC(4,3),AD(x,y2)又BC2AD,故42x,32(y2) ,解得x2,y72.8兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力 F1,F(xiàn)2,當(dāng)它們的夾角為 90時(shí),合力的大小為 20 N,則當(dāng)它們的夾角為 120時(shí),合力的大小為()A40 NB10 2 NC20 2 ND. 10 N解析:選 B.對于兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力 F1,F(xiàn)2,當(dāng)它們的夾角為 90,合力的大小為20 N 時(shí),由三角形法則可知,這兩個(gè)力的大小都是 10 2 N;當(dāng)它們的夾角為 120時(shí),由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,因此合力的大小為 10 2 N.9A,B,C,D 為平面上四個(gè)互

5、異點(diǎn),且滿足(DBDC2DA)(ABAC)0,則ABC的形狀是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形解析:選 B.(DBDC2DA)(ABAC)(DBDADCDA)(ABAC)(ABAC)(ABAC)AB2AC20,|AB|AC|,ABC 為等腰三角形10在平面直角坐標(biāo)系中,若 O 為坐標(biāo)原點(diǎn),則 A,B,C 三點(diǎn)在同一直線上的等價(jià)條件為存在唯一的實(shí)數(shù), 使得OCOA(1)OB成立, 此時(shí)稱實(shí)數(shù)為“向量OC關(guān)于OA和OB的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”若已知 P1(3,1),P2(1,3),且向量OP3與向量 a(1,1)垂直,則“向量OP3關(guān)于OP1和OP2的終點(diǎn)共線分解系數(shù)”為()A

6、3B3C1D1解析:選 D.設(shè)OP3(x,y),則由OP3a 知 xy0,于是OP3(x,x),設(shè)OP3OP1(1)OP2,(x,x)(3,1)(1)(1,3),1.二、填空題(本大題共 5 小題,每小題 4 分,共 20 分把答案填在題中橫線上)11已知點(diǎn) A(1,5),a(2,3),若AB3a,則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為_解析:設(shè) B(x,y),(x1,y5)3(2,3),x16,y59,解得x5,y4.答案:(5,4)12設(shè) e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,a3e14e2,be12e2.若以 a,b 為基底表示向量 e12e2,即 e12e2ab,則_解析:由 a3e14e2,be12e2,得 e

7、115a25b,e2110a310b,e12e225a15b,即251515.答案:1513向量 a(1,2),b(1,m),向量 a,b 在直線 yx1 上的投影相等,則向量 b_解析:直線 yx1 的方向向量為 c(1,1),則可知ac|c|bc|c|,則 acbc,所以 121m,解得 m4,所以 b(1,4)答案:(1,4)14. 如圖所示,在正方形 ABCD 中,已知|AB|2,若 N 為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn),則ABAN的最大值是_解析: ABAN|AB|AN|cosBAN, |AN|cosBAN 表示AN在AB方向上的投影 又|AB|2,ABAN的最大值是 4.答案:415設(shè)

8、向量 a,b 滿足:|a|3,|b|4,ab0,以 a,b,ab 的模為邊長構(gòu)成三角形,則它的邊與半徑為 1 的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為_解析:由題意可知該三角形為直角三角形,其內(nèi)切圓半徑恰好為 1,它與半徑為 1 的圓最多有 4 個(gè)交點(diǎn)答案:4三、解答題(本大題共 5 小題,每小題 10 分,共 50 分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61.(1)求|ab|;(2)求向量 a 在向量 ab 方向上的投影解:(1)(2a3b)(2ab)61,4|a|24ab3|b|261.|a|4,|b|3,ab6.|ab| |a|2|b|22ab

9、 42322(6) 13.(2)a(ab)|a|2ab42610.向量 a 在向量 ab 方向上的投影為a(ab)|ab|101310 1313.17已知向量 a 與 b 的夾角為,|a|2,|b| 3.(1)當(dāng) ab 時(shí),求(ab)(a2b)的值;(2)當(dāng)56時(shí),求|2ab|(ab)(ab)的值;(3)定義 ab|a|2 3ab,若 ab7,求的取值范圍解:(1)ab,cos 1.(ab)(a2b)|a|2ab2|b|222 3cos 22 3.(2)|2ab|24|a|24ab|b|21642 3cos56331,|2ab| 31,又(ab)(ab)|a|2|b|21,|2ab|(ab)(

10、ab) 311.(3)ab|a|2 3ab4 32 3cos 7,cos 12,又0,23,18在OAB 的邊 OA,OB 上分別有一點(diǎn) P,Q,已知 OPPA12,OQQB32,連接 AQ,BP,設(shè)它們交于點(diǎn) R,若OAa,OBb.(1)用 a 與 b 表示OR;(2)若|a|1,|b|2,a 與 b 夾角為 60,過 R 作 RHAB 交 AB 于點(diǎn) H,用 a,b 表示OH.解:(1)OP13OA13a,OQ35b,由 A,R,Q 三點(diǎn)共線,可設(shè)ARmAQ.故OROAARamAQam(OQOA)am(35ba)(1m)a35mb.同理,由 B,R,P 三點(diǎn)共線,可設(shè)BRnBP.故OROB

11、BRbn(OPOB)n3a(1n)b.由于 a 與 b 不共線,則有1mn3,35m1n,解得m56,n12.OR16a12b.(2)由 A,H,B 三點(diǎn)共線,可設(shè)BHBA,則OHa(1)b,RHOHOR(16)a(12)b.又RHAB,RHAB0.(16)a(12)b(ba)0.又ab|a|b|cos 601,12,OH12a12b.19已知 a(2sin x,1),b(2,2),c(sin x3,1),d(1,k)(xR,kR)(1)若 x2,2,且 a(bc),求 x 的值;(2)若函數(shù) f(x)ab,求 f(x)的最小值;(3)是否存在實(shí)數(shù) k 和 x,使得(ad)(bc)?若存在,求

12、出 k 的取值范圍;若不存在,請說明理由解:(1)bc(sin x1,1),又 a(bc),(2sin x)sin x1,即 sin x12.又 x2,2,x6.(2)a(2sin x,1),b(2,2),f(x)ab2(2sin x)22sin x2.又 xR,當(dāng) sin x1 時(shí),f(x)有最小值,且最小值為 0.(3)ad(3sin x,1k),bc(sin x1,1),若(ad)(bc),則(ad)(bc)0,即(3sin x)(sin x1)(1k)0,ksin2x2sin x4(sin x1)25.由 sin x1,1,得 sin x10,2,(sin x1)20,4,故 k5,1

13、存在 k5,1,使得(ad)(bc)20在平面直角坐標(biāo)系中,A(1,1)、B(2,3)、C(s,t)、P(x,y),ABC 是等腰直角三角形,B 為直角頂點(diǎn)(1)求點(diǎn) C(s,t);(2)設(shè)點(diǎn) C(s,t)是第一象限的點(diǎn),若APABmAC,mR,則 m 為何值時(shí),點(diǎn) P 在第二象限?解:(1)由已知得ABBC,ABBC0.AB(2,3)(1,1)(1,2),BC(s,t)(2,3)(s2,t3),(1,2)(s2,t3)0,即 s2t80.又|AB|BC|,即 5 (s2)2(t3)2,即 s2t24s6t80.將代入消去 s,得 t26t80.解得 t2 或 4,相應(yīng)的 s4 或 0,所以點(diǎn) C 為(0,4)或(4,2)(2)由題意取 C(4,2),AP(x1,y1),ABmAC(1,2)m(3,1)(13m,2m)APABmAC,x113m,y12m,x23m,y3m.若點(diǎn) P 在第二象限,則23m0.解得23m3.當(dāng)23m3 時(shí),點(diǎn) P 在第二象限

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