【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4篇 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4篇 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 平面向量的數(shù)量積 3、4、8 平面向量的夾角及垂直問(wèn)題 2、5、9 平面向量的模 1、6、7 平面向量數(shù)量積的綜合問(wèn)題 10、11、12 平面向量與其他知識(shí)交匯問(wèn)題 13、14、15、16 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 一、選擇題 1.(2013高考遼寧卷)已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量AB→同方向的單位向量為(　A　) (A)(35,-45) (B)（45,-35） (C)（-35,45） (D)（-45,35

2、） 解析:AB→=(3,-4),則與AB→同方向的單位向量為AB→|AB→|=15(3,-4)=（35,-45）.故選A. 2.(2014高考四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m等于(　D　) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 解析:法一　由已知得c=(m+4,2m+2),因?yàn)閏os=ca|c||a|, cos=cb|c||b|,所以ca|c||a|=cb|c||b|,又由已知得|b|=2|a|,所以2ca=cb,即2[(m+4)+2(2m+2)]=4(m+4)+2(2m+2),解得

3、m=2.故選D. 法二　易知c是以ma,b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線向量,因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角,則m>0,所以該平行四邊形為菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.故選D. 3.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若a∥b,則ab等于(　A　) (A)-10 (B)-6 (C)0 (D)6 解析:由a∥b得2x=-4,x=-2, 故ab=(1,2)(-2,-4)=-10.故選A. 4.若向量a,b滿足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,則|b|等于(　B　) (A)2 (B)2 (C)1 (D)22 解析:利用向量的運(yùn)算列式求解. 由題意知(

4、a+b)a=0,(2a+b)b=0, 即a2+ba=0,2ab+b2=0,①② 將①2-②得,2a2-b2=0, ∴b2=|b|2=2a2=2|a|2=2, 故|b|=2. 故選B. 5.在△ABC中,AB→=(cos 18,cos 72),BC→=(2cos 63,2cos 27),則角B等于(　B　) (A)π4 (B)3π4 (C)π3 (D)2π3 解析:AB→BC→=2cos 18cos 63+2cos 72cos 27 =2sin 27cos 18+2cos 27sin 18 =2sin(27+18) =2sin 45 =2. 而|AB→|=1,|BC→|

5、=2,∴cos B=-AB→BC→|AB→||BC→|=-22, 又B∈(0,π), ∴B=3π4. 故選B. 二、填空題 6.(2014四川成都石室模擬)已知向量a、b滿足a=(1,0),b=(2,4),則|a+b|=　　　　. 解析:|a+b|=|(3,4)|=32+42=5. 答案:5 7.(2014高考江西卷)已知單位向量e1與e2的夾角為α,且cos α=13,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β,則cos β=　　　　. 解析:ab=(3e1-2e2) (3e1-e2) =9+2-91113=8, ∵|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-121

6、113=9. ∴|a|=3. 同理,|b|=22. ∴cos β=ab|a||b|=8322=223. 答案:223 8. 正三角形ABC中,D是邊BC上的點(diǎn),AB=3,BD=1,則AB→AD→=　　　　. 解析:法一　AB→AC→=33cos 60=92, AD→=AB→+BD→=AB→+13BC→=AB→+13(AC→-AB→) =23AB→+13AC→, ∴AB→AD→=AB→（23AB→+13AC→） =23AB→2+13AB→AC→=152. 法二　 以B為原點(diǎn),BC所在的直線為x軸,建立坐標(biāo)系, 則B(0,0),A（32,332）,D(1,0).

7、 所以AB→=（-32,-332）, AD→=（-12,-332）, 所以AB→AD→=（-32）（-12）+（-332）2=152. 答案:152 9.(2014安徽巢湖模擬)已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a與b的夾角為銳角,則λ的取值范圍是　　　　. 解析:由題意知,ab>0且a與b不共線, 所以3λ2+4λ>0,2λ-6λ2≠0,解得λ<-43或0<λ<13或λ>13,所以λ的取值范圍是（-∞,-43）∪（0,13）∪（13,+∞）. 答案:（-∞,-43）∪（0,13）∪（13,+∞） 10.關(guān)于平面向量a,b,c,有以下命題: ①若ab=ac,則b=c

8、. ②若a=(1,k),b=(-2,6),a⊥b,則k=13. ③非零向量a和b,滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為60 ④非零向量a和b,滿足|a+b|=|a-b|,則a⊥b 其中真命題的序號(hào)為　　　　. 解析:命題①明顯不正確;對(duì)于②向量垂直的充要條件易得k=13,命題②正確;對(duì)于③,可結(jié)合平行四邊形法則,得a與a+b的夾角為30,命題③不正確;對(duì)于④,由|a+b|=|a-b|得(a+b)2=(a-b)2,∴ab=0,∴a⊥b,命題④正確. 答案:②④ 三、解答題 11.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若a⊥b,求x

9、的值; (2)若a∥b,求|a-b|. 解:(1)由a⊥b,得ab=0, 故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3. (2)a-b=(-2x-2,2x), 因?yàn)閍∥b,所以x(2x+3)+x=0, 解得x=0或x=-2. 當(dāng)x=0時(shí),a-b=(-2,0),|a-b|=(-2)2+02=2. 當(dāng)x=-2時(shí),a-b=(2,-4),|a-b|=22+(-4)2=25. 綜上,|a-b|為2或25. 12.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61, (1)求a與b的夾角θ; (2)求|a+b|; (3)若AB→=a,BC→=b,求△ABC的面積. 解:

10、(1)∵(2a-3b)(2a+b)=61, ∴4|a|2-4ab-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3, ∴64-4ab-27=61, ∴ab=-6. ∴cos θ=ab|a||b|=-643=-12. 又0≤θ≤π,∴θ=2π3. (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13, ∴|a+b|=13. (3)∵AB→與BC→的夾角θ=2π3, ∴∠ABC=π-2π3=π3. 又|AB→|=|a|=4,|BC→|=|b|=3, ∴S△ABC=12|AB→||BC→|sin∠ABC=124332=33. 能力提升 1

11、3.已知向量OA→=(2,2),OB→=(4,1),在x軸上存在一點(diǎn)P使AP→BP→有最小值,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是(　C　) (A)(-3,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(4,0) 解析:設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0), 則AP→=(x-2,-2),BP→=(x-4,-1). AP→BP→=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1. 當(dāng)x=3時(shí),AP→BP→有最小值1. ∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0).故選C. 14.(2014河南鄭州模擬)如圖,Rt△ABC中,∠C=90,其內(nèi)切圓切AC邊于D點(diǎn),O為圓心.若|AD→|=2|CD→|=2,則BO→

12、AC→=　　　　. 解析:以CA所在的直線為x軸,CB所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則C(0,0)、O(1,1)、A(3,0). 設(shè)直角三角形內(nèi)切圓與AB邊交于點(diǎn)E,與CB邊交于點(diǎn)F,則由圓的切線長(zhǎng)定理可得BE=BF,AD=AE=2,設(shè)BE=BF=x,在Rt△ABC中,可得CB2+CA2=AB2,即(x+1)2+9=(x+2)2,解得x=3,故B(0,4). ∴BO→AC→=(1,-3)(-3,0)=-3. 答案:-3 15.(2014西安模擬)在△ABC中,設(shè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m=(cos A,sin A),向量n=(2-sin A,cos A)

13、,若|m+n|=2. (1)求角A的大小; (2)若b=42,且c=2a,求△ABC的面積. 解:(1)|m+n|=(cosA+2-sinA)2+(sinA+cosA)2=4+22(cosA-sinA) =4+4cos(π4+A), 所以4+4cos（π4+A）=4,所以cos（π4+A）=0. 又因?yàn)锳∈(0,π),故π4+A=π2,所以A=π4. (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即a2=(42)2+(2a)2-2422acos π4,解得a=42,所以c=8,所以S△ABC=1242822=16. 探究創(chuàng)新 16.(2014衡水中學(xué)調(diào)研)已知|a|=

14、2|b|≠0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=13x3+12|a|x2+abx在R上有極值,則向量a與b的夾角的范圍是(　C　) (A)[0,π6) (B)(π6,π] (C)(π3,π] (D)(π3,23π) 解析:設(shè)a與b的夾角為θ. ∵f(x)=13x3+12|a|x2+abx, ∴f′(x)=x2+|a|x+ab. ∵函數(shù)f(x)在R上有極值, ∴方程x2+|a|x+ab=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根, 即Δ=|a|2-4ab>0,∴ab