精編高中數(shù)學(xué) 綜合素質(zhì)檢測(cè)3 北師大版選修11

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第三章綜合素質(zhì)檢測(cè) 時(shí)間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．y＝2x＋6從x＝2到x＝2.5的平均變化率是(　　) A．0　　　　　　　　 B．0.5 C．2 D．2.5 [答案]　C [解析]　y＝2x＋6從x＝2到x＝2.5的平均變化率是＝＝2，故選C. 2．已知物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若v＝，當(dāng)Δt趨于0時(shí)，v趨近于9.8m/s，則9.8m/s(　　) A．是物體從0s到1s這段時(shí)間的平均速度 B．是物體

2、從1s到(1＋Δt)s這段時(shí)間的平均速度 C．是物體在t＝1s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度 D．是物體在t＝Δts這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度 [答案]　C [解析]　根據(jù)瞬時(shí)變化率的概念可知． 3．物體運(yùn)動(dòng)方程為s＝t4－3t2，則t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度為(　　) A．4 B．64 C．16 D．40 [答案]　D [解析]　∵s′＝(t4－3t2)′＝t3－6t， ∴s′(4)＝43－64＝40. 4．f′(x)是函數(shù)f(x)＝x3＋2x＋1的導(dǎo)函數(shù)，則f′(－1)的值是(　　) A．－　 B．－3　 C．－1　 D．3 [答案]　D [解析]　因?yàn)閒′(x)＝x2＋2，所以f′(－

3、1)＝(－1)2＋2＝3. 5．(2014合肥一六八中高二期中)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像過原點(diǎn)，且滿足 ＝－1，則f ′ (0)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 [答案]　B [解析]　∵f(x)圖像過原點(diǎn)，∴f(0)＝0， ∴f ′(0)＝ ＝ ＝－1， ∴選B. 6．設(shè)正弦函數(shù)y＝sinx在x＝0和x＝附近的瞬時(shí)變化率為k1、k2，則k1、k2的大小關(guān)系為(　　) A．k1>k2 B．k1k2. 7

4、．曲線y＝x3，x>0在點(diǎn)P處的切線的斜率為k，當(dāng)k＝12時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(－8，－2) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D．(－，－) [答案]　C [解析]　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)(x0>0)， ∴k＝3x＝12，∴x0＝2，∴x＝2， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8)，故選C. 8．(2013山西省太原五中月考)已知曲線y＝x3－1與曲線y＝3－x2在x＝x0處的切線互相垂直，則x0的值為(　　) A. B． C． D． [答案]　D [解析]　由導(dǎo)數(shù)的定義容易求得，曲線y＝x3－1在x＝x0處切線的斜率k1＝3x，曲線y＝3－x2在x＝

5、x0處切線的斜率為k2＝－x0，由于兩曲線在x＝x0處的切線互相垂直，∴3x(－x0)＝－1，∴x0＝，故選D. 9．(2013煙臺(tái)質(zhì)檢)已知二次函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖像大致形狀是(　　) [答案]　B [解析]　依題意可設(shè)f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，顯然f ′(x)的圖像為直線，過原點(diǎn)，且斜率2a<0，故選B. 10．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 [答案]　C

6、[解析]　f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′ ∴f′(0)＝a1a2…a8. ∵{an}為等比數(shù)列，a1＝2，a8＝4， ∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212. 二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上) 11．設(shè)f(x)＝＋，則f′()＝________. [答案]?。? [解析]　f′(x)＝(＋)′＝－＋， ∴f′()＝＋＝－＋2. 12．(2014杭州質(zhì)檢)若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f ′(x)>0的解集為________． [答案]

7、　(2，＋∞) [解析]　由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝2＝2，f ′(x)>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集為(2，＋∞)． 13．(2014棗陽一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中聯(lián)考)若曲線y＝在點(diǎn)P(a，)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是________． [答案]　4 [解析]　y′＝，切線方程為y－＝(x－a)， 令x＝0得，y＝， 令y＝0得，x＝－a， 由題意知a＝2，∴a＝4. 14．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，且滿足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，則

8、f′(5)＝____________. [答案]　6 [解析]　∵f′(x)＝6x＋2f′(2)， ∴f′(2)＝12＋2f′(2)． ∴f′(2)＝－12. ∴f′(x)＝6x－24. ∴f′(5)＝30－24＝6. 15．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，下列函數(shù)中，存在“巧值點(diǎn)”的是________．(填上正確的序號(hào)) ①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋. [答案]?、佗邰? [解析]　①中的函數(shù)f(x)＝x2，f′(x)＝2x，

9、要使f(x0)＝f′(x0)，則x＝2x0，解得x0＝0或2，故①中函數(shù)存在巧值點(diǎn)；對(duì)于②中的函數(shù)，要使f(x0)＝f′(x0)，則e－x0＝－e－x0，易知此方程無解，故②中函數(shù)不存在巧值點(diǎn)；對(duì)于③中的函數(shù)，要使f(x0)＝f′(x0)，則lnx0＝，由于函數(shù)y＝lnx與y＝的圖像有交點(diǎn)，因此方程有解，故③中函數(shù)存在巧值點(diǎn)；對(duì)于④中的函數(shù)，要使f(x0)＝f′(x0)，則tanx0＝，即sinx0cosx0＝1，顯然無解，故④中函數(shù)不存在巧值點(diǎn)；對(duì)于⑤中的函數(shù)，要使f(x0)＝f(x0)，則x0＋＝1－，即x－x＋x0＋1＝0，設(shè)函數(shù)g(x)＝x3－x2＋x＋1，則g′(x)＝3x2－2x＋

10、1>0且g(－1)<0，g(0)>0，顯然函數(shù)g(x)在(－1,0)上有零點(diǎn)，故⑤中函數(shù)存在巧值點(diǎn)． 三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分) 16．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)f(x)＝(x＋1)2(x－1)； (2)f(x)＝2－2sin2； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝2tanx. [答案]　(1)f′(x)＝3x2＋2x－1　(2)f′(x)＝－sinx　(3)f′(x)＝　(4)f′(x)＝ [解析]　(1)因?yàn)閒(x)＝(x＋1)2(x－1)＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， 所以f′(x)＝3x

11、2＋2x－1. (2)因?yàn)閒(x)＝2－2sin2＝1＋cosx， 所以f′(x)＝－sinx. (3)f′(x)＝ ＝. (4)因?yàn)閒(x)＝2tanx＝， 所以f′(x)＝ ＝＝. 17．求曲線y＝f(x)＝x2－3x＋2lnx在(3，f(3))處切線的斜率及切線方程． [答案]　斜率　切線方程y＝x－＋2ln3 [解析]　由已知x>0， ∴f′(x)＝x－3＋. 曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為f′(3)＝.又f(3)＝－9＋2ln3＝－＋2ln3. ∴方程為y－(－＋2ln3)＝(x－3)， 即y＝x－＋2ln3. 18．求過原點(diǎn)作曲線C：

12、y＝x3－3x2＋2x－1的切線方程． [答案]　x＋y＝0或23x－4y＝0 [解析]　設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， ∵y′＝3x2－6x＋2， ∴切線斜率為3x－6x0＋2， ∴切線方程為y－y0＝(3x－6x0＋2)(x－x0) ∵切點(diǎn)在曲線C， ∴y0＝x－3x＋2x0－1， ① 又切線過原點(diǎn)， ∴－y0＝(3x－6x0＋2)(－x0)， ② 由①②得0＝－2x＋3x－1， ∴2x－3x＋1＝0， 因式分解得：(x0－1)2(2x0＋1)＝0， ∴x0＝1或x0＝－， ∴兩個(gè)切點(diǎn)為(1，－1)，(－，－) ∴兩條切線方程為y＋1＝－1(x－1)和y＋＝(x＋)

13、 即x＋y＝0或23x－4y＝0. 19．蜥蜴的體溫與陽光的照射有關(guān)，其關(guān)系為T(t)＝＋15，其中T(t)為體溫(單位：℃)，t為太陽落山后的時(shí)間(單位：min)． (1)從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫下降了多少？ (2)從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫的平均變化率是多少？它代表什么實(shí)際意義？ (3)求T′(5)，并說明它的實(shí)際意義． [答案]　(1)16℃　(2)1.6℃　(3)t＝5時(shí)蜥蜴體溫下降的速度為1.2℃/min [解析]　(1)在t＝0和t＝10時(shí)，蜥蜴的體溫分別為T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23， 故從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫下降了16℃.

14、 (2)平均變化率為＝－＝－1.6(℃)． 它表示從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫平均每分鐘下降1.6℃. (3)T′(5)＝ ＝－1.2， 它表示t＝5時(shí)蜥蜴體溫下降的速度為1.2℃/min. 20．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖像都過點(diǎn)P(2,0)，且在點(diǎn)P處有公共切線，求f(x)，g(x)的表達(dá)式． [答案]　f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16 [解析]　∵f(x)＝2x3＋ax的圖像過點(diǎn)P(2,0)， ∴a＝－8，∴f(x)＝2x3－8x. ∴f′(x)＝6x2－8. 對(duì)于g(x)＝bx2＋c的圖像過點(diǎn)P(2,0)，得4b＋c＝

15、0. 又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16. ∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16. 綜上，可知f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16. 21．求滿足下列條件的函數(shù)f(x)． (1)f(x)是一元三次函數(shù)，且f(0)＝0，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(3)＝0； (2)f′(x)是一次函數(shù)，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1. [答案]　(1)f(x)＝x3－x2　(2)f(x)＝2x2＋2x＋1 [解析]　(1)設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由已知，得， 解之，得a＝，b＝－，c＝0，d＝0. 故f(x)＝x3－x2. (2)由于f′(x)為一次函數(shù)，則f(x)必為二次函數(shù)． 令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b， 代入x2f′(x)＋(－2x＋1)f(x)＝1中， x2(2ax＋b)＋(－2x＋1)(ax2＋bx＋c)＝1， 即(－b＋a)x2＋(b－2c)x＋(c－1)＝0， 由多項(xiàng)式恒等的條件知， 解之，得. 所以f(x)＝2x2＋2x＋1.