新版高中數(shù)學 第3章 1第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調性課時作業(yè) 北師大版選修22

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1、 新版數(shù)學北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學 第3章 1第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調性課時作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1．函數(shù)y＝xlnx＋m的單調遞增區(qū)間是(　　) A．(，＋∞) B．(0，e) C．(0，) D．(，e) [答案]　A [解析]　定義域為{x|x>0}， 由y′＝lnx＋1>0，得x>. 2．函數(shù)f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上(　　) A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增 D．在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上增 [答案]　A [解析]　f′(x)＝2－cosx>0在(－∞

2、，＋∞)上恒成立． 3．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) [答案]　D [解析]　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞，2) (2，＋∞) f′(x) － ＋ f(x) 單調遞減 單調遞增 由此得，函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，2)，單調遞增區(qū)間為(2，＋∞)，故選D. 4．函數(shù)f(x)＝(x＋3)e－x的單調遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，－2) B．(0,3) C

3、．(1,4) D．(2，＋∞) [答案]　A [解析]　∵f(x)＝(x＋3)e－x， ∴f ′(x)＝e－x－(x＋3)e－x＝e－x(－x－2)， 由f ′(x)>0得x<－2，∴選A． 5．(2014新課標Ⅱ文，11)若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)單調遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) [答案]　D [解析]　由條件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1. 把函數(shù)的單調性轉化為恒成立問題是解決問題的關鍵． 二、填空題 6．函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33

4、x＋6的單調減區(qū)間為________． [答案]　(－1,11) [解析]　f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令(x－11)(x＋1)<0，解得－1

5、2＋mx＋1是R上的單調函數(shù)，f′(x)＝3x2＋2x＋m，由題意可知f(x)在R上只能遞增，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥. 三、解答題 9．求函數(shù)y＝2x3－3x的單調區(qū)間． [解析]　由題意得y′＝6x2－3.令y′＝6x2－3>0，解得x<－或x>. 當x∈(－∞，－)時，函數(shù)為增函數(shù)；當x∈(，＋∞)時，函數(shù)也為增函數(shù)． 令y′＝6x2－3<0，解得－

6、求a的范圍． [解析]　解法一：(區(qū)間法) f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1. 當a－1≤1，即a≤2時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內單調遞增，不合題意． 當a－1>1，即a>2時，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上單調遞增，在(1，a－1)上單調遞減，由題意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)， 所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7. 解法二：(數(shù)形結合) 如圖所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)內f′(x)≤0，(6，＋∞)內f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根為1，則另一根在[

7、4,6]上． 所以即所以5≤a≤7. 解法三：(轉化為不等式的恒成立問題) f′(x)＝x2－ax＋a－1.因為f(x)在(1,4)內單調遞減，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因為27，所以a≤7時，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由題意知5≤a≤7. [點評]　本題是含參數(shù)單調性問題，是高考的重點和熱點，體現(xiàn)了數(shù)學上的數(shù)形結合與

8、轉化思想. 一、選擇題 1．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個區(qū)間內是增函數(shù)(　　) A．(，) B．(π，2π) C．(，) D．(2π，3π) [答案]　B [解析]　y′＝－xsinx.當x∈(π，2π)時，y′>0，則函數(shù)y＝xcosx－sinx在區(qū)間(π，2π)內是增函數(shù)． 2．設函數(shù)f(x)在定義域內可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為(　　) [答案]　D [解析]　函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增，則導函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(－∞，0)上的函數(shù)值為正，排除A、C；原函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0，＋∞)

9、上先增再減，最后再增，其導函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)值先正、再負、再正，排除B.故選D. 3.(2014福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長樂二中聯(lián)考)設函數(shù)F(x)＝是定義在R上的函數(shù)，其中f(x)的導函數(shù)f ′(x)滿足f ′(x)e2f(0)，f(2012)>e2012f(0) B．f(2)e2012f(0) C．f(2)e2f(0)，f(2012)

10、x)＝的導數(shù) F′(x)＝＝<0， ∴函數(shù)F(x)＝是定義在R上的減函數(shù)， ∴F(2)0時，a≥－－恒成立． 令＝t，x∈(0,1]，∴t≥1. ∴a≥t－4t2－3t3恒成立． 令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2

11、 對稱軸t＝－＝－， ∴函數(shù)g′(t)在[1，＋∞)上減函數(shù) 而且g′(1)＝－16<0， ∴g′(t)<0在[1，＋∞)上成立． ∴g(t)在[1，＋∞)上是減函數(shù)， ∴g(t)max＝g(1)＝－6. 當x<0時，a≤－－恒成立 ∵x∈[－2,0)，∴t≤－， 令g′(t)＝0，∴t＝－1， ∴g(t)在(－∞，－1]上為減函數(shù)，在(－1，－]上為增函數(shù)， ∴g(t)min＝g(－1)＝－2， ∴－6≤a≤－2. 二、填空題 5．(2014鄭州網校期中聯(lián)考)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________． [答案

12、]　b≤－1 [解析]　f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，∴f ′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1. 6．下圖為函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖像，f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，則不等式xf′(x)<0的解集為__________________． [答案]　(－∞，－)∪(0，) [解析]　由f(x)的圖像知，f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上為增函數(shù)，在(－，)上為減函數(shù)， ∴當x∈(－∞，－)∪(，＋∞)時，f′(x)>0； 當x∈(－，)時，f′(x)<0.

13、 ∴xf′(x)<0的解集為(－∞，－)∪(0，)． 三、解答題 7．設f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)． (1)確定a的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間． [解析]　(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx， 故f ′(x)＝2a(x－5)＋. 令x＝1，得f(1)＝16a，f ′(1)＝6－8a， 所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)，由點(0,6)在切線上可得6－16a＝8a－6，故a＝. (2)由(1)知，f(x)＝(x－5)

14、2＋6lnx(x>0)， f ′(x)＝x－5＋＝. 令f ′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3. 當03時，f ′(x)>0，故f(x)的增區(qū)間為(0,2)，(3，＋∞)；當2

15、 ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是單調增函數(shù)， ∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2對x∈R恒成立． ∵3x2≥0，∴只需a≤0， 又a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，∴a≤0. (2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， 得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立． ∵－1