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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
第二章 2.6距離的計算
一、選擇題
1.以下說法錯誤的是( )
A.兩平行平面之間的距離就是一個平面內(nèi)任一點到另一平面的距離
B.點P到面α的距離公式是d=||,其中A為面α內(nèi)任一點,n為面α的法向量
C.點P到直線l的距離公式是d=||,其中A為直線l上任一點,a為l的法向量
D.異面直線l1與l2,在l1上任取一點P,在l2上任取一點Q,則||的最小值,就是l1與l2的距離
[答案] C
[解析] 選項C中,a必須與l以及共面時,此公式才成立.
2.二面角α-l-β等于120,A、B是棱l上兩點,AC、BD分別在半平面
2、α、β內(nèi),AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,則CD的長等于( )
A. B.
C.2 D.
[答案] C
[解析] 如圖所示,∵||=||=||=1,
∴由=++得||2=+++2+2+2=||2+||2+||2+2=3+2cos(180-120)=4,∴||=2.
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=1則點A到平面A1BC的距離為( )
A. B.
C. D.
[答案] B
4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,則平面A1BC1與平面ACD1的距離是( )
A. B.
C.3
3、D.2
[答案] A
5.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是棱AA1、BB1的中點,G為棱A1B1上的一點,且A1G=λ(0≤λ≤1),則點G到平面D1EF的距離為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由A1B1∥平面D1EF知,點G到平面D1EF的距離即為直線A1B1 上任一點到平面D1EF的距離,可求點A1或B1到平面D1EF的距離.
6.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別是線段BB1、B1C1的中點,則直線MN和平面ACD1的距離是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解
4、析] 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),D1(0,0,1),M(1,1,),N(,1,1),C(0,1,0).
所以=(-1,0,1),
=(-,0,).
所以=.又直線AD1與MN不重合,
所以∥.又MN平面ACD1,
所以MN∥平面ACD1.
因為=(-1,0,1),=(0,1,-1),=(-1,1,0).
設(shè)平面ACD1的法向量n=(x,y,z),
則所以
所以x=y(tǒng)=z.令x=1,則n=(1,1,1).
又因為=(1,1,)-(1,0,0)=(0,1,),
所以||==.
所以點M到平面ACD1的距離為
==.
簡解:延長NM交CB的延長線
5、于H,連AH、D1H,MH∥平面ACD1,∴M到平面ACD的距離即為H到平面ACD1的距離.則VD1-AHC===VH-ACD1=h∴h=.
二、填空題
7.正方形ABCD與ABEF的邊長都為a,若二面角E-AB-C的大小為30,則EF到平面ABCD的距離為______________.
[答案] a
[解析] EF到平面ABCD的距離即為點E到平面ABCD的距離,∴d=A.
8.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是A1B1、CD的中點,則點B到平面AEC1F的距離為________________.
[答案]
[解析] 以D為原點,建立如圖所示的空間直
6、角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),F(xiàn)(0,,0),E(1,,1),B(1,1,0).
∴=(0,,1),=(-1,,0).
設(shè)平面AEC1F的法向量為n=(1,λ,μ),則n=0,n=0.
∴∴
∴n=(1,2,-1).又∵=(0,1,0),
∴點B到平面AEC1F的距離d===.
三、解答題
9.如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
求BF的長.
[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4
7、,3).
設(shè)F(0,0,z),
∵AEC1F為平行四邊形,∴由=得(-2,0,z)=(-2,0,2).
∴z=2,∴F(0,0,2),=(-2,-4,2).
于是||=2,即BF的長為2.
10.已知三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長均為a,側(cè)棱垂直于底面,D是側(cè)棱CC1的中點,問a為何值時,點C到平面AB1D的距離為1.
[解析] 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)可知A(a,,0),C(0,a,0),B1(0,0,a),D(0,a,),于是有=(-a,-,a),=(0,a,-),=(-a,,0).
設(shè)n=(x,y,z)為平面AB1D的法向量,則
?.
令y=1,可
8、得n=(,1,2).
所以點C到平面AB1D的距離d=||=A.
令a=1,解得a=2.
即a=2時,點C到平面AB1D的距離為1.
一、選擇題
1.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是A1C1的中點,則O到平面ABC1D1的距離為( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 以、、為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,1),C1(0,1,1),==,平面ABC1D1的法向量=(1,0,1),點O到平面ABC1D1的距離
d===.
2.已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在α內(nèi),則P(-2,1,4)到α的
9、距離為( )
A.10 B.3
C. D.
[答案] D
[解析] =(1,2,-4),又平面α的一個法向量為n=(-2,-2,1),所以P到α的距離為||==.
3.空間四點A、B、C、D每兩點的連線長都等于a,動點P在線段AB上,動點Q在線段CD上,則點P到Q的最小距離為( )
A. B.a(chǎn)
C.a(chǎn) D.a(chǎn)
[答案] B
[解析] 如圖,求PQ的最小值,需先將PQ表示出來,再用代數(shù)方法確定最值.由題設(shè)可知,、、兩兩夾角均為60.
設(shè)=-λ,=μ,則=++=-λ++μ(-)=-λ+(1-μ)+μ.
∴||2=λ2+(1-μ)2+μ2+2λ(μ-1)+2(1-μ)μ-
10、2λμ=λ2a2+a2-2μa2+μ2a2+μ2a2+λμa2-λa2+μa2-μ2a2-λμa2=a2(λ2+μ2-μ-λ+1)=a2[(λ-)2+(μ-)2+]≥.∴||≥A.
4.已知平面α∥平面β,線段AB、CD夾在α、β之間,AB=13,CD=5,且它們在β內(nèi)的射影之差為2,則α和β之間的距離為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
[答案] C
[解析] 如圖所示,設(shè)A、C在平面β上的射影為A′、C′,則設(shè)α、β之間的距離AA′=CC′=a,且BA′、DC′分別為AB、CD在β內(nèi)的射影.
在Rt△AA′B中,AB=13,
則A′B=
=.
在Rt△CC′D中,C
11、D=5,
則C′D==.
又∵C′D與A′B相差為2,即A′B-C′D=-=2,
∴a=5,∴平面α和β之間的距離為5.
二、填空題
5.在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90,PA=AB=BC=2,AD=1,則AD到平面PBC的距離為________________.
[答案]
[解析] 由已知AB,AD,AP兩兩垂直.
∴以A為坐標(biāo)原點AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),=(2,0,-2),=(0,2,0),設(shè)平面PBC的法向
12、量為n=(a,b,c),則
∴n=(1,0,1),又=(2,0,0),
∴d==.
簡解:由題意易知AD⊥平面PAB且AD∥平面PBC,取PB的中點H,則AH⊥平面PBC且AH=PB=,故AD到平面PBC的距離為.
6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱長均為1,則點B1到平面ABC1的距離為________.
[答案]
[解析] 解法一:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),
則=,=(0,1,0),=(0,1,-1),
設(shè)平面ABC1的法向量為n=(x,y,1),
則有解得n=,
則d===
13、.
解法二:VB1—ABC1=VA—BB1C1,
VA—BB1C1=S△BB1C1AB=,
又∵VB1—ABC1=S△ABC1h,S△ABC1=AB=,
∴h=.
簡解:由題意可知B1到平面ABC的距離等于C到平面ABC的距離.由VC1-ABC=VC-ABC1知=,∴h=,即B1到平面ABC的距離為.
三、解答題
7.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點,N為BC的中點.
(1)證明:直線MN∥平面OCD;
(2)求異面直線AB與MD所成角的大小;
(3)求點B到平面OCD的距離.
[解析
14、] 方法1(綜合法):
(1)取OB中點E,連接ME,NE,
∵ME∥AB,AB∥CD,∴ME∥CD.
又∵NE∥OC,ME∩NE=E,
∴平面MNE∥平面OCD.又∵MN平面MNE,
∴MN∥平面OCD.
(2)∵CD∥AB,
∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角(或其補角).
作AP⊥CD于點P,連接MP,
∵OA⊥平面ABCD,∴CD⊥MP,
∵∠ADP=,∴DP=.
∵MD==,
∴cos∠MDP==,∠MDC=∠MDP=.
所以,AB與MD所成角的大小為.
(3)∵AB∥平面OCD,
∴點B和點A到平面OCD的距離相等.
連接OP,過點A作AQ⊥O
15、P于點Q.
∵AP⊥CD,OA⊥CD,
∴CD⊥平面OAP,∴AQ⊥CD.
又∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面OCD,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離.
∵OP==
==,AP=DP=,
∴AQ===,
所以,點B到平面OCD的距離為.
方法2(向量法):
作AP⊥CD于點P,如圖,分別以AB、AP、AO所在直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系.
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,,0),D(-,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1-,,0).
(1)=(1-,,-1),=(0,,-2),=(-,,-2).
設(shè)平面OCD的法向量為n=(x,y,z),
16、則
n=0,n=0.即,
取z=,解得n=(0,4,).
∵n=(1-,,-1)(0,4,)=0.
又∵MN平面OCD,∴MN∥平面OCD.
(2)設(shè)AB與MD所成角為θ,
∵=(1,0,0),=(-,,-1),
∴cosθ==,∴θ=.
AB與MD所成角的大小為.
(3)設(shè)點B到平面OCD的距離為d,則d為在向量n=(0,4,)上的投影的絕對值.
由=(1,0,-2),得d==.
所以,點B到平面OCD的距離為.
8.(2014北京理)如圖,正方形AMDE的邊長為2,B、C分別為AM、MD的中點.在五棱錐P-ABCDE中,F(xiàn)為棱PE的中點,平面ABF與棱PD、PC分別
17、交于點G、H.
(1)求證:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.
[解析] (1)在正方形AMDE中,因為B是AM的中點,所以AB∥DE.
又因為AB?平面PDE,所以AB∥平面PDE.
因為AB?平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,
所以AB∥FG.
(2)因為PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(xiàn)(0,1,1),=(1,1,0).
設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),則
即
令z=1,則y=-1,所以n=(0,-1,1).
設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α,則
sinα=|cos〈n,〉|=||=.
因此直線BC與平面ABF所成角的大小為.
設(shè)點H的坐標(biāo)為(u,v,w).
因為點H在棱PC上,所以可設(shè)=λ(0<λ<1),
即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2),所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ,
因為n是平面ABF的法向量,所以n=0,即(0,-1,1)(2λ,λ,2-2λ)=0,
解得λ=,所以點H的坐標(biāo)為(,,).
所以PH==2.