2020高中數(shù)學(xué) 3.2第1課時拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí) 北師大版選修21

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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 第三章 3.2 第1課時拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、選擇題 1.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),到點(diǎn)(1,1)和直線x+2y=3的距離相等的點(diǎn)的軌跡是(  ) A.直線      B.拋物線 C.圓 D.雙曲線 [答案] A [解析] ∵點(diǎn)(1,1)在直線x+2y=3上,故所求點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)(1,1)且與直線x+2y=3垂直的直線. 2.拋物線y2=8px(p>0),F(xiàn)為焦點(diǎn),則p表示(  ) A.F到準(zhǔn)線的距離 B.F到準(zhǔn)線距離的 C.F到準(zhǔn)線距離的 D.F到y(tǒng)軸的距離 [答案] B [解析] 設(shè)y2=2mx(m>0),則m表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)

2、線的距離,又2m=8p,∴p=. 3.拋物線y2=x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 設(shè)P(x0,y0),則|PF|=x0+=x0+=2, ∴x0=,∴y0=. 4.一動點(diǎn)到點(diǎn)(3,0)的距離比它到直線x=-2的距離大1,則動點(diǎn)的軌跡是(  ) A.橢圓 B.雙曲線 C.雙曲線一支 D.拋物線 [答案] D 5.(2014新課標(biāo)Ⅰ文)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=x0,則x0=(  ) A.1  B.2 C.4 D.8 [答案] A [解析] 本題考查拋物線的定

3、義及標(biāo)準(zhǔn)方程. 由拋物線的定義知:|AF|=x0+=x0,∴x0=1. 6.直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn),過A、B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為P、Q,則梯形APQB的面積為(  ) A.48 B.56 C.64 D.72 [答案] A [解析] 聯(lián)立 解得A(1,-2),B(9,6), 則|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8, S梯形==48. 二、填空題 7.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為________________;若P為拋物線y2=8x上一點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,2),則|MP|+|FP|的最小值為______________

4、__. [答案] (2,0) 6 [解析] y2=24x,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).|PF|等于P點(diǎn)到拋物線y2=8x的準(zhǔn)線的距離d,所以|PF|+|PM|的最小值等于M到拋物線準(zhǔn)線的距離d′=4+2=6. 8.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線段AB的長為8,則p=______________. [答案] 2 [解析] 本小題主要考查拋物線的性質(zhì)、弦長等基礎(chǔ)知識. 直線AB:y=x-代入拋物線y2=2px, 得x2-3px+=0, ∴x1+x2=3p,∴3p+p=8,∴p=2. 三、解答題 9.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下,分

5、別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程. (1)y2=6x; (2)2y2-5x=0. [分析] 先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式,求出p,再根據(jù)開口方向,寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. [解析] (1)∵2p=6,∴p=3,開口向右. 則焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0),準(zhǔn)線方程為x=-. (2)將2y2-5x=0變形為y2=x. ∴2p=,p=,開口向右. ∴焦點(diǎn)為(,0),準(zhǔn)線方程為x=-. [總結(jié)反思] 根據(jù)拋物線方程求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,一定要先化為標(biāo)準(zhǔn)形式,求出的值,即可寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. 10.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為x軸,拋物線上的點(diǎn)M(3,m)到焦點(diǎn)的距離等于5,求拋物線的方程和m的

6、值. [解析] 解法一:設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點(diǎn)F, 由題設(shè)可得 解得或. 故拋物線方程為y2=8x,m的值為2. 解法二:設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線方程為x=-. 根據(jù)拋物線定義,點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于5,也就是點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于5, 則3+=5,∴p=4, 因此拋物線方程為y2=8x. 又點(diǎn)M(3,m)在拋物線上,于是m2=24, ∴m=2. [總結(jié)反思] 解法二利用拋物線的定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,既快捷又方便,要善于轉(zhuǎn)化. 一、選擇題 1.已知點(diǎn)M是拋物線y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的

7、焦點(diǎn),若以|MF|為直徑作圓,則這個圓與y軸的關(guān)系是(  ) A.相交 B.相切 C.相離 D.以上三種情形都有可能 [答案] B [解析] 如圖,由MF的中點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線AE,交直線l于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)B;由點(diǎn)M作準(zhǔn)線l的垂線MD,垂足為D,交y軸于點(diǎn)C, 則MD=MF,ON=OF, ∴AB====,∴這個圓與y軸相切. 2.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在拋物線上,且2x2=x1+x3,則有(  ) A.|P1F|+|P2F|=|P3F| B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2 C.2|

8、P2F|=|P1F|+|P3F| D.|P2F|2=|P1F||P3F| [答案] C [解析] 因?yàn)镻1、P2、P3在拋物線上,且2x2=x1+x3,兩邊同時加上p,得2(x2+)=x1++x3+,即2|P2F|=|P1F|+|P3F|,故選C. 3.(2014萬州市分水中學(xué)高二期中)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),若|PF|=4,則△POF的面積為(  ) A.2 B.2 C.2 D.4 [答案] C [解析] 拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-,焦點(diǎn)F(,0),由|PF|=4及拋物線的定義知,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)xP=3,從而yP=2, ∴S△POF=|OF

9、||yP|=2=2. 4.設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個動點(diǎn),F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn).若B(3,2),|PB|+|PF|的最小值為(  ) A.2 B.4 C.5 D.6 [答案] B [解析] 如圖把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y2=4x中,得y=,因?yàn)?2,所以B在拋物線內(nèi)部,自B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q,交拋物線于P1. 此時,由拋物線定義知:|P1Q|=|P1F|. 那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4. 即最小值為4. 二、填空題 5.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)弦的兩個端點(diǎn)分別為A(x1,y1)和B(x2,y2),若x1+x2=6,那么|AB|=_____

10、___________. [答案] 8 [解析] 設(shè)焦點(diǎn)為F,由p=2,利用焦半徑公式, 得|AB|=|AF|+|BF|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=6+2=8. 6.沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2=ax反射后,與x軸相交于點(diǎn)A(2,0),則拋物線的準(zhǔn)線方程為________________(提示:拋物線的光學(xué)性質(zhì):從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行). [答案] x=-2 [解析] 由直線y=-2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點(diǎn),故準(zhǔn)線方程為x=-2. 三、解答題 7.過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影是A1、

11、B1,求∠A1FB1. [解析] 如圖所示,由拋物線的定義得,|AF|=|AA1|, |BF|=|BB1|,∴∠1=∠2, ∠3=∠4, 又∠1+∠2+∠3+∠4 +∠A1AF+∠B1BF=360, 且∠A1AF+∠B1BF=180, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180, ∴2(∠2+∠4)=180, 即∠2+∠4=90,故∠A1FB1=90. 8.如圖所示,拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(1,2)、A(x1,y1)、B(x2,y2)均在拋物線上. (1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程; (2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時,求y1+y2的值及直線

12、AB的斜率. [分析] 根據(jù)兩直線傾角互補(bǔ),kPA=-kPB,利用斜率公式求解. [解析] (1)由已知條件,可設(shè)拋物線的方程為y2=2px. ∵點(diǎn)P(1,2)在拋物線上,∴22=2p1,得p=2. 故所求拋物線的方程是y2=4x,準(zhǔn)線方程是x=-1. (2)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB. 則kPA=(x1≠1),kPB=(x2≠1). ∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ),∴kPA=-kPB. ∴=-.∴y1+2=-(y2+2). ∴y1+y2=-4. 由A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線上,得 y=4x1,①y=4x2,② 由①-②得直線AB的斜率 kAB===-=-1(x1≠x2). [總結(jié)反思] 解析幾何問題要根據(jù)題中信息,結(jié)合題目特征,通過設(shè)而不求的方法進(jìn)行解答.

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