2020高中數(shù)學(xué) 2.2.2拋物線的簡單性質(zhì)練習(xí) 北師大版選修11

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1、 北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 2.2.2拋物線的簡單性質(zhì)練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1.頂點在坐標(biāo)原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,過點(-2,3)的拋物線方程是(  ) A.y2=x B.x2=y(tǒng) C.y2=-x或x2=-y D.y2=-x或x2=y(tǒng) [答案] D [解析] ∵點(-2,3)在第二象限, ∴設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0)或x2=2p′y(p′>0), 又點(-2,3)在拋物線上, ∴9=4p,p=,4=6p′,p′=. 2.(2014山師大附中高二期中)拋物線y2=-2px(p>0)的焦點恰好與橢圓+

2、=1的一個焦點重合,則p=(  ) A.1   B.2   C.4   D.8 [答案] C [解析] 橢圓中a2=9,b2=5,∴c2=a2-b2=4,∴c=2,∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),拋物線y2=-2px(p>0)的焦點F(-,0)與F1重合,∴-=-2,∴p=4,故選C. 3.動圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動圓恒與直線x+2=0相切,則動圓必過定點(  ) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) [答案] B [解析] ∵圓心到直線x+2=0的距離等于到拋物線焦點的距離,∴定點為(2,0). 4.拋物線y2=4x上點P(a,2

3、)到焦點F的距離為(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 [答案] B [解析] ∵點P(a,2)在拋物線上, ∴4a=4,∴a=1,∴點P(1,2). 又拋物線的焦點F坐標(biāo)為(1,0), ∴|PF|==2. 5.P為拋物線y2=2px的焦點弦AB的中點,A、B、P三點到拋物線準(zhǔn)線的距離分別是|AA1|、|BB1|、|PP1|,則有(  ) A.|PP1|=|AA1|+|BB1| B.|PP1|=|AB| C.|PP1|>|AB| D.|PP1|<|AB| [答案] B [解析] 如圖, 由題意可知|PP1|=, 根據(jù)拋物線的定義,得 |AA1|=|AF|,|B

4、B1|=|BF|, ∴|PP1|==|AB|. 6.過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點,若點A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1,B1,則∠A1FB1為(  ) A.45 B.60 C.90 D.120 [答案] C [解析] 設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0). 如圖,∵|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, ∴∠AA1F=∠AFA1,∠BFB1=∠FB1B. 又AA1∥Ox∥B1B, ∴∠A1FO=∠AF1A,∠B1FO=∠FB1B, ∴∠A1FB1=∠AFB=90. 二、填空題 7.沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2=ax反射后,與x軸相

5、交于點A(2,0),則拋物線的準(zhǔn)線方程為________. [答案] x=-2 [解析] 由拋物線的幾何性質(zhì):從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行,及直線y=-2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點,故準(zhǔn)線方程為x=-2. 8.一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2=ax上,另一個頂點在坐標(biāo)原點,如果這個三角形的面積為36,則a=________. [答案] 2 [解析] 設(shè)正三角形邊長為x. 由題意得,36=x2sin60,∴x=12. 當(dāng)a>0時,將(6,6)代入y2=ax,得a=2. 當(dāng)a<0時,將(-6,6)代入y2=ax,得a=-2,故a=2. 三、解答題 9.已知

6、拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交的公共弦長等于2,求拋物線的方程. [答案] y2=3x或y2=-3x [解析] 如圖,設(shè)所求拋物線的方程為y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),設(shè)交點A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),則|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2.由對稱性知y2=-y1,∴y1=.將y1=代入x2+y2=4得x=1,∴點(1,)、(-1,)分別在拋物線y2=2px,y2=-2px上.∴3=2p或3=(-2p)(-1).∴p=.故所求拋物線的方程為y2=3x或y2=-3x. 10.已知拋物線y2=-x與直線y=

7、k(x+1)相交于A,B兩點. (1)求證:OA⊥OB; (2)當(dāng)△OAB的面積等于時,求k的值. [答案] (1)略 (2) [解析] (1)如圖所示,由方程組,消去x得,ky2+y-k=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2=-1,y1+y2=-. ∵A,B在拋物線y2=-x上, ∴y=-x1,y=-x2,∴yy=x1x2. ∵kOAkOB====-1, ∴OA⊥OB. (2)設(shè)直線與x軸交于N,顯然k≠0. 令y=0,則x=-1,即N(-1,0). ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN =|ON||y1|+|ON||y2|

8、=|ON||y1-y2|, ∴S△OAB=1 =. ∵S△OAB=, ∴=, 解得k=. 一、選擇題 1.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a的值為(  ) A.  B.-  C.8   D.-8 [答案] B [解析] y=ax2?x2=y(tǒng),由題意得 =-2,a=-,故選B. 2.已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點O,并且經(jīng)過點M(2,y0).若點M到該拋物線焦點的距離為3,則|OM|=(  ) A.2 B.2 C.4 D.2 [答案] B [解析] 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線定義的應(yīng)用等知識. 由于拋物線關(guān)于x軸對稱,頂點在坐標(biāo)原

9、點且經(jīng)過點M(2,y0),可設(shè)方程為y2=2px,由點M到拋物線焦點的距為3,則由拋物線定義得2+=3,解得p=2,則y2=4x,又M(2,y0)在拋物線y2=4x上,則y=8,|OM|===2. 3.(2014湖南省長沙一中期中考試)已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,過F作傾斜角為30的直線,與拋物線交于A,B兩點,若∈(0,1),則=(  ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 因為拋物線的焦點為(0,),直線方程為y=x+,與拋物線方程聯(lián)立得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p, 所以==.故選C. 4.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸相交

10、于點Q,若過點Q的直線與拋物線有公共點,則此直線的斜率的取值范圍是(  ) A.[-,] B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] [答案] C [解析] 準(zhǔn)線x=-2,Q(-2,0),設(shè)y=k(x+2), 由,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0, 當(dāng)k=0時,x=0,即交點為(0,0);當(dāng)k≠0時,由Δ≥0得,-1≤k<0或0

11、代入拋物線的方程,得x=3,即xM=3. 由拋物線的方程y2=4x,知F(1,0). ∴焦點F到AB的距離為2. 6.過點P(2,2)作拋物線y2=3x的弦AB,恰被P所平分,則AB所在的直線方程為______________. [答案] 3x-4y+2=0 [解析] 解法一:設(shè)以P為中點的弦AB端點坐標(biāo)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則有y=3x1,  ① y=3x2,  ② x1+x2=4,y1+y2=4.  ③ ①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2). ④ 將③代入④得 y1-y2=(x1-x2),即=,∴k=. ∴所求弦AB所在直線方程

12、為y-2=(x-2),即3x-4y+2=0. 解法二:設(shè)弦AB所在直線方程為y=k(x-2)+2. 由消去x,得ky2-3y-6k+6=0, 此方程的兩根就是線段端點A、B兩點的縱坐標(biāo),由韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式,得y1+y2=,又y1+y2=4,∴k=. ∴所求弦AB所在直線方程為3x-4y+2=0. 三、解答題 7.已知拋物線x2=4y,點P是此拋物線上的動點,點A的坐 標(biāo)為(12,6),求點P到點A的距離與到x軸的距離之和的最小值. [答案] 12 [解析] 將x=12代入x2=4y得y=36>6, ∴點A在拋物線外部,拋物線的焦點為F(0,1),準(zhǔn)線l:y=-1,過點

13、P作PB⊥l于B,交x軸于C,如上圖所示,則|PA|+|PC|=|PA|+|PB|-1=|PA|+|PF|-1,要使|PA|+|PC|最小,只需P,A,F(xiàn)三點在一條直線上,此時,|PA|+|PF|=|AF|=13. 故|PA|+|PC|的最小值為12. 8.拋物線的頂點在原點,以x軸為對稱軸,經(jīng)過焦點且傾斜角為135的直線,被拋物線所截得的弦長為8,試求拋物線方程. [答案] y2=4x [解析] 如圖所示,依題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0), 則直線方程為y=-x+p. 設(shè)直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2),則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+, 即x1++x2+=8. ① 又A(x1,y1)、B(x2,y2)是拋物線和直線的交點, 由,消去y得x2-3px+=0, ∴x1+x2=3p.將其代入①得p=2,∴所求拋物線方程為y2=4x. 當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2=-2px時,同理可求得拋物線方程為y2=-4x.

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