2020高中數(shù)學(xué) 第1章 2綜合法和分析法課時(shí)作業(yè) 北師大版選修22

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1、 北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第1章 2綜合法和分析法課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1.若a,b∈R,則>成立的一個(gè)充分不必要條件是(  ) A.a(chǎn)b>0        B.b>a C.a(chǎn)<b<0 D.a(chǎn)b(a-b)<0 [答案] C [解析] 由a<b<0?a3<b3<0?>,但>?/a<b<0. ∴a<b<0是>成立的一個(gè)充分不必要條件. 2.若x、y∈R,且2x2+y2=6x,則x2+y2+2x的最大值為(  )

2、 A.14 B.15 C.16 D.17 [答案] B [解析] 由y2=6x-2x2≥0得0≤x≤3,從而x2+y2+2x=-(x-4)2+16,∴當(dāng)x=3時(shí),x2+y2+2x有最大值,最大值為15. 3.設(shè)a與b為正數(shù),并且滿足a+b=1,a2+b2≥k,則k的最大值為(  ) A. B. C. D.1 [答案] C [解析] ∵a2+b2≥(a+b)2=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),∴kmax=. 4.要證a2+b2-1-a2b2≤0,只要證明(  ) A.2ab-1-a2b2≤0 B.a(chǎn)2+b2-1-≤0 C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2

3、-1)≥0 [答案] D 5.要使-<成立,a,b應(yīng)滿足的條件是(  ) A.a(chǎn)b<0且a>b B.a(chǎn)b>0且a>b C.a(chǎn)b<0且a<b D.a(chǎn)b>0且a>b或ab<0且a<b [答案] D [解析]?。?lt;?a-b+3-3<a-b. ∴<. ∴當(dāng)ab>0時(shí),有<,即b<a; 當(dāng)ab<0時(shí),有>,即b>A. 二、填空題 6.在△ABC中,∠C=60°,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對(duì)邊,則+=______. [答案] 1 [解析] 

4、+=,因?yàn)椤螩=60°,由余弦定理得cosC==,即a2+b2=ab+c2,所以+==1. 7.若平面內(nèi)有++=0,且||=||=||,則△P1P2P3一定是____________(形狀)三角形. [答案] 等邊 [解析] ∵++=0 ∴O為△P1P2P3的重心 又∵||=||=|| ∴O為△P1P2P3的外心 故△P1P2P3的重心、外心重合 ∴△P1P2P3為等邊三角形. 8.將下面用分析法證明≥ab的步驟補(bǔ)充完整:要證≥ab,只需證a2+b2≥2ab,也就是證________,即證________,由于________顯然成立,因此原不等式成立. [答案]

5、 a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0 三、解答題 9.已知n∈N*,且n≥2,求證:>-. [證明] 要證>-, 即證1>n-, 只需證>n-1, ∵n≥2,∴只需證n(n-1)>(n-1)2, 只需證n>n-1,只需證0>-1, 最后一個(gè)不等式顯然成立,故原結(jié)論成立. 10.已知:a、b、c∈R,且a+b+c=1. 求證:a2+b2+c2≥. [證明] 由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)). 三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+cA. ∴3(a

6、2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2. 由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1, 即a2+b2+c2≥. 一、選擇題 1.已知a、b、c滿足c<b<a,且ac<0,那么下列選項(xiàng)中一定成立的是(  ) A.a(chǎn)b>ac B.c(b-a)<0 C.cb2<ab2 D.a(chǎn)c(a-c)>0 [答案] A [解析] 由c<b<a,且ac<0得a>0,c<0.由不等式的性質(zhì)不難選出答案為A. 2.(2014·四平二模)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件

7、: ①a+b>1;?、赼+b=2;?、踑+b>2; ④a2+b2>2;?、輆b>1. 其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是(  ) A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤ [答案] C [解析] 若a=,b=,則a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出; 若a=b=1,則a+b=2,故②推不出; 若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出; 若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出; 對(duì)于③,即“a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1, 反證法:假設(shè)a≤1且b≤1, 則a+b≤2

8、與a+b>2矛盾, 因此假設(shè)不成立,a,b中至少有一個(gè)大于1. 3.已知x,y為正實(shí)數(shù),則(  ) A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx·2lgy C.2lgx·lgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx·2lgy [答案] D [解析] 2lg(xy)=2(lgx+lgy)=2lgx·2lgy. 4.已知函數(shù)f(x)=x,a、b∈R+,A=f,B=f(),C=f,則A、B、C的大小關(guān)系為(  ) A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A [答案] 

9、A [解析] ≥≥,又函數(shù)f(x)=()x在(-∞,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),∴f()≤f()≤f(). 二、填空題 5.若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,則cos(α-β)=________. [答案] - [解析] 觀察已知條件中有三個(gè)角α、β、γ,而所求結(jié)論中只有兩個(gè)角α、β,所以我們只需將已知條件中的角γ消去即可,依據(jù)sin2γ+cos2γ=1消去γ. 由已知,得sinγ=-(sinα+sinβ), cosγ=-(cosα+cosβ), ∴(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2 =sin2γ+cos2γ=1, 化簡(jiǎn)并整理得

10、cos(α-β)=-. 6.設(shè)a≥0,b≥0,a2+=1,則a·的最大值為_(kāi)___________. [答案]  [解析] a·=a·≤(a2++)=(當(dāng)且僅當(dāng)a2=+且a2+=1即a=,b=時(shí)取“=”) 三、解答題 7.分別用分析法、綜合法證明:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. [證明] 證法一:(分析法)要證(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, 只需證a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2, 即證b2c2+a2d2≥2abcd, 只需證(bc-ad)2≥0. 因?yàn)?bc-ad)2≥

11、0顯然成立, 所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立. 證法二:(綜合法)因?yàn)閎2c2+a2d2≥2abcd(當(dāng)且僅當(dāng)bc=ad時(shí)取等號(hào)), 所以a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2, 即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 8.已知x>0,y>0,x+y=1,求證:(1+)(1+)≥9. [分析] 觀察要證明的不等式,可以由條件入手,將x+y=1代入要證明的不等式,用綜合法可證;也可從基本不等式入手,用綜合法證明不等式. [證明] 證法一:∵x+y=1,∴(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+) =5+2(+). 又∵x>0,y>0,∴>0,>0. ∴+≥2, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=y(tǒng)=時(shí)取等號(hào). 則有(1+)(1+)≥5+2×2=9成立. 證法二: ∵x>0,y>0,1=x+y≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=時(shí)等號(hào)成立,∴xy≤.∴≥4. 則有(1+)(1+) =1+++ =1++=1+≥1+8=9成立. [點(diǎn)評(píng)] 用綜合法證明不等式時(shí),可以從條件出發(fā),也可以從基本不等式出發(fā),通過(guò)換元、拼湊等方法構(gòu)造定值,但若連續(xù)兩次或兩次以上利用基本不等式,需要注意幾次利用基本不等式時(shí)等號(hào)成立的條件是否相同.

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