2020高中數(shù)學(xué) 第1章 3組合課時(shí)作業(yè) 北師大版選修23

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1、 北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第1章 3組合課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-3 一、選擇題 1.(2015廣東理,4)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有10個(gè)白球,5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球,所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率為(  ) A. B. C. D.1 [答案] B [解析] 從袋中任取 2個(gè)球共有 C215=105種,其中恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球共有C110C15=50種,所以恰好1個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為=,故選B. 2.某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區(qū)服務(wù),如果要求至少有1名女生參加,那么不同的選派

2、方案種數(shù)為(  ) A.14 B.15 C.120 D.119 [答案] A [解析] 方法一:至少有1名女生,可分為兩種情況:1名女生3名男生;2名女生2名男生,所以不同的選派方案種數(shù)為CC+CC=14. 方法二:6人中選4人的方案共有C=15種,沒(méi)有女生的方案只有1種,所以滿足要求的選派方案種數(shù)為15-1=14. 3.(2014全國(guó)大綱理,5)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組,則不同的選法共有(  ) A.60種    B.70種  C.75種  D.150種 [答案] C [解析] 本題考查了分步計(jì)數(shù)原量和組合的運(yùn)算,從6名男醫(yī)

3、生選2人有C=15種選法,從5名女醫(yī)生選1人有C=5種選法,所以由分步計(jì)數(shù)原理可知共有155=75種不同的選法.解決排列組合問(wèn)題要首先確定是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,是分步還是分類.然后解決問(wèn)題. 4.把4個(gè)蘋(píng)果分給兩個(gè)人,每人至少一個(gè),不同分法種數(shù)有(  ) A.6 B.12 C.14 D.16 [答案] C [解析] 有兩類分法①一人3個(gè),一個(gè)1個(gè)有CCA種分法,②每人各2個(gè)有CC種分法.所以共有CA+CC=14種不同的分法,選C. 5.某城市街道如圖,某人要走最短路程從A地前往B地,則不同走法有(  ) A.8種 B.10種 C.12種 D.32種 [答案] B [解

4、析] 因?yàn)閺腁地到B地路程最短,我們可以在地面畫(huà)出模型,實(shí)地實(shí)驗(yàn)探究一下走法可得出:①要走的路程最短必須走5步,且不能重復(fù).②向東的走法定出后,向南的走法隨之確定.所以我們只要確定出向東的三步或向南的兩步走法有多少種即可.故有不同走法有C=C=10種.選B. 二、填空題 6.有3張參觀券,要在5人中確定3人去參觀,不同方法的種數(shù)是________(用數(shù)字作答). [答案] 10 [解析] 由于選出的人無(wú)角色差異,所以是組合問(wèn)題,不同方法種數(shù)為C==10. 7.從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字,從0、2、4、6、8中任取2個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中能被5整除的四位數(shù)共有__

5、______個(gè)(用數(shù)字作答). [答案] 300 [解析] 能被5整除,個(gè)位數(shù)字只能是0或5,共分三種情況: (1)只含有數(shù)字5,則5一定位于個(gè)位上,從1、3、7中選一個(gè),有C種選法,再?gòu)?、4、6、8中選兩個(gè),有C種選法,然后將這三個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列,有A種方法,故共有CCA=108個(gè)數(shù); (2)同理只含有數(shù)字0,有CCA=72個(gè)數(shù); (3)既有5又有0,則有兩種情況;0位于個(gè)位共有CCA個(gè)數(shù);5位于個(gè)位共有CCCA個(gè)數(shù).故共有CCA+CCCA=120個(gè)數(shù). 所以符合題意的四位數(shù)共有108+72+120=300(個(gè)). 8.從集合U={a,b,c,d}的子集中選出4個(gè)不同的子集,需

6、同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件: (1)?、U都要選出; (2)對(duì)選出的任意兩個(gè)子集A和B,必有A?B或A?B. 那么,共有________種不同的選法. [答案] 36 [解析] 將選法分成兩類.第一類:其中一個(gè)是單元素集合,則另一集合為兩個(gè)或三個(gè)元素且含有單元素集合中的元素,有C6=24種. 第二類:其中一個(gè)是兩個(gè)元素集合,則另一個(gè)是含有這兩個(gè)元素的三元素集合,有C2=12種. 綜上共有24+12=36種. 三、解答題 9.7名身高互不相等的學(xué)生,分別按下列要求排列,各有多少種不同的排法? (1)7人站成一排,要求最高的站在中間,并向左、右兩邊看,身高逐個(gè)遞減; (2)任取6名

7、學(xué)生,排成二排三列,使每一列的前排學(xué)生比后排學(xué)生矮. [解析] (1)第一步,將最高的安排在中間只有1種方法;第二步,從剩下的6人中選取3人安排在一側(cè)有C種選法,對(duì)于每一種選法只有一種安排方法,第三步,將剩下3人安排在另一側(cè),只有一種安排方法,∴共有不同安排方案C=20種. (2)第一步從7人中選取6人,有C種選法;第二步從6人中選2人排一列有C種排法,第三步,從剩下的4人中選2人排第二列有C種排法,最后將剩下2人排在第三列,只有一種排法,故共有不同排法CCC=630種. 10.在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,某學(xué)校有12人通過(guò)了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法

8、? (1)任意選5人; (2)甲、乙、丙三人必須參加; (3)甲、乙、丙三人不能參加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加; (5)甲、乙、丙三人至少有1人參加. [解析] (1)C=792種不同的選法. (2)甲、乙、丙三人必須參加,只需從另外的9人中選2人,共有C=36種不同的選法. (3)甲、乙、丙三人不能參加,只需從另外的9人中選5人,共有C=126種不同的選法. (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加,分兩步,先從甲、乙、丙中選1人,有C種選法,再?gòu)牧硗獾?人中選4人,有C種選法,故共有CC=378種不同的選法. (5)解法一(直接法):分三類: 第一類:甲、乙、丙

9、中有1人參加,有CC種選法; 第二類:甲、乙、丙中有2人參加,有CC種選法; 第三類:甲、乙、丙3人均參加,有CC種選法, 故共有CC+CC+CC=666種不同的選法. 解法二(間接法):從12人任意選5人共有C種選法,甲、乙、丙三人不能參加的有C種,所以共有C-C=666種不同的選法. 一、選擇題 1.(2014合肥八中聯(lián)考)將4個(gè)顏色互不相同的球全部收入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有(  ) A.10種 B.20種 C.36種 D.52種 [答案] A [解析] 根據(jù)2號(hào)盒子里放球的個(gè)數(shù)分類:第一類,2號(hào)

10、盒子里放2個(gè)球,有C種放法,第二類,2號(hào)盒子里放3個(gè)球,有C種放法,剩下的小球放入1號(hào)盒中,共有不同放球方法C+C=10種. 2.如圖,用四種不同顏色給圖中的A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色,則不同的涂色方法共有(  ) A.288種 B.264種 C.240種 D.168種 [答案] B [解析] 當(dāng)涂四色時(shí),先涂A、E、D為A,再?gòu)腂、F、C三點(diǎn)選一個(gè)涂第四種顏色,如B,再F,若F與D同色,則涂C有2種方法,若F與D異色則只有一種方法,故AA(2+1)=216種. 當(dāng)涂三色時(shí),先涂A、E、D為CA,再涂B有2種,F(xiàn)、

11、C各為一種,故CA2=48, 故共有216+48=264種,故選B. 3.兩人進(jìn)行乒乓球比賽,先贏3局者獲勝,決出勝負(fù)為止,則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有(  ) A.10種 B.15種 C.20種 D.30種 [答案] C [解析] 本題考查了排列組合知識(shí)與分類討論的思想. 由題意知,打三局,有兩種情形;打四局2C種情形,打五局有2C種情形,故共有2+6+12=20種不同情形,本題隱含兩人最少打三局,最多打五局比賽終止,因此要進(jìn)行合理分類. 4.2015年第十屆全國(guó)少數(shù)民族傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事

12、翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作,若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作,其余三人均能從事這四項(xiàng)工作,則不同的選派方案共有(  ) A.48種 B.12種 C.18種 D.36種 [答案] D [解析] 若小張和小趙恰有1人入選,則共有CCA=24種方案,若小張和小趙兩人都入選,則共有AA=12種方案,故總共有24+12=36種方案.故選D. 二、填空題 5.某儀表顯示屏上一排有7個(gè)小孔,每個(gè)小孔可顯示出0或1,若每次顯示其中三個(gè)孔,但相鄰的兩孔不能同時(shí)顯示,則這種顯示屏可以顯示的不同信號(hào)的種數(shù)是________種. [答案] 80 [解析] 顯示的孔不相鄰,用插空法,4個(gè)不顯示

13、孔形成5個(gè)空當(dāng). ∴有C種選法.每個(gè)孔有2種顯示方法. ∴共有23C=80種. 6.把3名輔導(dǎo)老師與6名學(xué)生分成3個(gè)小組(每組1名教師,2名學(xué)生)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)活動(dòng),但學(xué)生甲必須與教師A在一起,這樣的分組方法有________種.(用數(shù)字作答) [答案] 30 [解析] 分別給A、B、C三位老師各安排2名學(xué)生(學(xué)生甲必須與教師A在一組),一共有CCCC=30(種)不同的分組方法. 三、解答題 7.(1)解方程C=C; (2)已知-=,求C; (3)計(jì)算C+C+C+C. [解析] (1)由C=C及組合數(shù)的性質(zhì)得, 3x+6=4x-2或3x+6=18-(4x-2), 解得x=8或

14、x=2, 經(jīng)檢驗(yàn)x=8不符合題意,舍去.故x=2. (2)原方程變形為-= 即60-10(6-m)=(7-m)(6-m), 即m2-23m+42=0, 解得m=21或m=2, 又∵0≤m≤5且m∈N+, ∴m=2,∴C=C=28. (3)原式=C+C+C=C+C=C=C=210. [反思總結(jié)] 解有關(guān)組合數(shù)的不等式或方程,應(yīng)注意合組數(shù)本身有意義時(shí)的未知數(shù)的取值范圍. 8.6個(gè)人進(jìn)2間屋子: (1)每屋內(nèi)至少進(jìn)1人; (2)每屋都進(jìn)3人,問(wèn)各有多少種分配方法? [解析] (1)方法一:按第1間屋子內(nèi)進(jìn)人的數(shù)目可分為5類:進(jìn)1人,2人,3人,4人,5人.因此,要把這5類分

15、配進(jìn)屋的方法數(shù)加起來(lái),對(duì)于每一類而言,如“第1間屋內(nèi)進(jìn)4人,第2間進(jìn)2人”這類分配方式,又可看成先派4人進(jìn)入第1間屋,再派余下的2人進(jìn)入第2間屋.這樣得到CC種進(jìn)屋方 法,于是總共方法為: CC+CC+CC+CC+CC=62(種). 方法二:從6人進(jìn)2間屋子的各種分配方法數(shù)中減去不合題意的分配方法數(shù)來(lái)計(jì)算.不合題意的分配方法只有2種,即6人全進(jìn)第1間或全進(jìn)第2間.即間接法解得:26-2=62(種). (2)方法一:先派3人進(jìn)第1間屋,再讓其余3人進(jìn)第2間屋,得分配方法為:CC=20(種). 方法二:先把6人平均分成兩組,方法有:(種), 然后再分配到房間,共有A=20(種). [反思總結(jié)] (1)平均分組問(wèn)題:一般來(lái)說(shuō),km個(gè)不同的元素分成k組,每組m個(gè),則不同的分法有: (種). (2)不平均分組問(wèn)題:一般來(lái)說(shuō),把n個(gè)不同元素分成k組,每組分別有m1,m2,…,mk個(gè),m1,m2,…,mk互不相等,且m1+m2+…+mk=n,則有不同的分法為: Cm1nCm2n-m1Cm3n-(m1+m2)…Cmkmk種.如果m1,m2,…,mk中有且僅有i個(gè)相等,則不同的分法為: (種). 上面的組合問(wèn)題給出兩個(gè)解法模型,處理此類問(wèn)題的關(guān)鍵是充分考慮到是否與順序有關(guān),避免產(chǎn)生重復(fù)計(jì)數(shù).

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