2020高中數(shù)學 3.3第2課時雙曲線的簡單性質(zhì)練習 北師大版選修21

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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 第三章 3.3 第2課時 雙曲線的簡單性質(zhì) 一、選擇題 1.下列曲線中離心率為的是(  ) A.-=1       B.-=1 C.-=1 D.-=1 [答案] B [解析] 雙曲線的離心率e====,得=,只有B選項符合,故選B. 2.雙曲線x2-=1的離心率大于的充分必要條件是(  ) A.m> B.m≥1 C.m>1 D.m>2 [答案] C [解析] 雙曲線離心率e=>,所以m>1,選C. 3.已知雙曲線C:-=1的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-

2、=1 D.-=1 [答案] A [解析] 本題考查雙曲線標準方程的求法. 由題意知,焦距為10,∴c=5, 又∵P(2,1)在雙曲線的漸近線上, ∴a=2b,聯(lián)立得a2=20,b2=5, 故雙曲線方程-=1,注意焦距為2c而不是c,雙曲線的漸近線方程的求法. 4.(2014山東理)已知a>b>0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為(  ) A.xy=0 B.xy=0 C.x2y=0 D.2xy=0 [答案] A [解析] e==,e==, ∴ee==1-()4=,∴=, ∴雙曲線的漸近線方程為y=x. 5

3、.(2015天津理,6)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(2,),且雙曲線的一個焦點在拋物線y2=4x的準線上,則雙曲線的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 [答案] D [解析] 雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x,由點(2,)在漸近線上,所以=,雙曲線的一個焦點在拋物線y2=4x準線方程x=-上,所以c=,由此可解得a=2,b=,所以雙曲線方程為-=1,故選D. 6.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個焦點為F1、F2,P為雙曲線上一點,且|PF1|=3|PF2|,則該雙曲線離心率的取值范圍是(  ) A.

4、e>2 B.1<e≤2 C.e> D.e< [答案] B [解析] 由題意,∴, ∵|PF1|≥|AF1|,∴3a≥a+c, ∴e=≤2,∴1b,∴∠B1F1B2=60,

5、 ∴∠B1F1O=30.在△B1OF1中,=tan30, ∴=. ∴=.∴1-=,∴=. ∴e2==,∴e=. 三、解答題 9.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)過點A(,),且點A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為.求此雙曲線方程. [解析] 雙曲線-=1的兩漸近線的方程為bxay=0. 點A到兩漸近線的距離分別為 d1=,d2= 已知d1d2=,故=① 又A在雙曲線上,則 14b2-5a2=a2b2② ②代入①,得3a2b2=4a2+4b2③ 聯(lián)立②、③解得b2=2,a2=4. 故所求雙曲線方程為-=1. 10.如圖,F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C:-=1(a,b>

6、0)的左、右焦點,B是虛軸的端點,直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若|MF2|=|F1F2|,求C的離心率. [解析] 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì). F1(-c,0),B(0,b). ∴k=,那直線F1B方程為y=x+b, 聯(lián)立, 得P點坐標(,). Q點坐標為(,),中點N的坐標為(,), ∴MN的直線方程為y-=-(x-). 令y=0,∴x=, 又由|MF2|=|F1F2|知=3C. ∴a2=2b2,∴+1=e2=. ∴e=. 一、選擇題 1.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則m等于(  )

7、 A.-  B.-4 C.4 D. [答案] A [解析] 雙曲線方程化為標準形式:y2-=1, 則有:a2=1,b2=-, 由題設條件知,2=,∴m=-. 2.已知雙曲線kx2-y2=1的一條漸近線與直線2x+y+1=0垂直,則這個雙曲線的離心率是(  ) A.     B. C. D. [答案] D [解析] 由2x+y+1=0,知此直線的斜率k1=-2,則給定的雙曲線的一條漸近線的斜率為k2=.而雙曲線的一條漸近線為y=x,則k=,∴e===,故選D. 3.已知雙曲線-=1,過其右焦點F的直線交雙曲線于P、Q兩點,PQ的垂直平分線交x軸于點M,則的值為(  )

8、A.     B. C. D. [答案] B [解析] 依題意,將直線PQ特殊化為x軸,于是有點P(-3,0)、Q(3,0)、M(0,0)、F(5,0),=,選B. 4.已知雙曲線-=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,其一條漸近線方程為y=x,點P(,y0)在該雙曲線上,則等于(  ) A.-12  B.-2 C.0 D.4 [答案] C [解析] 由漸近線方程y=x,得b=,把點P(,y0)代入-=1中,得y0=1.不妨取P(,1),∵F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),∴=(-2-,-1)(2-,-1)=3-4+1=0. 二、填空題 5.若雙曲線-=1(b>0)的

9、漸近線方程為y=x,則b等于________________. [答案] 1 [解析] 雙曲線-=1的漸近線方程為y=x,又漸近線方程為y=x,故b=1. 6.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0)、F2(c,0),若雙曲線上存在點P使=,則該雙曲線的離心率的取值范圍是________________. [答案] (1,+1) [解析] 考查雙曲線的性質(zhì). 不妨設P為雙曲線右支上一點,由正弦定理可得 ==,∴=e,故==e-1, 而PF2=>c-a,即>e-1,∴e<+1, 又∵e>1,∴1

10、2=a2及其上一點P,求證: (1)P到它兩個焦點的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方; (2)過P作兩漸近線的垂線,構(gòu)成的矩形面積為定值. [證明] (1)設P(x0,y0),則x-y=a2, 又F1(-a,0)、F2(a,0), ∴|PF1||PF2| = = =|x0+a||x0-a|=|2x-a2| =|x+y|=|PO|2. (2)設垂足分別為Q、R,則由點到直線距離公式知 |PQ|=,|PR|=, ∴SPQOR=|PQ||PR|=|x-y|=a2(定值). [總結(jié)反思] 證定值問題亦可從特殊值出發(fā)找出定值,然后再進行論證. 8.在平面直角坐標系xOy中

11、,已知雙曲線C:2x2-y2=1. (1)F是C的左焦點,M是C右支上一點.若|MF|=2,求點M的坐標; (2)過C的左頂點作C的兩條漸近線的平行線,求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積; (3)設斜率為k(|k|<)的直線l交C于P、Q兩點,若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ. [解析] (1)雙曲線C:-y2=1,左焦點F(-,0). 設M(x,y),則|MF|2=(x+)2+y2=(x+)2, 由M點是右支上一點,知x≥,所以|MF|=x+=2,解得x=,所以M(,). (2)左頂點A(-,0),漸近線方程:y=x. 過點A與漸近線y=x平行的直線方程為:y=(x+),即y=x+1. 解方程組得 所求平行四邊形的面積為S=|OA||y|=. (3)設直線PQ的方程是y=kx+b,因直線PQ與已知圓相切,故=1,即b2=k2+1 (*). 由得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0. 設P(x1,y1),Q(x2,y2),則 又y1y2=(kx1+b)(kx2+b),所以 =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2 =++b2 =. 由(*)知,=0,所以OP⊥OQ.

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