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1、
北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
【成才之路】高中數(shù)學(xué) 2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí) 北師大版選修1-1
一、選擇題
1.已知橢圓+=1上一點(diǎn)P到其一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為( )
A.2 B.3
C.5 D.7
[答案] D
[解析] 利用橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=10.
∵|PF1|=3,∴|PF2|=7.
2.設(shè)F1,F(xiàn)2為定點(diǎn),|F1F2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是( )
A.橢圓 B.直線
C.圓 D.線段
[答案] D
[解析] ∵|MF1|+|M
2、F2|=6,|F1F2|=6,
∴|MF1|+|MF2|=|F1F2|,∴點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.
3.若方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.(1,+∞) D.(0,1)
[答案] D
[解析] 先將方程x2+ky2=2變形為+=1.
要使方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,需>2,
即0
3、,2),∴a2=,b2=1,c2=-1=4,
∴k=1.
5.已知橢圓+=1的焦點(diǎn)在y軸上,若焦距為4,則m等于( )
A.4 B.5
C.7 D.8
[答案] D
[解析] 由題意得
解得m=8.
6.已知橢圓過點(diǎn)P(,-4)和點(diǎn)Q(-,3),則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.+x2=1 B.+y2=1或x2+=1
C.+y2=1 D.以上都不對
[答案] A
[解析] 設(shè)橢圓方程為:Ax2+By2=1(A>0,B>0),
由題意得解得
二、填空題
7.已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
4、________.
[答案] +=1
[解析] 由題意可得,∴,
故b2=a2-c2=3,所以橢圓方程為+=1.
8.過點(diǎn)(-3,2)且與+=1有相同焦點(diǎn)的橢圓方程是________.
[答案]?。?
[解析] 因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為(,0),設(shè)方程為+=1,將(-3,2)代入方程可得+=1,解得a2=15,故方程為+=1.
三、解答題
9.(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點(diǎn)(,-),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(2,0)和(0,1),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
[解析] (1)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
依題意得,解得.
∴所求
5、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
∵橢圓過(2,0)和(0,1)兩點(diǎn),
∴∴
綜上可知,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
10.如圖所示,已知點(diǎn)P是橢圓+=1上的點(diǎn),F(xiàn)1和F2是焦點(diǎn),且∠F1PF2=30,求△F1PF2的面積.
[答案] 8-4
[解析] 在橢圓+=1中,a=,b=2,∴c==1,
又∵點(diǎn)P在橢圓上,∴|PF1|+|PF2|=2a=2 ①
由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30=|F1F2|2=(2c)2=4 ②
①式兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1
6、||PF2|=20 ③
③-②得(2+)|PF1||PF2|=16,
∴|PF1||PF2|=16(2-),
∴S△PF1F2=|PF1||PF2|sin30=8-4.
一、選擇題
1.設(shè)P是橢圓+=1上一點(diǎn),P到兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之差為2,則△PF1F2是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
[答案] B
[解析] 由橢圓定義,知|PF1|+|PF2|=2a=8.
又|PF1|-|PF2|=2,
∴|PF1|=5,|PF2|=3.
又|F1F2|=2c=2=4,
∴△PF1F2為直角三角形.
2.已知橢圓的兩個(gè)焦
7、點(diǎn)分別是F1、F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓
C.射線 D.直線
[答案] A
[解析] ∵|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PQ|+|PF1|=2a,
又∵F1、P、Q三點(diǎn)共線,
∴|PF1|+|PQ|=|F1Q|,∴|F1Q|=2a.
即Q在以F1為圓心,以2a為半徑的圓上.
3.設(shè)B(0,-4),C(0,4),且△ABC的周長等于18,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為( )
A.+=1(y≠0)
B.+=1(y≠0)
C.+=1(y≠0)
D.+=1(y≠0
8、)
[答案] B
[解析] 由已知2a+2c=18,c=4,所以a=5.
焦點(diǎn)在y軸上,故方程為+=1.
∵A、B、C三點(diǎn)不共線,∴y≠0.
4.(2014邯鄲市一模)橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2,點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF2的中點(diǎn)在y軸上,那么|PF2|是|PF1|的( )
A.7倍 B.5倍
C.4倍 D.3倍
[答案] A
[解析] 解法1:由條件知F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),P(-3,),即|PF1|=,由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF2|=,
即|PF2|=7|PF1|.
解法2:由已知,則PF1⊥F1F2,∴PF1==,
9、
而F1F2=2c=6,∴|PF2|2=()2+62,
∴|PF2|=,∴|PF2|是|PF1|的7倍.
二、填空題
5.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),P是橢圓上的一點(diǎn),則|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項(xiàng),則該橢圓的方程是________.
[答案] +=1
[解析] 由題意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,
∴4c=2a=4,∴a=2.
又c=1,∴b2=a2-c2=3,
故橢圓方程為+=1.
6.已知F1、F2是橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),且⊥.若△PF1F2的面積為9,則b=________.
10、[答案] 3
[解析] 本題考查橢圓的定義及整體代換的數(shù)學(xué)思想.
由橢圓定義,得|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2,
又∵⊥,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,
∴|PF1||PF2|=2b2,
S△PF1F2=|PF1||PF2|=b2=9,∴b=3.
三、解答題
7.設(shè)△ABC的三頂點(diǎn)A、B、C對應(yīng)三邊分別為a、b、c,且a、b、c(a>b>c)成等差數(shù)列,A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0)、(1,0),求頂點(diǎn)B的軌跡方程.
[答案]?。?/p>
11、=1(-2b>c,∴a>c,即|BC|>|AB|,
∴(x-1)2+y2>(x+1)2+y2,∴x<0,
∴點(diǎn)B的軌跡是橢圓的一半,方程為+=1(x<0).
又當(dāng)x=-2時(shí),點(diǎn)B、A、C在同一直線上,不能構(gòu)成△ABC,∴x≠-2.
∴頂點(diǎn)B的軌跡方程為+=1(-2b>0)的焦點(diǎn)分別為F1(0,-1),F(xiàn)2(0,1),且3a2=4b2.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在這個(gè)橢圓上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.
[答案] (1)+=1 (2)
[解析] (1)由題意得橢圓焦點(diǎn)在y軸上,且c=1.
又∵3a2=4b2,∴a2-b2=a2=c2=1,
∴a2=4,b2=3,
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)如圖所示,|PF1|-|PF2|=1.
又由橢圓定義知,|PF1|+|PF2|=4,|PF1|=,
|PF2|=,|F1F2|=2,
cos∠F1PF2===.