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新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料
【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第4章 2微積分基本定理課時作業(yè) 北師大版選修2-2
一、選擇題
1． (1＋cosx)dx等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
[答案] D
[分析] 利用微積分基本定理求定積分．
[解析] (1＋cosx)dx＝(x＋sinx) ＝(＋sin)－[－＋sin(－)]＝π＋2，故選D.
2．(2014·昆明一中模擬)曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸所圍成圖形的面積為( )
A．1 B．2
C． D．π
[答案] B
[解析] sinxdx＝(－cosx)
2、|＝－cosπ＋cos0＝2.
3．若(2x＋)dx＝3＋ln2，則a的值是( )
A．6 B．4
C．3 D．2
[答案] D
[解析] (2x＋)dx＝2xdx＋dx
＝x2|＋lnx|＝a2－1＋lna＝3＋ln2.
∴a＝2.
4．(2014·山東理，6)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為( )
A．2 B．4
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 如圖所示
∴第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8)
由定積分的幾何意義：S＝(4x－x3)dx
＝(2x2－)|＝8－4＝4.
求曲邊圖形的面積
3、通常是應(yīng)用定積分計算．
5．(2014·大連模擬)已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx＝8，則f(x)dx等于( )
A．0 B．4
C．8 D．16
[答案] D
[解析] 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，所以f(x)dx＝2f(x)dx＝8×2＝16.
二、填空題
6．若x2dx＝9，則常數(shù)T的值為________．
[答案] 3
[解析] 由x2dx＝|＝＝9，解得T＝3.
7．已知函數(shù)f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝________.
[答案] －1或
[解析] f(x)dx＝ (3x2＋2x＋
4、1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，
所以2(3a2＋2a＋1)＝4，
即3a2＋2a－1＝0，
解得a＝－1或a＝.
8．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，則a、b、c的大小關(guān)系是________．
[答案] c<a<b
[解析] a＝x2dx＝x3|＝，b＝x3dx＝x4|＝4，c＝sinxdx＝(－cosx)|＝－cos2＋1<2，∴c<a<b.
三、解答題
9．求定積分：
(1)4x3dx；(2)；(3) sinxdx.
[分析] 利用微積分基本定理解決．其中計算定積分f(x)dx的關(guān)鍵是找到滿足F′(x)＝f(x)的函數(shù)
5、F(x)．
[解析] (1)4x3dx＝x4|＝1－0＝1；
(2)＝lnx|＝ln5－ln2＝ln；
(3) sinxdx＝－cosx|0＝－(cos－cos0)＝1.
10．計算下列定積分：
(1)dx； (2)2xdx；
(3) (2x＋cosx)dx； (4) sin2xdx.
[解析] (1)因?yàn)閇ln(3x＋2)]′＝，
所以dx＝ln(3x＋2)|＝ln(3e＋2)－ln(3×0＋2)＝ln.
(2)因?yàn)?)′＝2x，所以2xdx＝()|＝－＝.
(3)因?yàn)?sinx＋x2)′＝cosx＋2x，所以 (2x＋cosx)dx＝(sinx＋x2) ＝s
6、in＋()2－sin(－)－(－)2＝2.
(4)對原式化簡sin2xdx＝dx，因?yàn)?x－sin2x)′＝，所以sin2xdx＝dx＝(x－sin2x) ＝.
一、選擇題
1. (sinx＋cosx)dx等于( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
[答案] A
[解析] (sinx＋cosx)dx
＝sinxdx＋cosxdx
＝(－cosx)|＋sinx|v＝0＋0＝0.
2.(ex＋e－x)dx等于( )
A．e＋ B．2e
C． D．e－
[答案] D
[解析] (ex＋e－x)dx＝exdx＋e－xdx
＝ex|＋(－e－x)|＝
7、e－e0－e－1＋e0
＝e－.
3．設(shè)a>0，a≠1，若axdx＝＝－2ax|，則a的值為( )
A．e－2 B．e2
C．e－ D．e
[答案] C
[解析] axdx＝a|＝－＝－2ax|
＝－2a2＋2
∴(a2－1)(＋2)＝0
∵a>0且a≠1，∴l(xiāng)na＝－，∴a＝e－
4．已知f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，則f(x)的解析式為( )
A．4x＋3 B．3x＋4
C．－4x＋2 D．－3x＋4
[答案] A
[解析] 設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(x)dx
＝(ax＋b)dx＝(
8、ax2＋bx)|
＝a＋b＝5， ①
xf(x)dx＝(ax2＋bx)dx
＝(ax3＋bx2)|＝a＋b＝. ②
聯(lián)立①②，解得a＝4，b＝3，
∴f(x)＝4x＋3.
二、填空題
5.已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是折線段ABC，其中A(0,0)、B(，1)、C(1,0)．函數(shù)y＝xf(x)(0≤x≤1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為________．
[答案]
[解析] 本題主要考查了定積分求面積，由條件得f(x)＝
xf(x)＝ S＝xf(x)dx＝2x2dx＋ (－2x2＋2x)dx
＝(x3)＋(－)＝×()3＋(－＋1)－[－×()3＋
9、()2]＝.
由圖形得函數(shù)解析式，注意f(x)的圖像是折線段，故f(x)的解析式要寫成分段函數(shù)的形式，進(jìn)一步xf(x)的解析式也要寫成分段函數(shù)的形式．
6．(2014·汕頭模擬)由三條曲線y＝x2，y＝，y＝1所圍成的封閉圖形的面積為________．
[答案]
[解析] 解方程組和得交點(diǎn)坐標(biāo)(－1，1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．
則S＝2[(x2－)dx＋(1－)dx]
＝2(x3|＋x|－x3|)＝.
三、解答題
7．求下列函數(shù)的定積分：
(1)(3x2＋4x3)dx；(2) sin2dx；(3)(－1)dx.
[解析] (1)原式＝3x2d
10、x＋4x3dx＝3x2dx＋4x3dx＝＋＝8＋16＝24.
(2)原式＝dx＝dx＝
(1－cosx)dx＝1dx－cosxdx
＝x＝－.
(3)原式dx－1dx＝xdx－1＝ x－1＝×(－1)－1＝×(2－1)－1＝－－1＝－＝.
8.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0， f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
[解析] 由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2，又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0，而 f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)＝＝a＋b＋c，所以a＋b＋c＝－2，解方程組解得
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