新編高中數(shù)學(xué)北師大選修11同課異構(gòu)練習(xí) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義高考題集錦 Word版含答案

《新編高中數(shù)學(xué)北師大選修11同課異構(gòu)練習(xí) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義高考題集錦 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高中數(shù)學(xué)北師大選修11同課異構(gòu)練習(xí) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義高考題集錦 Word版含答案（30頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料1.(2008全國(guó),2,5分)汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù),其圖象可能是()2.(2011湖北, 10, 5分) 放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素, 其含量不斷減少, 這種現(xiàn)象稱為衰變. 假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中, 其含量M(單位:太貝克) 與時(shí)間t(單位:年) 滿足函數(shù)關(guān)系:M(t) =M0, 其中M0為t=0時(shí)銫137的含量. 已知t=30時(shí), 銫137含量的變化率是-10ln 2(太貝克/年) , 則M(60) =() A. 5太貝克B. 75ln 2太貝克C.

2、150ln 2太貝克D. 150太貝克3.(2010課標(biāo)全國(guó), 3, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(-1, -1) 處的切線方程為()A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x-3D. y=-2x-24.(2010全國(guó), 10, 5分) 若曲線y=在點(diǎn)(a, ) 處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18, 則a=() A. 64B. 32C. 16D. 85.(2010遼寧, 10, 5分) 已知點(diǎn)P在曲線y=上, 為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角, 則的取值范圍是() A. B. C. D. 6.(2009全國(guó), 4, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(1, 1) 處的切線方程為() A. x-y-2

3、=0B. x+y-2=0C. x+4y-5=0D. x-4y-5=07.(2009遼寧, 7, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(1, -1) 處的切線方程為() A. y=x-2B. y=-3x+2C. y=2x-3D. y=-2x+18.(2009全國(guó), 9, 5分) 已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a) 相切, 則a的值為() A. 1B. 2C. -1D. -29.(2009江西, 5, 5分) 設(shè)函數(shù)f(x) =g(x) +x2, 曲線y=g(x) 在點(diǎn)(1, g(1) ) 處的切線方程為y=2x+1, 則曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處切線的斜率為() A. 4B. -C.

4、 2D. -10.(2009安徽, 9, 5分) 已知函數(shù)f(x) 在R上滿足f(x) =2f(2-x) -x2+8x-8, 則曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線方程是() A. y=2x-1B. y=xC. y=3x-2D. y=-2x+311.(2008遼寧, 6, 5分) 設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn), 且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為, 則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為() A. B. -1, 0C. 0, 1D. 12.(2008全國(guó), 7, 5分) 設(shè)曲線y=在點(diǎn)(3, 2) 處的切線與直線ax+y+1=0垂直, 則a=() A. 2B. C. -D. -

5、213.(2007全國(guó), 8, 5分) 已知曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為, 則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A. 3B. 2C. 1D. 14.(2007江西, 11, 5分) 設(shè)函數(shù)f(x) 是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù), 則曲線y=f(x) 在x=5處的切線的斜率為() A. -B. 0C. D. 515.(2007寧夏, 10, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(4, e2) 處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為() A. e2B. 4e2C. 2e2D. e216.(2011全國(guó), 8, 5分) 曲線y=e-2x+1在點(diǎn)(0, 2) 處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為() A. B. C

6、. D. 117.(2008福建, 12, 5分)已知函數(shù)y=f(x), y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖, 那么y=f(x), y=g(x)的圖象可能是()18.(2007四川, 12, 5分) 已知一組拋物線y=ax2+bx+1, 其中a為2, 4, 6, 8中任取的一個(gè)數(shù), b為1, 3, 5, 7中任取的一個(gè)數(shù), 從這些拋物線中任意抽取兩條, 它們?cè)谂c直線x=1交點(diǎn)處的切線相互平行的概率是() A. B. C. D. 19.(2012陜西,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則()A. x=1為f(x)的極大值點(diǎn)B. x=1為f(x)的極小值點(diǎn)C. x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)D. x=-

7、1為f(x)的極小值點(diǎn)20.(2012課標(biāo)全國(guó),12,5分)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=ex上,點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則|PQ|的最小值為()A. 1-ln 2B. (1-ln 2)C. 1+ln 2D. (1+ln 2)21.(2012大綱全國(guó),10,5分)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則c=()A. -2或2B. -9或3C. -1或1D. -3或122.(2009江蘇, 9, 5分) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 點(diǎn)P在曲線C:y=x3-10x+3上, 且在第二象限內(nèi), 已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2, 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 23.(2009福建, 14, 4分) 若曲

8、線f(x) =ax3+ln x存在垂直于y軸的切線, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 24.(2009北京, 11, 5分) 設(shè)f(x) 是偶函數(shù). 若曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線的斜率為1, 則該曲線在點(diǎn)(-1, f(-1) ) 處的切線的斜率為. 25.(2009陜西, 16, 4分) 設(shè)曲線y=xn+1(nN*) 在點(diǎn)(1, 1) 處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn, 令an=lg xn, 則a1+a2+a99的值為. 26.(2008北京, 12, 5分) 如圖, 函數(shù)f(x) 的圖象是折線段ABC, 其中A, B, C的坐標(biāo)分別為(0, 4) , (2, 0) , (

9、6, 4) , 則ff(0) =;=(用數(shù)字作答) . 27.(2008全國(guó), 14, 5分) 設(shè)曲線y=eax在點(diǎn)(0, 1) 處的切線與直線x+2y+1=0垂直, 則a=. 28.(2008江蘇, 8, 5分) 設(shè)直線y=x+b是曲線y=ln x(x0) 的一條切線, 則實(shí)數(shù)b的值為. 29.(2011江蘇, 12, 5分) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 已知P是函數(shù)f(x) =ex(x0) 的圖象上的動(dòng)點(diǎn), 該圖象在點(diǎn)P處的切線l交y軸于點(diǎn)M. 過點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N. 設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t, 則t的最大值是. 30.(2010江蘇, 8, 5分) 函數(shù)y=x2(x0) 的圖

10、象在點(diǎn)(ak, ) 處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1, 其中kN*. 若a1=16, 則a1+a3+a5的值是. 31.(2012廣東,12,5分)曲線y=x3-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為. 32. (2012遼寧,15,5分)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為. 33.（2013廣東，10,5分）若曲線y=kx+ln x在點(diǎn)(1, k) 處的切線平行于x軸, 則k=.34.（2013江蘇，9,5分）拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部與邊界).

11、若點(diǎn)P(x, y) 是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn), 則x+2y的取值范圍是.35.(2009廣東, 20, 14分) 已知二次函數(shù)y=g(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行, 且y=g(x) 在x=-1處取得極小值m-1(m0) . 設(shè)f(x) =. () 若曲線y=f(x) 上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0, 2) 的距離的最小值為, 求m的值;() k(kR) 如何取值時(shí), 函數(shù)y=f(x) -kx存在零點(diǎn), 并求出零點(diǎn). 36.(2010重慶, 18, 13分) 已知函數(shù)f(x) =+ln(x+1) , 其中實(shí)數(shù)a-1. () 若a=2, 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程;()

12、若f(x) 在x=1處取得極值, 試討論f(x) 的單調(diào)性. 37.(2010陜西, 21, 14分) 已知函數(shù)f(x) =, g(x) =aln x, aR. () 若曲線y=f(x) 與曲線y=g(x) 相交, 且在交點(diǎn)處有共同的切線, 求a的值和該切線方程;() 設(shè)函數(shù)h(x) =f(x) -g(x) , 當(dāng)h(x) 存在最小值時(shí), 求其最小值(a) 的解析式;() 對(duì)() 中的(a) 和任意的a0, b0, 證明:. 38.(2010福建, 20, 14分) () 已知函數(shù)f(x) =x3-x, 其圖象記為曲線C. (i) 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間;(ii) 證明:若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)

13、x1, 曲線C與其在點(diǎn)P1(x1, f(x1) ) 處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2, f(x2) ) , 曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3, f(x3) ) , 線段P1P2, P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1, S2, 則為定值;() 對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) , 請(qǐng)給出類似于() (ii) 的正確命題, 并予以證明. 39. (2009天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =(x2+ax-2a2+3a) ex(xR) , 其中aR. () 當(dāng)a=0時(shí), 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線的斜率;()

14、 當(dāng)a時(shí), 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值. 40.(2009重慶, 18, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+k(k0) 在x=0處取得極值, 且曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線垂直于直線x+2y+1=0. () 求a, b的值;() 若函數(shù)g(x) =, 討論g(x) 的單調(diào)性. 41.(2009北京, 18, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =xekx(k0) . () 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程;() 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間;() 若函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增, 求k的取值范圍. 42. (2009湖北,

15、21, 14分) 在R上定義運(yùn)算:pq=-(p-c) (q-b) +4bc(b、c為實(shí)常數(shù)) . 記f1(x) =x2-2c, f2(x) =x-2b, xR. 令f(x) =f1(x) f2(x) . () 如果函數(shù)f(x) 在x=1處有極值-, 試確定b、c的值;() 求曲線y=f(x) 上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn);() 記g(x) =|f (x) |(-1x1) 的最大值為M. 若Mk對(duì)任意的b、c恒成立, 試求k的最大值. 43. (2009重慶, 20, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(a0) , 曲線y=f(x) 通過點(diǎn)(0, 2a+3) , 且在點(diǎn)(-1, f

16、(-1) ) 處的切線垂直于y軸. () 用a分別表示b和c;() 當(dāng)bc取得最小值時(shí), 求函數(shù)g(x) =-f(x) e-x的單調(diào)區(qū)間. 44. (2008天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x+b(x0) , 其中a, bR. () 若曲線y=f(x) 在點(diǎn)P(2, f(2) ) 處的切線方程為y=3x+1, 求函數(shù)f(x) 的解析式;() 討論函數(shù)f(x) 的單調(diào)性;() 若對(duì)于任意的a, 不等式f(x) 10在上恒成立, 求b的取值范圍. 45. (2008寧夏、海南, 21, 12分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax+(a, bZ) , 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(2, f(2) )

17、處的切線方程為y=3. () 求f(x) 的解析式;() 證明:函數(shù)y=f(x) 的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形, 并求其對(duì)稱中心;() 證明:曲線y=f(x) 上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值, 并求出此定值. 46. (2007全國(guó), 22, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x3-x. () 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)M(t, f(t) ) 處的切線方程;() 設(shè)a0, 如果過點(diǎn)(a, b) 時(shí)作曲線y=f(x) 的三條切線, 證明:-ab0. 設(shè)兩曲線y=f(x) , y=g(x) 有公共點(diǎn), 且在該點(diǎn)處的切線相同. () 用a表示b, 并求b的最大值;() 求證:f(

18、x) g(x) (x0) . 49. (2011重慶, 18, 13分) 設(shè)f(x) =x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f (x) 滿足f (1) =2a, f (2) =-b, 其中常數(shù)a, bR. () 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線方程;() 設(shè)g(x) =f (x) e-x, 求函數(shù)g(x) 的極值. 50.(2011課標(biāo), 21, 12分) 已知函數(shù)f(x) =+, 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線方程為x+2y-3=0. () 求a, b的值;() 如果當(dāng)x0, 且x1時(shí), f(x) +, 求k的取值范圍. 51.(2011陜西, 19, 1

19、2分) 如圖, 從點(diǎn)P1(0, 0) 作x軸的垂線交曲線y=ex于點(diǎn)Q1(0, 1) , 曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2, 再?gòu)腜2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2, 依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn):P1, Q1;P2, Q2;Pn, Qn, 記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk, 0) (k=1, 2, , n) . () 試求xk與xk-1的關(guān)系(2kn) ;() 求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|. 52.(2007四川, 21, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x2-4, 設(shè)曲線y=f(x) 在點(diǎn)(xn, f(xn) ) 處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn+1, 0) (nN*) , 其

20、中x1為正實(shí)數(shù). () 用xn表示xn+1;() 求證:對(duì)一切正整數(shù)n, xn+1xn的充要條件是x12;() 若x1=4, 記an=lg, 證明數(shù)列an成等比數(shù)列, 并求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式. 53.(2007廣東, 21, 14分) 已知函數(shù)f(x) =x2+x-1, 、是方程f(x) =0的兩個(gè)根() , f (x) 是f(x) 的導(dǎo)數(shù). 設(shè)a1=1, an+1=an-(n=1, 2, ) . () 求、的值;() 證明:對(duì)任意的正整數(shù)n, 都有an;() 記bn=ln(n=1, 2, ) , 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 54.(2012北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a

21、0),g(x)=x3+bx. (1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;(2)當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-,-1上的最大值. 55.(2012江蘇,18,16分)若函數(shù)y=f (x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數(shù)y=f (x)的極值點(diǎn). 已知a,b是實(shí)數(shù),1和-1是函數(shù)f (x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn). (1)求a和b的值;(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)=f (x)+2,求g(x)的極值點(diǎn);(3)設(shè)h(x)=f (f (x)-c,其中c-2,2,求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)

22、數(shù). 56.（2013重慶，17,13分）設(shè)f(x) =a(x-5) 2+6ln x, 其中aR, 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) 處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6).() 確定a的值;() 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值.57.（2013四川，21,14分）已知函數(shù)f(x) =其中a是實(shí)數(shù). 設(shè)A(x1, f(x1), B(x2, f(x2) 為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn), 且x1 x2.() 指出函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間;() 若函數(shù)f(x) 的圖象在點(diǎn)A, B處的切線互相垂直, 且x2 0) 到直線l: x-y-2=0的距離為. 設(shè)P為直線l上的點(diǎn), 過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA, P

23、B, 其中A, B為切點(diǎn).(1) 求拋物線C的方程;(2) 當(dāng)點(diǎn)P(x0, y0) 為直線l上的定點(diǎn)時(shí), 求直線AB的方程;(3) 當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí), 求|AF|BF|的最小值.59.（2013福建，17,13分）已知函數(shù)f(x) =x-aln x(aR).() 當(dāng)a=2時(shí), 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)A(1, f(1) 處的切線方程;() 求函數(shù)f(x) 的極值.60.(2013湖南，22,13分)已知a 0, 函數(shù)f(x) =.() 記f(x) 在區(qū)間0,4上的最大值為g(a), 求g(a) 的表達(dá)式;() 是否存在a, 使函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間(0,4) 內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn), 在該

24、兩點(diǎn)處的切線互相垂直? 若存在, 求a的取值范圍; 若不存在, 請(qǐng)說明理由.61.（2013陜西，21,14分）已知函數(shù)f(x) =ex, xR.() 若直線y=kx+1與f(x) 的反函數(shù)的圖象相切, 求實(shí)數(shù)k的值;() 設(shè)x 0, 討論曲線y=f(x) 與曲線y=mx2(m 0) 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);() 設(shè)a 0). 點(diǎn)M(x0, y0) 在拋物線C2上, 過M作C1的切線, 切點(diǎn)為A, B(M為原點(diǎn)O時(shí), A, B重合于O). 當(dāng)x0=1-時(shí), 切線MA的斜率為-.() 求p的值;() 當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí), 求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A, B重合于O時(shí), 中點(diǎn)為O).64.（2013北京,

25、 18,13分）設(shè)L為曲線C: y=在點(diǎn)(1,0) 處的切線.() 求L的方程;() 證明: 除切點(diǎn)(1,0) 之外, 曲線C在直線L的下方.65.(2013課標(biāo), 21,12分)設(shè)函數(shù)f(x) =x2+ax+b, g(x) =ex(cx+d). 若曲線y=f(x) 和曲線y=g(x) 都過點(diǎn)P(0,2), 且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.() 求a, b, c, d的值;() 若x-2時(shí), f(x) kg(x), 求k的取值范圍.答案理數(shù)1. A2. D3.A4.A5.D6.B7. D8. B9. A10.A11.A12. D13. A14. B15. D16. A17. D18. B1

26、9.D20.B21.A22.(-2, 15) 23.(-, 0) 24.-125.-226.2;-227.228.ln 2-129.+30.2131.2x-y+1=032.-4 33.-134.35.設(shè)二次函數(shù)為g(x) =ax2+bx+c, a0. g(x) =2ax+b的圖象與直線y=2x平行, a=1. 又 y=g(x) 在x=-1處取得極小值m-1, -=-1, g(-1) =a(-1) 2+b(-1) +c=m-1, b=2, c=m, f(x) =+x+2. () 已知m0, 設(shè)曲線y=f(x) 上點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x, y) , 則點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0, 2) 的距離為|PQ|=, 當(dāng)且

27、僅當(dāng)2x2=x=時(shí)等號(hào)成立. |PQ|的最小值為, =|m|+m=1. 當(dāng)m0時(shí), 解得m=-1. 當(dāng)m01+m(k-1) 0, 當(dāng)m0, k1-或m0, k1-時(shí), 方程(k-1) x2-2x-m=0有兩個(gè)解x1=和x2=. 此時(shí)函數(shù)y=f(x) -kx有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2. 若01+m(k-1) 0, k1-或m1-時(shí), 方程(k-1) x2-2x-m=0無實(shí)數(shù)解, 此時(shí)函數(shù)y=f(x) -kx沒有零點(diǎn). 36.() f (x) =+=+. 當(dāng)a=2時(shí), f (0) =+=, 而f(0) =-, 因此曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程為y-=(x-0) , 即7x-4

28、y-2=0. () 因a-1, 由() 知f (1) =+=+, 又因f(x) 在x=1處取得極值, 所以f (1) =0, 即+=0, 解得a=-3. 此時(shí)f(x) =+ln(x+1) , 其定義域?yàn)?-1, 3) (3, +) , 且f (x) =+=, 由f (x) =0得x1=1, x2=7. 當(dāng)-1x7時(shí), f (x) 0;當(dāng)1x7且x3時(shí), f (x) 0) , 由已知得解得a=, x=e2, 兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2, e) . 切線的斜率為k=f (e2) =, 切線的方程為y-e=(x-e2) . () 由條件知h(x) =-aln x(x0) , h(x) =-=, (i

29、) 當(dāng)a0時(shí), 令h(x) =0, 解得x=4a2, 當(dāng)0x4a2時(shí), h(x) 4a2時(shí), h(x) 0, h(x) 在(4a2, +) 上遞增. x=4a2是h(x) 在(0, +) 上的唯一極值點(diǎn), 且是極小值點(diǎn), 從而也是h(x) 的最小值點(diǎn). 最小值(a) =h(4a2) =2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a) . (ii) 當(dāng)a0時(shí), h(x) =0, h(x) 在(0, +) 上遞增, 無最小值. 故h(x) 的最小值(a) 的解析式為(a) =2a(1-ln 2a) (a0) . () 證明:由() 知(a) =-2ln 2a, 對(duì)任意的a0, b0, =-=-ln 4

30、ab, =-2ln=-ln(a+b) 2-ln 4ab, =-2ln-2ln=-ln 4ab, 故由得. 38.解法一:() (i) 由f(x) =x3-x得f (x) =3x2-1=3. 當(dāng)x和時(shí), f (x) 0;當(dāng)x時(shí), f (x) , 則-2aa-2, 當(dāng)x變化時(shí), f (x) 、f(x) 的變化情況如下表x(-, -2a) -2a(-2a, a-2) a-2(a-2, +) f (x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在(-, -2a) , (a-2, +) 內(nèi)是增函數(shù), 在(-2a, a-2) 內(nèi)是減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x=-2a處取得極大值f(-2a) , 且f

31、(-2a) =3ae-2a. 函數(shù)f(x) 在x=a-2處取得極小值f(a-2) , 且f(a-2) =(4-3a) ea-2. 若aa-2. 當(dāng)x變化時(shí), f (x) 、f(x) 的變化情況如下表x(-, a-2) a-2(a-2, -2a) -2a(-2a, +) f (x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在(-, a-2) , (-2a, +) 內(nèi)是增函數(shù), 在(a-2, -2a) 內(nèi)是減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x=a-2處取得極大值f(a-2) , 且f(a-2) =(4-3a) ea-2. 函數(shù)f(x) 在x=-2a處取得極小值f(-2a) , 且f(-2a) =3a

32、e-2a. 40.() 因f(x) =ax2+bx+k(k0) , 故f (x) =2ax+b, 又f(x) 在x=0處取得極值, 故f (0) =0, 從而b=0. 由曲線y=f(x) 在(1, f(1) ) 處的切線與直線x+2y+1=0相互垂直可知該切線斜率為2, 即f (1) =2, 有2a=2, 從而a=1. () 由() 知, g(x) =(k0) , g(x) =(k0) , 令g(x) =0, 有x2-2x+k=0(k0) . 當(dāng)=4-4k1時(shí), g(x) 0在R上恒成立, 故函數(shù)g(x) 在R上為增函數(shù). 當(dāng)=4-4k=0, 即當(dāng)k=1時(shí), 有g(shù)(x) =0(x1) , 從而

33、當(dāng)k=1時(shí), g(x) 在R上為增函數(shù). 當(dāng)=4-4k0, 即當(dāng)0k0, 故g(x) 在(-, 1-) 上為增函數(shù);當(dāng)x(1-, 1+) 時(shí), g(x) 0, 故g(x) 在(1+, +) 上為增函數(shù). 41.() f (x) =(1+kx) ekx, f (0) =1, f(0) =0, 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程為y=x. () 由f (x) =(1+kx) ekx=0得x=-(k0) . 若k0, 則當(dāng)x時(shí), f (x) 0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增. 若k0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增;當(dāng)x時(shí), f (x) 0, 則當(dāng)且僅當(dāng)-1, 即k1時(shí), 函數(shù)f(x)

34、在(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增;若k1時(shí), 函數(shù)y=f (x) 的對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間-1, 1之外, f (x) 在-1, 1上的最值在兩端點(diǎn)處取得. 故M應(yīng)是g(-1) 和g(1) 中較大的一個(gè). 2Mg(1) +g(-1) =|-1+2b+c|+|-1-2b+c|4b|4, 即M2. 當(dāng)|b|1時(shí), 函數(shù)y=f (x) 的對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間-1, 1內(nèi), 此時(shí)M=maxg(-1) , g(1) , g(b) . 由f (1) -f (-1) =4b, 有f (b) -f (1) =(b1) 20. (i) 若-1b0, f (1) f (-1) f (b) , g(-1) maxg(1)

35、 , g(b) , 于是M=max|f (1) |, |f (b) |(|f (1) |+|f (b) |) |f (1) -f (b) |=(b-1) 2. (ii) 若0. 綜上, 對(duì)任意的b、c都有M. 而當(dāng)b=0, c=時(shí), g(x) =在區(qū)間-1, 1上的最大值M=, 故Mk對(duì)任意的b、c恒成立的k的最大值為. 43.() 因?yàn)閒(x) =ax2+bx+c, 所以f (x) =2ax+b. 又因?yàn)榍€y=f(x) 通過點(diǎn)(0, 2a+3) , 故f(0) =2a+3, 而f(0) =c, 從而c=2a+3. 又曲線y=f(x) 在(-1, f(-1) ) 處的切線垂直于y軸, 故f

36、(-1) =0, 即-2a+b=0, 因此b=2a. () 由() 得bc=2a(2a+3) =4-, 故當(dāng)a=-時(shí), bc取得最小值-. 此時(shí)有b=-, c=. 從而f(x) =-x2-x+, f (x) =-x-. g(x) =-f(x) e-x=e-x, 所以g(x) =f(x) -f (x) e-x=-(x2-4) e-x. 令g(x) =0, 解得x1=-2, x2=2. 當(dāng)x(-, -2) 時(shí), g(x) 0, 故g(x) 在x(-2, 2) 上為增函數(shù);當(dāng)x(2, +) 時(shí), g(x) 0(x0) . 這時(shí)f(x) 在(-, 0) 、(0, +) 內(nèi)是增函數(shù);當(dāng)a0時(shí), 令f (

37、x) =0, 解得x=. 當(dāng)x變化時(shí), f (x) 、f(x) 的變化情況如下表:x(-, -) -(-, 0) (0, ) (, +) f (x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在(-, -) 、(, +) 內(nèi)是增函數(shù), 在(-, 0) 、(0, ) 內(nèi)是減函數(shù). () 由() 知, f(x) 在上的最大值為f與f(1) 中的較大者, 對(duì)于任意的a, 不等式f(x) 10在上恒成立, 當(dāng)且僅當(dāng)即對(duì)任意的a成立. 從而得b, 所以滿足條件的b的取值范圍是. 45.() f (x) =a-, 于是解得或因a, bZ, 故f(x) =x+. () 證明:已知函數(shù)y1=x, y2=都

38、是奇函數(shù), 所以函數(shù)g(x) =x+也是奇函數(shù), 其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形. 而f(x) =x-1+1. 可知, 函數(shù)g(x) 的圖象按向量a=(1, 1) 平移, 即得到函數(shù)f(x) 的圖象, 故函數(shù)f(x) 的圖象是以點(diǎn)(1, 1) 為中心的中心對(duì)稱圖形. () 證明:在曲線上任取一點(diǎn). 由f (x0) =1-知, 過此點(diǎn)的切線方程為y-=(x-x0) . 令x=1得y=, 切線與直線x=1交點(diǎn)為. 令y=x得y=2x0-1, 切線與直線y=x交點(diǎn)為(2x0-1, 2x0-1) . 直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(1, 1) . 從而所圍三角形的面積為|2x0-1-1|=|2x0

39、-2|=2. 所以, 所圍三角形的面積為定值2. 46.() 求函數(shù)f(x) 的導(dǎo)數(shù): f (x) =3x2-1. 曲線y=f(x) , 在點(diǎn)M(t, f(t) ) 處的切線方程為:y-f(t) =f (t) (x-t) , 即y=(3t2-1) x-2t3. () 證明:如果有一條切線過點(diǎn)(a, b) , 則存在t, 使b=(3t2-1) a-2t3. 于是, 若過點(diǎn)(a, b) 可作曲線y=f(x) 的三條切線, 則方程2t3-3at2+a+b=0. 有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根. 記g(t) =2t3-3at2+a+b, 則g(t) =6t2-6at=6t(t-a) 當(dāng)t變化時(shí), g(t) , g

40、(t) 變化情況如下表:t(-, 0) 0(0, a) a(a, +) g(t) +0-0+g(t) 極大值a+b極小值b-f(a) 由g(t) 的單調(diào)性, 當(dāng)極大值a+b0時(shí), 方程g(t) =0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根;當(dāng)a+b=0時(shí), 解方程g(t) =0得t=0, t=, 即方程g(t) =0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根;當(dāng)b-f(a) =0時(shí), 解方程g(t) =0, 得t=-, t=a, 即方程g(t) =0, 只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根. 綜上, 如果過(a, b) 可作曲線y=f(x) 三條切線, 即g(t) =0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根, 則即-ab0時(shí), 令f (x) =0, 得到x1=-, x2=a

41、. 當(dāng)x變化時(shí), f (x) , f(x) 的變化情況如下表:x-a(a, +) f (x) -0+0-f(x) 極小值極大值所以f(x) 在區(qū)間, (a, +) 內(nèi)為減函數(shù), 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x1=-處取得極小值f, 且f=-a2. 函數(shù)f(x) 在x2=a處取得極大值f(a) , 且f(a) =1. (2) 當(dāng)a0) 在公共點(diǎn)(x0, y0) 處的切線相同. f (x) =x+2a, g(x) =, 由題意f(x0) =g(x0) , f (x0) =g(x0) . 即由x0+2a=得x0=a或x0=-3a(舍去) . 則有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2

42、ln a. 令h(t) =t2-3t2ln t(t0) , 則h(t) =2t(1-3ln t) . 于是當(dāng)t(1-3ln t) 0, 即0t0;當(dāng)t(1-3ln t) 時(shí), h(t) 0) , 則F(x) =x+2a-=(x0) . 故F(x) 在(0, a) 為減函數(shù), 在(a, +) 為增函數(shù), 于是函數(shù)F(x) 在(0, +) 上的最小值是F(a) =F(x0) =f(x0) -g(x0) =0. 故當(dāng)x0時(shí), 有f(x) -g(x) 0, 即當(dāng)x0時(shí), f(x) g(x) . 49.() 因f(x) =x3+ax2+bx+1, 故f (x) =3x2+2ax+b. 令x=1, 得f

43、(1) =3+2a+b, 由已知f (1) =2a, 因此3+2a+b=2a, 解得b=-3. 又令x=2, 得f (2) =12+4a+b, 由已知f (2) =-b, 因此12+4a+b=-b, 解得a=-. 因此f(x) =x3-x2-3x+1, 從而f(1) =-. 又因?yàn)閒 (1) =2=-3, 故曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線方程為y-=-3(x-1) , 即6x+2y-1=0. () 由() 知g(x) =(3x2-3x-3) e-x, 從而有g(shù)(x) =(-3x2+9x) e-x. 令g(x) =0, 得-3x2+9x=0, 解得x1=0, x2=3. 當(dāng)

44、x(-, 0) 時(shí), g(x) 0, 故g(x) 在(0, 3) 上為增函數(shù);當(dāng)x(3, +) 時(shí), g(x) 0) , 則h(x) =. (i) 設(shè)k0. 由h(x) =知, 當(dāng)x1時(shí), h(x) 0, 可得h(x) 0;當(dāng)x(1, +) 時(shí), h(x) 0. 從而當(dāng)x0, 且x1時(shí), f(x) -0, 即f(x) +. (ii) 設(shè)0k0, 故h(x) 0. 而h(1) =0, 故當(dāng)x時(shí), h(x) 0, 可得h(x) 0, 而h(1) =0, 故當(dāng)x(1, +) 時(shí), h(x) 0, 可得h(x) 0. 與題設(shè)矛盾. 綜合得, k的取值范圍為(-, 0. 51.() 設(shè)Pk-1(xk-1, 0) , 由y=ex得Qk-1(xk-1, ) 點(diǎn)處切線方程為y-=(x-xk-1) , 由y=0得xk=xk-1-1(2kn) . () 由x1=0, xk-xk-1=-1, 得xk=-(k-1) , 所以|PkQk|=e-(k-1) , 于是Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|=1+e-1+e-2+e-(n-1) =. 52.() 由題可得f (x