高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第3節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

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1、 第3節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 課時訓(xùn)練 練題感 提知能 【選題明細(xì)表】 知識點、方法 題號 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 2、5 線性目標(biāo)函數(shù)的最值 1、3、4、6、8、13 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 11、15 線性規(guī)劃的應(yīng)用 9、10、16 含參數(shù)的線性規(guī)劃問題 7、12、14 A組 一、選擇題 1.(20xx青島市高三模擬)如果實數(shù)x、y滿足條件x-y+1≥0,y+1≥0,x+y+1≤0,那么目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值為(　B　) (A)2 (B)1 (C)-2 (D

2、)-3 解析: 做出滿足條件的可行域如圖所示, 由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線經(jīng)過點D(0,-1)時,直線y=2x-z的截距最小,此時z最大,此時z=2×0-(-1)=1,所以最大值為1,故選B. 2.(20xx山東省泰安市高三模擬)不等式組y≤-x+2,y≤x-1,y≥0所表示的平面區(qū)域的面積為(　D　) (A)1 (B)12 (C)13 (D)14 解析: 做出不等式組對應(yīng)的區(qū)域為△BCD. 由題意知xB=1,xC=2. 由y=-x+2,y=x-1, 得yD=12, 所以S△BCD=12×(xC-xB)×12=14.故選D. 3.(高考福

3、建卷)若直線y=2x上存在點(x,y)滿足約束條件x+y-3≤0,x-2y-3≤0,x≥m,則實數(shù)m的最大值為(　B　) (A)-1 (B)1 (C)32 (D)2 解析:約束條件 x+y-3≤0,x-2y-3≤0,x≥m表示的可行域如圖陰影部分所示. 當(dāng)直線x=m從如圖所示的實線位置運動到過A點的位置時,m取最大值. 解方程組x+y-3=0,y=2x得A點坐標(biāo)為(1,2), ∴m的最大值為1,故選B. 4.(20xx華南師大附中高三綜合測試)若x,y滿足約束條件x+y≥0,x2+y2≤1,則2x+y的取值范圍是(　D　) (A)22,5 (B)-22,22 (C)

4、[-5,5] (D)-22,5 解析:不等式組表示的可行域如圖陰影部分, 令z=2x+y,由圖知當(dāng)直線z=2x+y過點A時有最小值.當(dāng)直線與圓x2+y2=1相切且切點在第一象限時,z有最大值. 由x+y=0,x2+y2=1得A（-22,22）, zmin=-22, 若直線z=2x+y與圓相切,則|z|5=1, ∴|z|=5,即zmax=5.故選D. 5.(20xx汕頭模擬)若不等式組x-y≥0,2x+y≤2,y≥0,x+y≤a表示的平面區(qū)域是一個三角形,則a的取值范圍是(　D　) (A)a≥43 (B)0<a≤1 (C)1≤a≤43 (D)0<a≤1或a

5、≥43 解析:如圖所示, 直線x+y=0從原點向右移動,移動到(1,0)時,再往右移,不等式組所表示的平面區(qū)域就不能構(gòu)成三角形了;又從點A23,23向右移動時,不等式組所表示的平面區(qū)域為整個陰影部分的三角形.∴0<a≤1或a≥43.故選D. 6.(20xx德州市高三模擬)已知變量x、y滿足2x-y≤0,x-2y+3≥0,x≥0,則z=log2(2x+y+4)的最大值為(　D　) (A)1 (B)32 (C)2 (D)3 解析:設(shè)t=2x+y, 則y=-2x+t. 做出不等式組對應(yīng)的可行域如圖陰影部分. 當(dāng)直線y=-2x+t經(jīng)過點C時,直線y=-2x+t的截距最大,

6、此時t最大,對應(yīng)的z也最大, 由2x-y=0,x-2y+3=0,得x=1,y=2. 即C(1,2)代入t=2x+y得t=4,所以z=log2(2x+y+4)的最大值為log2(4+4)=log28=3.故選D. 二、填空題 7.(20xx河北省重點中學(xué)聯(lián)合考試)設(shè)z=2x+y,其中x,y滿足x+y≥0,x-y≤0,0≤y≤k,若z的最大值為6,則z的最小值為　　　　.  解析: 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示, 當(dāng)直線z=2x+y過點A(k,k)時,z取最大值,則zmax=3k=6,解得k=2,易知當(dāng)直線z=2x+y過點B(-k,k)時,z取最小值,則zmin=-2.

7、 答案:-2 8.(20xx濟(jì)南高三模擬)已知x和y是實數(shù),且滿足約束條件x+y≤10,x-y≤2,2x≥7,則z=2x+3y的最小值是　　　　.  解析: 做出不等式對應(yīng)的可行域如圖所示, 由z=2x+3y得y=-23x+z3,做直線y=-23x,平移直線y=-23x,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過C點時,直線y=-23x+z3的截距最小,此時z最小,又C（72,32）,代入目標(biāo)函數(shù)得z=2x+3y=2×72+3×32=232. 答案:232 9.(20xx廣東高三綜合測試)已知函數(shù)f(x)=x2-2x,點集M={(x,y)|f(x)+f(y)≤2},N=

8、{(x,y)|f(x)-f(y)≥0},則M∩N所構(gòu)成平面區(qū)域的面積為　　　　.  解析:M={(x,y)|x2-2x+y2-2y≤2}={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤4}, N={(x,y)|x2-2x-(y2-2y)≥0}={(x,y)||x-1|≥|y-1|}, M∩N構(gòu)成平面區(qū)域如圖陰影部分所示, 由圖知平面區(qū)域的面積為12·π·22=2π. 答案:2π 10.(20xx深圳二調(diào))點P(x,y)是以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)為頂點的三角形及其內(nèi)部的任一點,則4x-3y的最大值為　　　　.  解析:

9、令z=4x-3y,由圖知當(dāng)直線z=4x-3y經(jīng)過點B(-1,-6)時,z有最大值為4×(-1)-3×(-6)=14. 答案:14 11.(20xx咸陽一模)設(shè)實數(shù)x、y滿足x-y-2≤0,x+2y-4≥0,2y-3≤0,則yx的最大值是　　　　.  解析: 不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分. 設(shè)yx=t,則y=tx,求yx的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.顯然y=tx過A點時,t最大. 由x+2y-4=0,2y-3=0,解得A（1,32）. 代入y=tx,得t=32.所以yx的最大值為32. 答案:32 三、解答題 12.(20xx

10、黃山模擬)設(shè)x,y滿足約束條件x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2, (1)求目標(biāo)函數(shù)z=12x-y+12的最值; (2)若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(1,0)處取得最小值,求a的取值范圍. 解: (1)作出可行域如圖所示, 可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0). 平移初始直線12x-y=0,過A(3,4)取最小值-2,過C(1,0)取最大值1. ∴z的最大值為1,最小值為-2. (2)直線ax+2y=z僅在點(1,0)處取得最小值,由圖象可知-1<-a2<2, 解得-4<a<2. 故所求a的取值范圍是(-4,2). B組 13.

11、(高考四川卷)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是(　C　) (A)1800元 (B)2400元 (C)2800元 (D)3100元 解析:設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶,乙種產(chǎn)品y桶, 則根據(jù)題意得x、y的約束條件為x≥0,x∈N,y≥0,y∈N,x+2y≤12,2x+y≤12. 設(shè)獲利z元,則z=3

12、00x+400y. 畫出可行域如圖. 畫直線l:300x+400y=0, 即3x+4y=0. 平移直線l,從圖中可知,當(dāng)直線l過點M時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值. 由x+2y=12,2x+y=12, 解得x=4,y=4, 即M的坐標(biāo)為(4,4), ∴zmax=300×4+400×4=2800(元).故選C. 14.(20xx廣州模擬)已知實數(shù)x、y滿足x≥0,y≤1,2x-2y+1≤0. 若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a≠0)取得最小值時的最優(yōu)解有無數(shù)個,則實數(shù)a的值為　　　　.  解析:畫出平面區(qū)域所表示的圖形,如圖中的陰影部分所示, 平移直

13、線ax+y=0,可知當(dāng)平移到與直線2x-2y+1=0重合,即a=-1時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+y的最小值有無數(shù)多個. 答案:-1 15.實數(shù)x、y滿足x-y+1≤0,x>0,y≤2. (1)若z=yx,求z的最大值和最小值,并求z的取值范圍; (2)若z=x2+y2,求z的最大值與最小值,并求z的取值范圍. 解:由x-y+1≤0,x>0,y≤2,作出可行域如圖中陰影部分所示. (1)z=yx表示可行域內(nèi)任一點與坐標(biāo)原點連線的斜率,因此yx的取值范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(OA的斜率不存在). 而由x-y+1=0y=2得B(1,2),則kOB=21=2.

14、∴zmax不存在,zmin=2, ∴z的取值范圍是[2,+∞). (2)z=x2+y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標(biāo)原點之間距離的平方. 因此x2+y2的范圍最小為|OA|2(取不到), 最大為|OB|2. 由x-y+1=0x=0得A(0,1), ∴|OA|2=(02+12)2=1. |OB|2=(12+22)2=5. ∴z的最大值為5,沒有最小值. 故z的取值范圍是(1,5]. 16.咖啡館配制兩種飲料,甲種飲料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙種飲料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限額為奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲種飲料每杯能獲

15、利潤0.7元,乙種飲料每杯能獲利潤1.2元,每天應(yīng)配制兩種飲料各多少杯能獲利最大? 解:設(shè)每天配制甲種飲料x杯、乙種飲料y杯可以獲得最大利潤,利潤總額為z元. 由條件知:z=0.7x+1.2y,變量x、y滿足 9x+4y≤3600,4x+5y≤2000,3x+10y≤3000,x≥0,y≥0,且x、y均為整數(shù). 作出不等式組所表示的可行域如圖所示. 作直線l:0.7x+1.2y=0, 把直線l向右上方平移至經(jīng)過A點的位置時, z=0.7x+1.2y取最大值. 由方程組3x+10y-3000=0,4x+5y-2000=0, 得A點坐標(biāo)(200,240). 答:應(yīng)每天配制甲種飲料200杯, 乙種飲料240杯方可獲利最大.