2、指數函數的聯系,被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式可知,eπ3i表示的復數的模為( )
A.12 B.1 C.32 D.π3
答案 B
解析 由題意,eπ3i=cosπ3+isinπ3,
∴eπ3i表示的復數的模為cos2π3+sin2π3=1.故選B.
3.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( )
A.100 B.82
C.96 D.112
答案 A
解析 由已知中的三視圖可得:該幾何體是一個長方體切去一個三棱錐得到的組合體,長方體的體積為663=108,棱錐的體積為1312434=8,故組合體的體積V=108-8=100.
4.已知函數f(x)=
3、Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數,A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,則下列結論正確的是( )
A.函數f(x)的最小正周期為π2
B.直線x=-π12是函數f(x)圖象的一條對稱軸
C.函數f(x)在區(qū)間-5π12,π6上單調遞增
D.將函數f(x)的圖象向左平移π3個單位,得到函數g(x)的圖象,則g(x)=2sin 2x
答案 D
解析 由圖象可得A=2,圖象的一條對稱軸方程為x=π2+2π32=7π12,一個對稱中心為π3,0,∴T4=7π12-π3=π4,∴T=π=2πω,
∴ω=2,代入7π12,2可得2=2sin27π12+φ.
∵|φ|<
4、π,∴φ=-2π3,∴f(x)=2sin2x-2π3.
將函數f(x)的圖象向左平移π3個單位,可得g(x)=2sin2x+π3-2π3=2sin 2x,故選D.
5.對于四面體A-BCD,有以下命題:
①若AB=AC=AD,則AB,AC,AD與底面所成的角相等;②若AB⊥CD,AC⊥BD,則點A在底面BCD內的射影是△BCD的內心;③四面體A-BCD的四個面中最多有四個直角三角形;④若四面體A-BCD的6條棱長都為1,則它的內切球的表面積為π6.
其中正確的命題是( )
A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④
答案 D
解析 對于①,因為AB=AC=AD,設點A在平面BC
5、D內的射影是O,則OB=OC=OD,則AB,AC,AD與底面所成的角相等,故①正確;
對于②,設點A在平面BCD內的射影是O,易知CD⊥OB,BD⊥OC,所以O是△BCD的垂心,故②不正確;
對于③,如圖1,直角三角形的個數是4,故③正確;
對于④,如圖2,O為正四面體ABCD的內切球的球心,正四面體的棱長為1,所以OE為內切球的半徑,BF=AF=32,BE=33,所以AE=1-13=63,因為BO2-OE2=BE2,所以63-OE2-OE2=332,所以OE=612,所以球的表面積為4πOE2=π6,故④正確.故選D.
圖1
圖2
6.若數列{an}是正項數列,且a1
6、+a2+…+an=n2+n,則a1+a22+…+ann等于( )
A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n)
答案 A
解析 ∵a1+a2+…+an=n2+n,
∴n=1時,a1=2,解得a1=4.
n≥2時,a1+a2+…+an-1=(n-1)2+n-1,
相減可得an=2n,∴an=4n2.n=1時也成立.∴ann=4n.
則a1+a22+…+ann=4(1+2+…+n)=4n(1+n)2=2n2+2n.故選A.
7.
中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題:“今有物不知其數,三三數之余二,五五數之余三,問物幾何?”人們把此類題目
7、稱為“中國剩余定理”,若正整數N除以正整數m后的余數為n,則記為N=n(mod m),例如11=2(mod 3).現將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的n等于( )
A.21
B.22
C.23
D.24
答案 C
解析 該程序框圖的作用是求被3除后的余數為2,被5除后的余數為3的數,在所給的選項中,滿足被3除后的余數為2,被5除后的余數為3的數只有23,故選C.
8.(20xx河南濮陽一模,理10)某電視臺曾在某時間段連續(xù)播放5個不同的商業(yè)廣告,現在要在該時間段只保留其中的2個商業(yè)廣告,新增播一個商業(yè)廣告與兩個不同的公益宣傳廣告,且要求兩個公益宣傳廣告既不能
8、連續(xù)播放也不能在首尾播放,則不同的播放順序共有( )
A.60種 B.120種 C.144種 D.300種
答案 B
解析 由題意,要在該時間段只保留其中的兩個商業(yè)廣告,有A52=20種方法,增播一個商業(yè)廣告,利用插空法有3種方法,再在2個空中,插入兩個不同的公益宣傳廣告,共有2種方法,根據乘法原理,共有2032=120(種)方法.故選B.
9.命題p:已知數列{an}為等比數列,且滿足a3a6=02 4-x2x,則lodπa4+loggπa5=22;命題q:“?x∈R,sin x≠1”的否定是“?x∈R,sin x=1”.則下列四個命題:(p)∨(q),p∧q,(p)∧q,p∧(q
9、)中,真命題的個數為( ) ?導學號16804242?
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 C
解析 命題p:已知數列{an}為等比數列,且滿足a3a6=02 4-x2dx=14π22π,則log=πa4logπa5log+π(a4a5)log=π(a3a6)=log=ππ=1≠22,因此是假命題;
命題q:“?x∈R,sin x≠1”的否定是“?x∈R,sin x=1”,是真命題.
則下列四個命題:(p)∨(q),p∧q,(p)∧q,p∧(q)中,只有(p)∨(q)、(p)∧q是真命題,
即正確命題的個數是2.故選C.
10.已知定義在R上的偶函數f(x),滿足f(x+4)
10、=f(x),且x∈[0,2]時,f(x)=sin πx+2|sin πx|,則方程f(x)-|lg x|=0在區(qū)間[0,10]上根的個數是( )
A.17 B.18 C.19 D.20
答案 C
解析 f(x)=sin πx+2|sin πx|=3sin πx,0≤x≤1,-sin πx,1
11、是19.故選C.
11.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,其準線經過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點,點M為這兩條曲線的一個交點,且|MF|=p,則雙曲線的離心率為( )
A.2 B.22 C.2+12 D.2+1
答案 D
解析 拋物線y2=2px(p>0)的焦點為Fp2,0,其準線方程為x=-p2,
∵準線經過雙曲線的左焦點,∴c=p2.
∵點M為這兩條曲線的一個交點,且|MF|=p,
∴M的橫坐標為p2,代入拋物線方程,可得M的縱坐標為p.將M的坐標代入雙曲線方程,可得p24a2-p2b2=1,
∴a=2-12p,∴e=1+2.故選D.
1
12、2.已知函數f(x)=xln x+3x-2,射線l:y=kx-k(x≥1).若射線l恒在函數y=f(x)圖象的下方,則整數k的最大值為( )?導學號16804243?
A.4 B.5
C.6 D.7
答案 B
解析 由題意,問題等價于k1恒成立.
令g(x)=xlnx+3x-2x-1,∴g(x)=x-2-lnx(x-1)2,
令h(x)=x-2-ln x,故h(x)在(1,+∞)上是增函數,
由于h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-ln 4>0,
所以存在x0∈(3,4),使得h(x0)=x0-2-ln x0=0.
則x∈(1,x0
13、)時,h(x)<0;x∈(x0,+∞)時,h(x)>0,
即x∈(1,x0)時,g(x)<0;x∈(x0,+∞)時,g(x)>0,
知g(x)在(1,x0)遞減,(x0,+∞)遞增,
又g(x0)
14、-1)323C63=-160;
令6-2r=1,解得r=52,∴2x-1x6展開式中不含x的項;
∴12x-12x-1x6的展開式中含x項的系數為12(-160)=-80.
14.若實數x,y滿足不等式組x≤2,y<1,x+2y-2≥0,則z=x+y+2x+1的取值范圍是 .
答案 43,3
解析 作出不等式組x≤2,y<1,x+2y-2≥0對應的平面區(qū)域如圖:
∵z=x+y+2x+1=1+y+1x+1,設k=y+1x+1,則k的幾何意義為區(qū)域內的點到定點D(-1,-1)的斜率,
由圖象知BD的斜率最小,AD的斜率最大,若A在可行域,則k的最大值為1+10+1=2,最
15、小值為1+02+1=13,
即13≤k<2,則43≤k+1<3,故z=x+y+2x+1的取值范圍是43,3,故答案為43,3.
15.在[-2,2]上隨機抽取兩個實數a,b,則事件“直線x+y=1與圓(x-a)2+(y-b)2=2相交”發(fā)生的概率為 .
答案 1116
解析 根據題意,得-2≤a≤2,-2≤b≤2,又直線x+y=1與圓(x-a)2+(y-b)2=2相交,d
16、242=1116.
16.在平面內,定點A,B,C,D滿足|DA|=|DB|=|DC|=2,DABC=DBAC=DCAB=0,動點P,M滿足|AP|=1,PM=MC,則|BM|2的最大值為 . ?導學號16804244?
答案 494
解析 平面內,|DA|=|DB|=|DC|=2,DABC=DBAC=DCAB=0,
∴DA⊥BC,DB⊥AC,DC⊥AB.
可設D(0,0),A(2,0),B(-1,3),C(-1,-3),
∵動點P,M滿足|AP|=1,PM=MC,
∴可設P(2+cos θ,sin θ),M1+cosθ2,sinθ-32,
∴BM=3+cosθ2,sinθ-332,
∴BM2=3+cosθ22+sinθ-3322=37+12sinπ6-θ4≤494,當且僅當sinπ6-θ=1時取等號,
∴|BM|2的最大值為494.
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