4、，將兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金，若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則E(ξ1)－E(ξ2)＝________(元)．
[答案] 0.2
[解析] ξ1的分布列
ξ1
1
2
3
4
5
P
∴E(ξ1)＝(1＋2＋…＋5)＝3
ξ2的分布列
ξ2
1.4
2.8
4.2
5.6
P
E(ξ2)＝1.4＋2.8＋4.2＋5.6＝2.8
∴E(ξ1)－E(ξ2)＝0.2.
[反思總結(jié)] 均值E(X)是一個實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它
5、描述X值的取值平均狀態(tài)．
7．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：
X＝xi
－1
0
1
2
P(X＝xi)
a
b
c
若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________.
[答案]
[解析] 由分布列中概率滿足的條件可知a＋b＋c＋＝1?、?，由均值和方差的計算公式可得－a＋c＋＝0?、?，12a＋12c＋22＝1 ③，聯(lián)立①②③解得a＝，b＝.
8．設(shè)l為平面上過點(diǎn)(0,1)的直線，l的斜率等可能地?。?、－、－、0、、、2，用X表示坐標(biāo)原點(diǎn)到l的距離，則隨機(jī)變量X的均值E(X)＝________.
[答案]
[解析] 設(shè)l
6、的方程為y＝kx＋1，則點(diǎn)(0,0)到直線的距離X＝，將k＝－2、－、－、0、、、2分別代入，求得X分別為、、、1、、、，由于k取值是等可能的，故X的概率分布列為
X
1
P
由上表可求得E(X)＝.
三、解答題
9.一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1、2、3、4；白色卡片3張，編號分別為2、3、4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；
(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值．
[解析] (1)設(shè)“取出的4張卡
7、片中，含有編號為3的卡片”為事件A，則
P(A)＝＝.
所以，取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為.
(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以隨機(jī)變量X的分布列是
X
1
2
3
4
P
隨機(jī)變量X的均值E(X)＝1＋2＋3＋4＝.
10.現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為 ，每命中一次得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．
(1
8、)求該射手恰好命中一次的概率；
(2)求該射手的總得分X的分布列及均值E(X)．
[解析] (1)P＝()2＋C＝；
(2)X＝0、1、2、3、4、5
P(X＝0)＝()2＝，P(X＝1)＝()2＝，P(X＝2)＝C＝，
P(X＝3)＝C＝，P(X＝4)＝()2＝，P(X＝5)＝()2＝.
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
4
5
P
E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＋5＝＝3.
一、選擇題
1．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1，且P(ξ＝0)＝，則D(ξ)＝( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 由題意
9、知ξ服從兩點(diǎn)分布，且P(ξ＝1)＝1－＝，故D(ξ)＝P(ξ＝1)[1－P(ξ＝1)]＝＝.
2．如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
∴E(X)＝0＋1＋2＋3＝＝.
3．簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的6支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個．則X的均值為( )
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
10、[答案] B
[解析] 由題意可知，X可以取3、4、5、6，
P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝，
∴EX＝3＋4＋5＋6＝5.25.
4．一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為d(a，b∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為1(不計其他得分情況)，則ab的最大值為( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 由已知得3a＋2b＋0c＝1，即3a＋2b＝1，所以ab＝3a2b≤()2＝()2＝，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝2b＝，即a＝，b＝時取“等號”，故選B.
二、填空題
5.(2014浙北名校
11、聯(lián)盟聯(lián)考)一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3數(shù)字的3個小球，每次從袋中取出一個球(每只小球被取到的可能性相同)，現(xiàn)連續(xù)取3次球，若每次取出一個球后放回袋中，記3次取出的球中標(biāo)號最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X、Y，設(shè)ξ＝Y(jié)－X，則E(ξ)＝________.
[答案]
[解析] 由題意知ξ的取值為0、1、2，ξ＝0，表示X＝Y(jié)，ξ＝1表示X＝1，Y＝2；或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.
∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0＋1＋2＝.
6．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
12、
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，則y的值為________．
[答案] 0.4
[解析] 依題意得即由此解得y＝0.4.
三、解答題
7．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X、Y，X和Y的分布列如下：
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較．
[解析] 工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的均值和方差分別為：
E(X)＝0＋1＋2＝0.7，
D(X)＝(0－0.7)2＋(1－0.7)2＋(2－0.7)2＝0.81；
工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的均值和方差分別為：
E(Y
13、)＝0＋1＋2＝0.7，
D(Y)＝(0－0.7)2＋(1－0.7)2＋(2－0.7)2＝0.61.
由E(X)＝E(Y)知，兩人生產(chǎn)出次品的均值相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但D(X)>D(Y)，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定．
8．某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.
一次購物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結(jié)算時間(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.
(1
14、)確定x、y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與均值；
(2)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該 顧客結(jié)
算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．
(注：將頻率視為概率)
[解析] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得
P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝.
X的分布列為
X
1
15、1.5
2
2.5
3
P
X的均值為
E(X)＝1＋1.5＋2＋2.5＋3＝1.9.
(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間，則
P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．
由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以
P(A)＝P(X1＝1)P(X2＝1)＋P(X1＝1)P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)P(X2＝1)＝＋＋＝.
故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.
2020高中數(shù)學(xué) 第2章 5離散型隨機(jī)變量的均值與方差課時作業(yè) 北師大版選修23
