三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章 第五節(jié) 空間垂直的判定與性質(zhì) 理全國(guó)通用

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1、 A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 1．(2015·豫南五市模擬)m、n為兩條不重合的直線，α、β為兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中正確的是(　　) ①若m、n都平行于平面α，則m、n一定不是相交直線；②若m、n都垂直于平面α，則m、n一定是平行直線；③已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，則n⊥β；④m、n在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則m、n互相垂直． A．② B．②③ C．①③ D．②④ 解析　①③④錯(cuò)誤，②正確，故選A. 答案　A 2．(2015·四川雅安模擬)下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條

2、直線必在同一平面內(nèi) B．過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直 C．如果共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線確定的平面也兩兩垂直 D．如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線一定平行 解析　如果兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，這兩條直線可以平行、相交、異面．故選D. 答案　D 3．(2014·江南十校)在如圖所示的四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是(　　) 解析　A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；B中，AB與CD成60°角，C中AB與CD成45°角，D中，AB與CD夾角的正切值為. 答案　A 4.(2014·

3、;山東東營(yíng)一模)如圖，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直線AB上 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部 解析　由BC1⊥AC，BA⊥AC，得AC⊥平面ABC1，所以平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H必在直線AB上． 答案　A 二、填空題 5．(2013·河南師大附中二模)如圖，已知六棱錐P­ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面

4、PAE；④∠PDA＝45°.其中正確的有________(把所有正確的序號(hào)都填上)． 解析　由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯(cuò)；④在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確． 答案?、佗? 一年創(chuàng)新演練 6．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同

5、的平面，命題p：若m∥n，m∥β，則n∥β，命題q：“m⊥β，n⊥β，n⊥α”是“m⊥α”成立的充分條件，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．p∧(綈q)是真命題 B．(綈p)∨q是真命題 C．(綈p)∧q是假命題 D．p∨q是假命題 解析　對(duì)于命題p，若m∥n，m∥β，則n可能在平面β內(nèi)，故命題p為假命題；對(duì)于命題q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則有m⊥α，故命題q是真命題，故綈p為真命題，綈q為假命題，故(綈p)∨q是真命題，選B. 答案　B 7.如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面A

6、PC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng)，其中正確的是(　　) A．①② B．①②③ C．① D．②③ 解析　對(duì)于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AB為⊙O的直徑， ∴BC⊥AC， ∴BC⊥平面PAC， 又PC?平面PAC， ∴BC⊥PC；對(duì)于②， ∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)， ∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC， ∴OM∥平面PAC；對(duì)于③，由①知BC⊥平面PAC， ∴線段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離，故①②③都正確． 答案　B B組　專項(xiàng)提升測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 8.(2014·青島模擬) 如

7、圖所示，b，c在平面α內(nèi)，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在線段AB上(C，D，E均異于A，B)，則△ACD是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 解析　∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B， ∴b⊥面ABC， ∴AD⊥AC，故△ACD為直角三角形． 答案　B 二、填空題 9．(2015·綿陽模擬)在正三棱錐P­ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正確論斷的序號(hào)為________． 解析　如圖，∵P

8、73;ABC為正三棱錐， ∴PB⊥AC. 又∵DE∥AC，DE?平面PDE， AC?平面PDE， ∴AC∥平面PDE.故①②正確． 答案　①② 10．(2014·安徽省名校聯(lián)考)給出命題： ①在空間中，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行； ②設(shè)l，m是不同的直線，α是一個(gè)平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α； ③已知α，β表示兩個(gè)不同平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，“α⊥β”是“m⊥β”的充要條件； ④在三棱錐S­ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，則S在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心； ⑤a，b是兩條異面直線，P為空間一點(diǎn)，過P總可以作一個(gè)平面與a，b之一垂直

9、，與另一條平行． 其中，正確的命題是________(只填序號(hào))． 解析?、馘e(cuò)誤，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面也可能相交；③錯(cuò)誤，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件；⑤錯(cuò)誤，只有當(dāng)異面直線a，b垂直時(shí)才可以作出滿足要求的平面；易知②④正確． 答案?、冖? 三、解答題 11．(2015·山東菏澤二模)如圖，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF沿對(duì)角線BE翻折，連接AC、FD，形成如圖所示的多面體，且AC＝. (1)證明：平面ABEF⊥平面BCDE； (2)求三棱錐E－ABC的體積． (1)證明　正六邊形ABCDEF中，連接AC、BE，交點(diǎn)為G， 易知AC⊥BE，且AG

10、＝CG＝， 在多面體中，由AC＝，知AG2＋CG2＝AC2， 故AG⊥GC， 又GC∩BE＝G，GC，BE?平面BCDE， 故AG⊥平面BCDE, 又AG?平面ABEF， 所以平面ABEF⊥平面BCDE. (2)解　連接AE、CE，則AG為三棱錐A－BCE的高，GC為△BCE的高．在正六邊形ABCDEF中，BE＝2AF＝4， 故S△BCE＝×4×＝2， 所以VE－ABC＝VA－BCE＝×2×＝2. 12.(2014·廣東佛山模擬)如圖，在多面體ABC­A1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，AC＝AB＝1，

11、A1C＝A1B，B1C1∥BC，B1C1＝BC. (1)求證：平面A1AC⊥平面ABC； (2)求證：AB1∥平面A1C1C. 證明　(1)∵四邊形ABB1A1為正方形， ∴A1A＝AB＝AC＝1，A1A⊥AB. ∴A1B＝. ∵A1C＝A1B，∴A1C＝， ∴AC2＋AA＝A1C2， ∴∠A1AC＝90°，∴A1A⊥AC. ∵AB∩AC＝A， ∴A1A⊥平面ABC. 又∵A1A?平面A1AC， ∴平面A1AC⊥平面ABC. (2)取BC的中點(diǎn)E，連接AE，C1E，B1E. ∵B1C1∥BC，B1C1＝BC， ∴B1C1∥EC，B1C1＝EC， ∴四

12、邊形CEB1C1為平行四邊形． ∴B1E∥C1C. ∵C1C?平面A1C1C，B1E?平面A1C1C， ∴B1E∥平面A1C1C. ∵B1C1∥BC，B1C1＝BC， ∴B1C1∥BE，B1C1＝BE， ∴四邊形BB1C1E為平行四邊形， ∴B1B∥C1E，且B1B＝C1E. 又∵四邊形ABB1A1是正方形， ∴A1A∥C1E，且A1A＝C1E， ∴四邊形AEC1A1為平行四邊形， ∴AE∥A1C1. ∵A1C1?平面A1C1C，AE?平面A1C1C， ∴AE∥平面A1C1C. ∵AE∩B1E＝E， ∴平面B1AE∥平面A1C1C. ∵AB1?平面B1AE，

13、∴AB1∥平面A1C1C. 一年創(chuàng)新演練 13.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求證：AF∥平面BDE； (2)求證：CF⊥平面BDE. 證明　(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G， 因?yàn)镋F∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1. 所以四邊形AGEF為平行四邊形， 所以AF∥EG. 因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)如圖，連接FG. 因?yàn)镋F∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四邊形CEFG為菱形． 所以CF⊥EG. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC. 又因

14、為平面ACEF⊥平面ABCD， 且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD， 所以BD⊥平面ACEF. 又CF?平面ACEF， 所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G.所以CF⊥平面BDE. 14.如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中點(diǎn)． (1)求證：A1B∥平面ADC1； (2)試問線段A1B1上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC1成60°角？若存在，確定E點(diǎn)位置；若不存在，說明理由． (1)證明　連接A1C，交AC1于點(diǎn)O，連接OD. 由ABC－A1B1C1是直角三棱柱，得 四邊形ACC

15、1A1為矩形，O為A1C的中點(diǎn)．又D為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A1BC的中位線， 所以A1B∥OD， 因?yàn)镺D?平面ADC1，A1B?平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1. (2)解　由ABC­A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°， 得BA，BC，BB1兩兩垂直． 以BC，BA，BB1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B­xyz. 設(shè)BA＝2，則B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，1)，D(1，0，0)， 假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E. 因?yàn)辄c(diǎn)E在線段A1B1上，A1(0，2，1)，B1(0，0，1)， 故可設(shè)E(0，λ，1)，其中0≤λ≤2. 所以＝(0，λ－2，1)，＝(1，0，1)． 因?yàn)锳E與DC1成60°角， 所以|cos〈，〉|＝＝. 即||＝， 解得λ＝1或λ＝3(舍去)． 所以當(dāng)點(diǎn)E為線段A1B1的中點(diǎn)時(shí)，AE與DC1成60°角．