【贏在高考】2013屆高考數(shù)學(xué)一輪配套練習(xí)8.6橢圓文蘇教版

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1、第六節(jié)橢圓 強化訓(xùn)練當(dāng)堂鞏固 ，則該橢圓的離心率是() 1 .若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列 A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 5 5 答案:B 解析:由2a,2b,2c成等差數(shù)列,所以2b=a+c. 又b 所以 所以 2 2 2 1 — a - c .(a c)2 =4(a2 -c2 、a =5c.所以 e = c 3 a ). 2.已知橢圓 a 線AB交y軸于點 A. ^3 2 答案:D 解析：對于橢圓 與+京=1(a >b >0)的左焦點為F,右頂點為A,點B在橢圓上，且BF _L x軸，直 P.若AP =2PB,則橢

2、圓的離心率是() B. -^2 2 AP C. = 2PB,則 OA =20F , 10 a=2c. e =1 2 . 3.已知橢圓 2 .2 a b a = 1(a Ab >0)的左、右焦點分別為 R(—c.0)、F2(c.0).若橢圓上存在 sin/PFF? 答案：(.2 -1 1) sin PER .則該橢圓的離心率的取值范圍為 解析：因為在△ PF1 F2中，由正弦定理得 PF2 PF1 則由已知，得 用2 r IPF1 r sin PF1F2 sin PF2F1 即a| PF1 |=c| PF2. 由橢圓的定義知| PF1

3、|+| PF2|=2a, 貝uc| PF2|+| PF2|=2a,即 | PF2| =-20^. a c a 2 _ 2 _ c 2c-a 0 由橢圓的幾何性質(zhì)知| PF2 | J2—1. 又e50 1).故橢圓的離心率e『J2—11). 2 2 4.橢圓士 + ； =1的左、右焦點分別為F1、 F2 .點P在橢圓上，若| PF1 |=4,則 9 2 | PF2|= : NF1PF2 的大小為 . 答案:2 120 解析：= a2 =9b2 =2. ? ? c = .

4、 a2 - b2 =, 9 - 2 = 7 ???| F1F21 ^2,7. 又| PFi|=4,| PFi|+| PF2|=2a=6, ?I PF2|=2. 又由余弦定理 得cos. F1PF2 22 42 一(2.7)2 2 2 4 ??? NF1PF2 =120,，故應(yīng)填 2,120. 5.已知橢圓《+%=1(a >b>0)的離心率e=H3 .連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面 a b 2 積為4. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點 A,B.已知點A勺坐標(biāo)為(-a,0). ①若|AB| =承求直線?的傾斜角； 5 ②若點Q(

5、0 .y。)在線段ABW垂直平分線上 ,且QA QB =4.求y0的值. 解：(1)由 e = c a 冬.得3a2 =4c2.再由 c2 = a2 —b2.解得 a=2b. 由|AB| =4^得正=幺5 5 14k 5 2 1 4k 4、1 k2 2 1 4k 由題意可知 2 M 2aM 2b =4.即ab=2. a = 2b 解方程組 a 得a=2,b=1. ab = 2. 所以橢圓的方程為 $-y2=1. 4 (2)①由(1)可知點A勺坐標(biāo)是(-2,0).設(shè)點B的坐標(biāo)為(x1 .y1).直線l的斜率為k. 則直線l的方程為y=k(x+2).

6、 土y = k(x 2). 于是A,B兩點的坐標(biāo)滿足方程組 2 2 2 消去y并整理，得 冷 y :1’ (1 4k2)x2 16k2x (16k2 -4) = 0. 2 2 由-2x1 =16k -24 .得 x1 = 2~8k2 .從而 y1 = 4k 2 . 1 4k2 1 4k2 1 4k2 所以 |AB| = J(-2 -2~8k2)2 +(-4k 2) . 1 4k2 1 4k2 整理得 32k4 -9k2 -23 = 0 (k2 -1)(32k2 +23) =0.解得 k =1. 所以直線l的傾斜角為亍或會 ②設(shè)線段AB勺中點為M,由①得M勺坐標(biāo)為 / 8

7、k2 2k 、 (-_ 2T~2 ~ 2—.). 14k 14k 以下分兩種情況： （i ） 2=0時，點B的坐嗎（2,0）,線段AB［勺垂直平分線為y軸, 于是 QA =（-2 .-y） QB =（2 .-y。）. 由 QA QB =4,得 y0 = 2 J2 . （ii ）當(dāng)k 0時，線段ABI勺垂直平分線方程為 2k 2 1 4k2 -x件) 令 x=0,解得 y = ——6k—. T 3 ^QA^(-2.-yo) QB =(xiy-yo). QA QB = -2xi - y0( yi - y) = ^8^ F(七 14k 14k 14k 4(1

8、6k4 15k2 -1) 2 2 — 4 (1 4k2)2 整理得7k2 =2.故k = 土平. 所以y0 = 22/4 . yo 5 綜上 y。=-2.2 或 y0 =一"4. 5 課后作業(yè)鞏固提升 見課后作業(yè)A 題組一橢圓的離心率問題 2 v2 1.橢圓 5+方=1（a Ab >0）的右焦點為F,其右準(zhǔn)線與x軸的交點為A,在橢圓上存在點 a b 足線段AP勺垂直平分線過點F,則橢圓離心率的取值范圍是 （） B. (0 2] D.[2 1) A. (0 負 C.[ .2 -1 1) 答案:D 解析:|AF| =a-—c = b-.而|PF| Ea+c.

9、c c 所以a c-- c 即 2e2 +e-1 之0.解得 12 0.n>0）的右焦點與拋物線 y =8x的焦點相同 m n ,離心率為2 .則 此橢圓的方程為 ：) 2

10、■ .2 A.工上=1 12 16 2 2 C.Y E=1 48 64 答案:B 2 2 B.2 E = 1 16 12 2 2 D.工上二1 64 48 解析：由題意可知:c=2,且焦點在x軸上.由e = 2 .可得m=4, n2 = m2 — c2 =12 .故選B. 題組二橢圓的定義 4.設(shè)幅橢圓 A.4 C.8 答案:D 2 2 三+上=1上的點.若F1.F2是橢圓的兩個焦點，則| PF1I+I 25 16 B.5 PF2I等于（） D.10 解析：因為a=5,所以| PF11+| PF2 |=2a=10. 5.設(shè)直線l :2x+

11、y-2=0與橢圓 + =1的交點為A、巳點「是橢圓上的動點 ,則使△ PA的積 為3的點P的個數(shù)為（） B.2 C.3 D.4 A.1 答案:D 解析：聯(lián)立方程組 2x y -2 x2 =0,+擊…日 x = 0 消去y整理解得：］ y =2 X = 1 或 |AB| y = 0 結(jié)合圖象知P的個數(shù)為4. 題組三橢圓的綜合應(yīng)用 6.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點,長軸在x軸上,離心率為 厚.且Gk一點到G的兩個焦點的距 答案：x2 36 解析：e = 離之和為12,則橢圓G勺方程為 r1 2 冬.2a = 12 .a = 6,b=3,

12、則所求橢圓方程為 工+夫=1. 2 36 9 2 I ： 7 .已知F1、F2是橢圓C：xT+y7 = 1（a>b>0）的兩個焦點,P為橢圓C上一點，且PF1，PF2. a b 若^ PF1F2的面積為9,則b=^^_ 答案：3 I IPF1 卜;IPF2 =2a. 解析：依題意，有 PF1 MPF2 1=18.可得 4c2+36 =4a2 .即 a2 — C2 =9.，b=3. PF1 2 PF2 2 = 4c2 . 2 2 8 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中.A A-B1 -B2為橢圓 七+ X2=1（aAbA0）的四個頂點，F(xiàn)為其 a b 右焦點，直線A1B

13、2與直線BiF相交于點T,線段OTT橢圓白^交點 搟為線段OT勺中點，則該橢 圓的離心率為 . 答案：2,7-5 解析：直線AB2的方程為：△+2=1; -a b 直線BF的方程為：/二 則。沖點M ( ac b(a c) a - c 2(a -c) =1;二者聯(lián)立解得點T (Nac b(a+c)) a-c a -c 2 2 )在橢圓 X2+-y2-=1(a>b>0)上, a b c2 . (a c)2 2 2 (a -c)2 4(a -c)2 解得 e =2、7 -5. 2 9.已知橢圓C: x- 2 , 2 2-3 =1 c 10ac -3a =

14、0 e 10e-3=0, 2 + y2 = 1的兩焦點為F1尸2 .點P(x0 .y。)滿足0 <與十y； < 1 .則 I PFi|+| PF2I的取值范圍為，直線x2x + yoy =1與橢圓c的公共點個數(shù)為 — 答案：［2 ,2、, 2) 0 解析：延長 PR 交橢圓 C于點 M,故| FRI <| PFi|+| PF2|<| MFi|+| MF2|=2a, 即 2 ?汩 PFi|+| PF2I ：二2、,2 ; 當(dāng)y =0時.0

15、線-0- + y0y =1為y = 2-.代入+ y2 =1中有 2 y0 2 2 借 y2)x2 -2X0X 2 _ 2y2 -01 2 =4x2 -4(22L y：)(2 -2y2) 2 x0 2 =8(寸 y0 -1) <0 ，直線與橢圓無交點. 10.已知邱橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D,且 BF =2FD -則橢圓C的離心率為 —— 答案：逝 3 解析：如圖，不妨設(shè)B(0,b)為上頂點，F(xiàn)(c,0)為右焦點， 設(shè) D(x,y). 由 BF = 2FD ,#(c,-b)=2(x- x =3c 即卜=2(X-C).解

16、得 2 D(3c .b). (七=2y. * = 3 <2 2) 2 由BF=2FD.可得|FD| =2|BF| =2.① 2 2 又由橢圓第二定義知，| FD | =(a_ —3c) e = (a_ —3c)，c .② 由①②解得a2 =3c2 .即e2 =1 e =工3. 3 3 2 v2 B1AB2 A2 11.如圖，橢圓C：七+4=1的頂點為AA2B.B2、焦點為F1,F2.|A1B1| a b =2SBiFiB2F2 . ⑴求橢圓C勺方程； , (2)設(shè)n為過原點的直線-J■餐與n垂直相交于P點.與橢圓相交于A,B兩點的直線,| OP |=1.是 否存

17、在上述直線l使OA OB = 0成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由| 解：(1)由| AB1| ="知 a2+b2 =7.① 由 S|_B1AB2A2 =2S_BiFi&F2 知 a=2c,② 一 .2 2 2 _ 又b =a -c . ③ 由①②③，解得a2 =4.b2 =3 .故橢圓C勺方程為x2 +y~ =1. 4-3―4 (2)設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為(X, .%)

18、y2 = 0. m ? =1 即 ..qk^ 由 OA OB 將y=kx+m代入橢圓方程，得 (3 4k2)x2 8kmx (4m2 -12) =0 由求根公式可得x1 +x2 = -8km d 3 4k2 / 2 4m —12 ⑤ x1 x2 一— 2 . 3 4k2 0 = x1x2 y1y2 =x1x2 (kx1 m)( kx2 m) 2 2 =(1 k )x1x2 km(x, x2) m . 將④⑤代入上式并化簡得 2 2 _ _ 2 2 2 _ 2 一… (1 +k2)(4m2 -12) —8k2m2 +m2(3+4k2) = 0.⑥ 將m2 =1+k

19、2代入⑥并化簡得 —5(k2+1) = 0 .矛盾I 即此時直線l不存在. ②當(dāng)l垂直于x軸時，滿足| OP |=1的直線l的方程為x=1或x=-1, 2) (-1-f). 5=0； 4 則A,B兩點的坐標(biāo)為(1.3).(1,—貞或(-1 =(i 2)。 T T 當(dāng)x=1 時 OA OB 當(dāng)x=-1 時 OA OB =(-1 3) (-1 -3 ) - -5 : 0 2 2 4 ，此時直線l 存嚀. 綜上可知，使oa Ob =o成立的直線i不存在 ? 12.如圖，已知橢圓 W+當(dāng)=1(a>b>0)過點(1.虐).離心率為 球.左、右焦點分別為F1、 a b 2 2

20、 F2 .點P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為 A E和C . D .O為坐標(biāo)原點 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)設(shè)直線PF1 ,PF 2的斜率分別為k1,k 2 . (i )證明：1 —3 =2. k1 k2 (ii )問直線l上是否存在點P,使得直線OA .OB .OC OD的斜率kOA, kOB ,kOC ,kOD滿足 koA+ koB+koC +koD =0?若存在,求出所有滿足條件的點 P的坐標(biāo)；存不存在,說明理由 解：(1)因為橢圓過點(1鳥)e二堂. 所以 J2 』=1 c =_2 . a 2b a

21、2 P 2 -2 2 乂 a = b c . 所以 a = . 2 b =1 c=i. 2 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2? y2 =1. 2 ， (2)( i )證明：方法一：由于F1(-1 .0) ,F 2(1.0) .PF1, PF2的斜率分別為 上， 所以 k1 = k2 k1 = 0 k2 = 0. k1, k2 .且點P不在x軸 又直線PF〔 .PF2的方程分別為y =k1(x+1).y =kz(x—1). _ kL_kg x 一 k . k 聯(lián)立方程解得 2 1 、，2kk y=『 所以 P(k_Jk2 2kb). k2 - k1 k2 - k1 由

22、于點P在直線x+y=2上， 所以 k1 k2 2k1k2 =2. k2 - k1 因此 2kk 3k1 -k2 =0 即；1—R =2.結(jié)論成立. ( k2 方法一■：設(shè) P(x0 .y0).則 k1 = -k2 = ~. % 1 x0 -1 因為點P不在x軸上，所以y 0 . 又 xO , yO = 2 所以 1 3 _ x0 1 3(x0 -1) 4-2x0 =2yo k1 k2 y y y y 因此結(jié)論成立. (ii )設(shè) A(Xa (a) B(Xb Nb) C(Xc Nc) . D(Xd —)1 聯(lián)立直線PFi與橢圓的方程得 y = k1(x 1). x2

23、 2 y2 =1 化簡得(2k12 1)x2 4k12x 2k；-2 =0 因止匕xA - xB 2 2 4kl2 2k2 - 2 2k2 1 XaXb _ 2k12 1 由于OA,OB勺斜率存在， 所以xA # 0.xB # 0 .因此k； 001. 因此kOA kOB二也上二處」.k1(XB 1) Xa Xb .2ki ki xA—

24、xB =((2 - XAXB Xa 4k12 XB 2k12 - 2 2k1 2k2 ki2 -1 相似地，可以得到 Xc #0.XD =0.k2 00.1. k0c +kOD = 故 kOA kOB kOC kOD - -2( , 2 1 / , 2 2 / k1 -1 k2 -1 _ 2 k1k2 - k k1 k2 - k2 二 (k12 -1)(k| -1) _ 2(kk -1)(k1 k2) 一 一 (k12 -1)(k2 -1). 若 koA +%b +koc +koD = 0.須有 kI + k2 = 0 或卜水2 = 1. ①當(dāng)k1 +k2 = 0時，結(jié)合(i )的結(jié)論，可得k2 = —2 ,所以解得點P的坐標(biāo)為(0,2)； ②當(dāng)kk =1時，結(jié)合(i )的結(jié)論，解得k2 =3或k2 =—1(此日k[ 二 —1 .不滿足4#k2.舍去), 此時直線CD勺方程為y=3(X-1),聯(lián)立方程X+y=2得x =-5 .y = 3 . 4」4 因此P(5 3). 4 4 綜上所述，滿足條彳^的點P的坐標(biāo)分別為(0 .2).(5金)| 4 4