高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第二章】函數(shù)與基本初等函數(shù)I【下】 第二章 2.6

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1、 精品資料 2.6　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 1．對數(shù)的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)． 2．對數(shù)的性質(zhì)與運算法則 (1)對數(shù)的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM. (2)對數(shù)的性質(zhì) ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠

2、1)． (3)對數(shù)的重要公式 ①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logablogbclogcd＝logad. 3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 01時，y>0 當(dāng)01時，y<0 當(dāng)00 (6)在(0，＋∞)上是增函數(shù) (7)在(0，＋∞)上是減函數(shù) 4．反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線__

3、y＝x__對稱． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，則x＋y＝5. (　√　) (2)2log510＋log50.25＝5. (　　) (3)已知函數(shù)f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(b2)＝2. (　√　) (4)log2x2＝2log2x. (　　) (5)當(dāng)x>1時，logax>0. (　　) (6)當(dāng)x>1時，若logax>logbx，則a

4、) 2．(2013課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則 (　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c 答案　D 解析　a＝log36＝1＋log32＝1＋， b＝log510＝1＋log52＝1＋， c＝log714＝1＋log72＝1＋，顯然a>b>c. 3．(2013浙江)已知x，y為正實數(shù)，則 (　　) A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x2lg y C．2lg xlg y＝2lg x＋2lg y D

5、．2lg(xy)＝2lg x2lg y 答案　D 解析　2lg x2lg y＝2lg x＋lg y ＝2lg(xy)．故選D. 4．函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________． 答案　(－，＋∞) 解析　函數(shù)f(x)的定義域為(－，＋∞)， 令t＝2x＋1(t>0)． 因為y＝log5t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)， t＝2x＋1在(－，＋∞)上為增函數(shù)， 所以函數(shù)y＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是(－，＋∞)． 5．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上為增函數(shù)，f＝0，則不等式f(logx)>0的解集為_____________

6、___． 答案　∪(2，＋∞) 解析　∵f(x)是R上的偶函數(shù)， ∴它的圖象關(guān)于y軸對稱． ∵f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)， ∴f(x)在(－∞，0]上為減函數(shù)， 由f＝0，得f＝0. ∴f(logx)>0?logx<－或logx> ?x>2或0

7、啟迪　(1)利用對數(shù)的定義將x＝log43化成4x＝3； (2)利用分段函數(shù)的意義先求f(1)，再求f(f(1))； f(log3)可利用對數(shù)恒等式進(jìn)行計算． 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)由x＝log43，得4x＝3，即2x＝， 2－x＝，所以(2x－2－x)2＝()2＝. (2)因為f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 因為log3<0，所以f(log3)＝3＋1 ＝3＋1＝2＋1＝3. 所以f(f(1))＋f(log3)＝2＋3＝5. 思維升華　在對數(shù)運算中，要熟練掌握對數(shù)式的定義，靈活使用對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式和對數(shù)恒等式對式子進(jìn)行

8、恒等變形，多個對數(shù)式要盡量化成同底的形式． 　已知函數(shù)f(x)＝則f(2＋log23)的值為________． 答案　 解析　因為2＋log23<4， 所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)， 而3＋log23>4， 所以f(3＋log23)＝()＝() ＝＝. 題型二　對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例2　(1)函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是 (　　) (2)已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.2－0.6)，則a，b，c的大小關(guān)系是 (　

9、　) A．c＝2>log49，

10、 又f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)， 且在(－∞，0]上是增函數(shù)， 故f(x)在[0，＋∞)上是單調(diào)遞減的， ∴f(0.2－0.6)

11、a(x＋b) (a>0且a≠1)的圖象過兩點(－1，0)和(0,1)，則a＝________，b＝________. 答案　(1)A　(2)2　2 解析　(1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a， c＝2log52＝log522

12、樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由． 思維啟迪　f(x)恒有意義轉(zhuǎn)化為“恒成立”問題，分離參數(shù)a來解決；探究a是否存在，可從單調(diào)性入手． 解　(1)∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax， 則t(x)＝3－ax為減函數(shù)， x∈[0,2]時，t(x)最小值為3－2a， 當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)恒有意義， 即x∈[0,2]時，3－ax>0恒成立． ∴3－2a>0.∴a<. 又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪. (2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)為減函數(shù)， ∵f(x)在區(qū)間[

13、1,2]上為減函數(shù)， ∴y＝logat為增函數(shù)， ∴a>1，x∈[1,2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)， ∴，即， 故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1. 思維升華　解決對數(shù)函數(shù)綜合問題時，無論是討論函數(shù)的性質(zhì)，還是利用函數(shù)的性質(zhì) (1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)； (2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行； (3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤． 　已知f(x)＝log4(4x－1)．

14、 (1)求f(x)的定義域； (2)討論f(x)的單調(diào)性； (3)求f(x)在區(qū)間[，2]上的值域． 解　(1)由4x－1>0，解得x>0， 因此f(x)的定義域為(0，＋∞)． (2)設(shè)0

15、＝log0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是 (　　) A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)b>c B．b>a>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b 思維啟迪　(1)利用冪函數(shù)y＝x0.5和對數(shù)函數(shù)y＝log0.3x的單調(diào)性，結(jié)合中間值比較a，b，c的大?。? (2)化成同底的指數(shù)式，只需比較log23.4、log43.6、－log30.3＝log3的大小即可，可以利用中間值或數(shù)形結(jié)合進(jìn)行比較． 解析　(1)根據(jù)冪函數(shù)y＝x0.5的單調(diào)性，可得0.

16、30.5<0.50.5<10.5＝1，即blog0.30.3＝1，即c>1. 所以blog3>log43.6. 方法二　∵log3>log33＝1，且<3.4， ∴l(xiāng)og31， ∴l(xiāng)og43.6log3>log43.6.

17、 由于y＝5x為增函數(shù)，∴5>5>5. 即5>() >5，故a>c>b. 答案　(1)C　(2)C 溫馨提醒　(1)比較冪、對數(shù)的大小可以利用數(shù)形結(jié)合和引入中間量利用函數(shù)單調(diào)性兩種方法． (2)解題時要根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，多選0或1. 方法與技巧 1．對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性 在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域應(yīng)為{x|x>0}．對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān)，因而，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按01進(jìn)行分類討

18、論． 2．比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性． 3．多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過圖象與直線y＝1交點的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定． 失誤與防范 1．在運算性質(zhì)logaMα＝αlogaM中，要特別注意條件，在無M＞0的條件下應(yīng)為logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α為偶數(shù))． 2．指數(shù)函數(shù)y＝ax (a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別． 3．解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍．

19、 A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：40分鐘) 一、選擇題 1．函數(shù)y＝的定義域是 (　　) A．{x|00，a≠1)在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，則g(x)＝loga(x＋k)的圖象是 (　　) 答案　A 解析　∵函數(shù)f(x)為奇

20、函數(shù)，∴f(x)＋f(－x)＝0， 即(k－1)ax－a－x＋(k－1)a－x－ax＝0， ∴(k－2)(ax＋a－x)＝0關(guān)于x恒成立， ∴k＝2，∴f(x)＝ax－， 又函數(shù)在R上是減函數(shù)，∴0ln e，∴x>1. ∵y＝log52

21、>＝，∴f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案　C 解析　f(a)>f(－a)?或 ?或 ?a>1或－10，且a≠1，∴u＝ax－3為增函

22、數(shù)， ∴若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)＝logau必為增函數(shù)， 因此a>1.又y＝ax－3在[1,3]上恒為正， ∴a－3>0，即a>3，故選D. 二、填空題 6．計算(lg －lg 25)100＝________. 答案?。?0 解析　(lg －lg 25)100＝(lg )10－1 ＝－210＝－20. 7．已知函數(shù)f(x)＝則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y＝1上方的x的取值范圍是________________． 答案　{x|－12} 解析　當(dāng)x≤0時，3x＋1>1?x＋1>0，∴－10時，log2x>1?x>2，∴x>2.

23、綜上所述，x的取值范圍為－12. 8．若log2a<0，則a的取值范圍是____________． 答案　 解析　當(dāng)2a>1時，∵log2a<0＝log2a1， ∴<1.∵1＋a>0，∴1＋a2<1＋a， ∴a2－a<0，∴01.∵1＋a>0，∴1＋a2>1＋a， ∴a2－a>0，∴a<0或a>1，此時不合題意． 綜上所述，a∈. 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定義域； (2)判斷f(x)的奇偶性

24、并予以證明； (3)當(dāng)a>1時，求使f(x)>0的x的解集． 解　(1)要使函數(shù)f(x)有意義． 則解得－11時，f(x)在定義域{x|－10?>1，解得00的x的解集是{x|0

25、loga(ax)loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值． 解　由題意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2) ＝(logx＋3logax＋2)＝(logax＋)2－. 當(dāng)f(x)取最小值－時，logax＝－. 又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是關(guān)于logax的二次函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)的最大值必在x＝2或x＝8時取得． 若(loga2＋)2－＝1，則a＝2， 此時f(x)取得最小值時，x＝(2－)＝?[2,8]，舍去． 若(loga8＋)2－＝1，則a＝， 此時f(x)取得最小值時，x＝()＝2∈[2,8]，符合題

26、意， ∴a＝. B組　專項能力提升 (時間：30分鐘) 1．設(shè)f(x)＝lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是 (　　) A．(－1,0) B．(0,1) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　由f(x)是奇函數(shù)可得a＝－1， ∴f(x)＝lg，定義域為(－1,1)． 由f(x)<0，可得0<<1，∴－1

27、 解析　根據(jù)同一坐標(biāo)系中三個不同底的對數(shù)函數(shù)圖象位置對比，可得 ①若a，b，c均大于1或均小于1，則有a>b>c； ②若有一個大于1，則c>1，且0c>1，且00，且a≠1)，若f(x1x2…x2 015)＝8，則f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝________. 答案　16 解析　f(x1x2…x2 015)＝loga(x1x2…x2 015)＝8， f(x)＋f(x)＋…＋f(x) ＝logax＋logax＋…＋logax ＝loga(x1x2…x2 015)2＝2loga(x1x

28、2…x2 015)＝16. 4．設(shè)f(x)＝|lg x|，a，b為實數(shù)，且01. (3)在(2)的條件下，求證：由關(guān)系式f(b)＝2f()所得到的關(guān)于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0. (1)解　由f(x)＝1得，lg x＝1， 所以x＝10或. (2)證明　結(jié)合函數(shù)圖象，由f(a)＝f(b)可判斷a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)， 從而－lg a＝lg b，從而ab＝1. 又＝>＝1(因≠b)． (3)證明　由已知可得b＝()2， 得4b＝

29、a2＋b2＋2ab，得＋b2＋2－4b＝0， g(b)＝＋b2＋2－4b， 因為g(3)<0，g(4)>0，根據(jù)零點存在性定理可知，函數(shù)g(b)在(3,4)內(nèi)一定存在零點，即存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0. 5．已知函數(shù)y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，)上是增函數(shù)，求a的取值范圍． 解　函數(shù)y＝log (x2－ax＋a)是由函數(shù)y＝logt和t＝x2－ax＋a復(fù)合而成． 因為函數(shù)y＝logt在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 而函數(shù)t＝x2－ax＋a在區(qū)間(－∞，)上單調(diào)遞減， 故函數(shù)y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，]上單調(diào)遞增． 又因為函數(shù)y＝log(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，)上是增函數(shù)， 所以 解得即2≤a≤2(＋1)．