高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第九章】解析幾何 第6講拋物線(xiàn)

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1、 精品資料 第6講 拋物線(xiàn) 一、選擇題 1．拋物線(xiàn)x2＝(2a－1)y的準(zhǔn)線(xiàn)方程是y＝1，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析 根據(jù)分析把拋物線(xiàn)方程化為x2＝－2y，則焦參數(shù)p＝－a， 故拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是y＝＝，則＝1，解得a＝－. 答案　D 2．若拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)在圓x2＋y2＋2x－3＝0上，則p＝(　　) A.　　　　　　　　 B．1 C．2

2、 D．3 解析 ∵拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為(，0)在圓x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)． 答案 C 3．已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y＝2x－4與C交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB＝ (　　)． A. B. C．－ D．－ 解析　由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨設(shè)A(4,4)，B(1，－2)，則||＝5，||＝2，＝(3,4)(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故選D. 答案　D 4．已知雙曲線(xiàn)C1：

3、－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線(xiàn)C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C1的漸近線(xiàn)的距離為2，則拋物線(xiàn)C2的方程為 (　　)． A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 解析　∵－＝1的離心率為2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，－＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝x，即y＝x.由題意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，選D. 答案　D 5．已知直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　)． A．18

4、 B．24 C．36 D．48 解析　如圖，設(shè)拋物線(xiàn)方程為 y2＝2px(p＞0)． ∵當(dāng)x＝時(shí)，|y|＝p， ∴p＝＝＝6. 又P到AB的距離始終為p， ∴S△ABP＝126＝36. 答案　C 6．已知P是拋物線(xiàn)y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l：2x－y＋3＝0和y軸的距離之和的最小值是 (　　)． A. B. C．2 D.－1 解析　由題意知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0)．設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為d，由拋物線(xiàn)的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離與

5、到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離，故d＋|PF|的最小值為＝，所以d＋|PF|－1的最小值為－1. 答案　D 二、填空題 7．已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)(1,0)，且與直線(xiàn)x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析　設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與其到直線(xiàn)x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y2＝4x. 答案　y2＝4x 8．已知拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為M，N為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|NF|＝|MN|，則∠NMF＝________. 解析 過(guò)N作準(zhǔn)線(xiàn)的垂

6、線(xiàn)，垂足是P，則有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝， ∴∠MNP＝，即∠NMF＝. 答案 9．如圖是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米． 解析　如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝－2py.由題意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.設(shè)B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米． 答案　2 10．過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2x的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，|AF|<|BF|，則|AF|＝________. 解析　設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)

7、的直線(xiàn)為y＝k，聯(lián)立得，整理得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得，k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得，12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋＝. 答案　 三、解答題 11．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)y＝x＋2相切． (1)求a與b； (2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線(xiàn)l1過(guò)F2且與x軸垂直，動(dòng)直線(xiàn)l2與y軸垂直，l2交l1于點(diǎn)P.求線(xiàn)段PF1的垂直平分線(xiàn)與l2的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指

8、明曲線(xiàn)類(lèi)型． 解　(1)由e＝＝ ＝，得＝. 又由原點(diǎn)到直線(xiàn)y＝x＋2的距離等于橢圓短半軸的長(zhǎng)，得b＝，則a＝. (2)法一　由c＝＝1，得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)． 設(shè)M(x，y)，則P(1，y)． 由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的軌跡方程為y2＝－4x，該曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)． 法二　因?yàn)辄c(diǎn)M在線(xiàn)段PF1的垂直平分線(xiàn)上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距離等于M到l1的距離．此軌跡是以F1(－1,0)為焦點(diǎn)，l1：x＝1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，軌跡方程為y2＝－4x. 12．已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x，過(guò)點(diǎn)A(－1,0

9、)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)＝λ. (1)若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，求證：直線(xiàn)MQ經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F； (2)若λ∈，求|PQ|的最大值． 思維啟迪：(1)可利用向量共線(xiàn)證明直線(xiàn)MQ過(guò)F；(2)建立|PQ|和λ的關(guān)系，然后求最值． (1)證明　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)． ∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2， ∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2， ∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)， ∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2) ＝λ＝

10、λ， ∴直線(xiàn)MQ經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F. (2)由(1)知x2＝，x1＝λ， 得x1x2＝1，yy＝16x1x2＝16， ∵y1y2>0，∴y1y2＝4， 則|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2) ＝2＋4－12 ＝2－16， λ∈，λ＋∈， 當(dāng)λ＋＝，即λ＝時(shí)，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值為. 13．設(shè)拋物線(xiàn)C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)． (1)若∠BFD＝90，△ABD的面積為4 ，求p的值及圓F的方程； (2)若A，B，F(xiàn)三

11、點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上，直線(xiàn)n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值． 解　(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形，|BD|＝2p，圓F的半徑|FA|＝p. 由拋物線(xiàn)定義可知A到l的距離d＝|FA|＝ p. 因?yàn)椤鰽BD的面積為4 ，所以|BD|d＝4 ， 即2p p＝4 ，解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以F(0,1)，圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8. (2)因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90. 由拋物線(xiàn)定義知|AD|＝|FA|＝|AB|. 所以∠ABD＝30，m的斜率為或－. 當(dāng)m的斜率為時(shí)，由已知可設(shè)n：y＝

12、x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0. 由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故Δ＝p2＋8pb＝0， 解得b＝－. 因?yàn)閙的縱截距b1＝，＝3， 所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3. 當(dāng)m的斜率為－時(shí)，由圖形對(duì)稱(chēng)性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3. 綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3. 14．如圖所示，拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線(xiàn)上． (1)寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程； (2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1＋y2的值及直線(xiàn)AB的斜率． 解　(1)由已知條件，可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2＝2px(p＞0)． ∵點(diǎn)P(1,2)在拋物線(xiàn)上，∴22＝2p1，解得p＝2. 故所求拋物線(xiàn)的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線(xiàn)方程是x＝－1. (2)設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為kPA，直線(xiàn)PB的斜率為kPB， 則kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)， ∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，∴kPA＝－kPB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線(xiàn)上，得 y＝4x1，① y＝4x2，② ∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)． ∴y1＋y2＝－4. 由①－②得，y－y＝4(x1－x2)， ∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．