高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第四章】三角函數(shù)、解三角形 第四章 4.1

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1、 精品資料 4.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算 1． 向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模) 平面向量是自由向量 零向量 長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線 共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反

2、的 向量 0的相反向量為0 2． 向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 (1)交換律：a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb

3、3． 共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量． (　　) (2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)． (　√　) (3)已知兩向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝2. (　　) (4)△ABC中，D是BC中點(diǎn)，則＝(＋)． (　√　) (5)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上． (　　) (6)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝

4、λa，反之成立． (　√　) 2． (2012四川)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使＝成立的充分條件是(　　) A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b| 答案　C 解析　表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有＝，觀察選項(xiàng)易知C滿足題意． 3． 已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且2＋＋＝0，那么(　　) A．＝ B．＝2 C．＝3 D．2＝ 答案　A 解析　由2＋＋＝0可知，O是底邊BC上的中線AD的中點(diǎn)，故＝. 4． 已知D為三角形ABC

5、邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋＋＝0，＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 答案?。? 解析　如圖所示，由＝λ，且＋＋＝0，則P是以AB、 AC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此＝－2，則λ＝－2. 5． 設(shè)a、b是兩個(gè)不共線向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b， 若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為________． 答案?。? 解析　∵＝＋＝2a－b，又A、B、D三點(diǎn)共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ.即，∴p＝－1. 題型一　平面向量的概念辨析 例1　給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充

6、要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正確命題的序號(hào)是________． 思維啟迪　正確理解向量的概念，向量共線和點(diǎn)共線的區(qū)別，向量相等的定義是解題關(guān)鍵． 答案　②③ 解析?、俨徽_．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同． ②正確．∵＝， ∴||＝||且∥， 又∵A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此，＝.故“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件． ③正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同；又b＝c， ∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向

7、相同， ∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要條件，而是必要不充分條件． 綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③. 思維升華　(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． (2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)． (3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混為一談． (4)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量． 　給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量． ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它

8、們的模能比較大?。? ③λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零． ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析?、馘e(cuò)誤．兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)． ②正確．因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。? ③錯(cuò)誤．當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0. ④錯(cuò)誤．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb，此時(shí)，a與b可以是任意向量． 題型二　平面向量的線性運(yùn)算 例2　(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的

9、一個(gè) 三等分點(diǎn)，那么等于 (　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ (2)在△ABC中，＝c，＝b，若點(diǎn)D滿足＝2，則等于 (　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 思維啟迪　結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減法運(yùn)算的關(guān)鍵． 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)在△CEF中，有＝＋. 因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以＝. 因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以＝. 所以＝＋＝＋ ＝－，故選D. (2)∵＝2，∴－＝＝2＝2(－)， ∴3＝2＋， ∴＝＋＝b＋c. 思維升華　(1)解

10、題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化． (2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果． 　(1)已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2＋＝0，則等于 (　　) A．2－ B．－＋2 C.－ D．－＋ (2)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＋＝2，則 (　　) A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)由2＋＝0得

11、2＋2＋＋＝0， ∴＝－2－＝2－. (2)如圖，根據(jù)向量加法的幾何意義有＋＝2?P是AC的 中點(diǎn)，故＋＝0. 題型三　共線向量定理及應(yīng)用 例3　設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． 思維啟迪　解決點(diǎn)共線或向量共線的問題，要結(jié)合向量共線定理進(jìn)行． (1)證明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴、共線，又∵它們有公共點(diǎn)B， ∴A、B、D三點(diǎn)共線． (2)解　∵ka

12、＋b與a＋kb共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是不共線的兩個(gè)非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝1. 思維升華　(1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線． (2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，否則向量a、b不共線． 　(1)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的

13、延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若＝a，＝b，則等于 (　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b (2)已知向量a、b、c中任意兩個(gè)都不共線，并且a＋b與c共線，b＋c與a共線，那么a＋b＋c等于 (　　) A．a(chǎn) B．b C．c D．0 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)如圖，＝＋，由題意知， DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB， ∴＝， ∴＝a＋b＋(a－b)＝a＋b. (2)∵a＋b與c共線，∴a＋b＝λ1c. ① 又∵b＋c與a共線，∴b＋c＝λ2a.

14、 ② 由①得：b＝λ1c－a. ∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a， ∴，即， ∴a＋b＋c＝－c＋c＝0. 方程思想在平面向量的線性運(yùn)算中的應(yīng)用 典例：(14分)如圖所示，在△ABO中，＝，＝，AD與BC 相交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b.試用a和b表示向量. 思維啟迪　(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)， 要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去． (2)既然能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出＝ma＋nb. (3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解． 規(guī)范解答 解　設(shè)＝ma＋nb， 則＝－＝ma＋nb－a＝(m－

15、1)a＋nb. ＝－＝－＝－a＋b. [3分] 又∵A、M、D三點(diǎn)共線，∴與共線． ∴存在實(shí)數(shù)t，使得＝t， 即(m－1)a＋nb＝t. [5分] ∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb. ∴，消去t得，m－1＝－2n， 即m＋2n＝1. ①　[7分] 又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a＝－a＋b. 又∵C、M、B三點(diǎn)共線，∴與共線． [10分] ∴存在實(shí)數(shù)t1，使得＝t1， ∴a＋nb＝t1， ∴，消去t1得，4m＋n＝1. ② 由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.

16、 [14分] 溫馨提醒　(1)本題考查了向量的線性運(yùn)算，知識(shí)要點(diǎn)清楚，但解題過程復(fù)雜，有一定的難度．(2)易錯(cuò)點(diǎn)是，找不到問題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解．(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧．如本題易忽視A、M、D三點(diǎn)共線和B、M、C三點(diǎn)共線這個(gè)幾何特征．(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會(huì).  方法與技巧 1． 向量的線性運(yùn)算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時(shí)，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素．向量

17、加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”． 2． 可以運(yùn)用向量共線證明線段平行或三點(diǎn)共線．如∥且AB與CD不共線，則AB∥CD；若∥，則A、B、C三點(diǎn)共線． 失誤與防范 1． 解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件．要特別注意零向量的特殊性． 2． 在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． 下列命題中正確的是

18、 (　　) A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線 B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量 D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行 答案　C 解析　由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手來考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共

19、線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C. 2． 已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則下列一定共線的三點(diǎn)是 (　　) A．A、B、C B．A、B、D C．B、C、D D．A、C、D 答案　B 解析?。剑?a＋4b＝2?∥?A、B、D三點(diǎn)共線． 3． 已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m等于 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　由已知條件得＋＝－. 如圖，因此延長(zhǎng)AM交BC于D點(diǎn)，則D為BC的中點(diǎn)．

20、延長(zhǎng)BM 交AC于E點(diǎn)，延長(zhǎng)CM交AB于F點(diǎn)，同理可證E、F分別為AC、 AB的中點(diǎn)，即M為△ABC的重心． ＝＝(＋)，即＋＝3，則m＝3. 4． 已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 答案　B 解析　由＋＋＝0，知點(diǎn)O為△ABC的重心， 又O為△ABC外接圓的圓心， ∴△ABC為等邊三角形，A＝60. 5． 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于 (　　) A．1 B.

21、 C. D. 答案　D 解析?。剑剑?， 2＝＋，即＝＋. 故λ＋μ＝＋＝. 二、填空題 6． 設(shè)向量e1，e2不共線，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，給出下列結(jié)論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為________． 答案?、? 解析?。剑?e1＋2e2，＝－＝3e1， 由向量共線的充要條件b＝λa(a≠0)可得A，C，D共線，而其他λ無解． 7． 在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝____________.(用a，b表示) 答案?。璦＋b 解析　由＝3得＝

22、＝(a＋b)， ＝a＋b，所以＝－ ＝(a＋b)－＝－a＋b. 8． 在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ＝________. 答案　 解析　由圖知＝＋， ① ＝＋， ② 且＋2＝0. ①＋②2得：3＝＋2， ∴＝＋，∴λ＝. 三、解答題 9． 已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線，向量c＝2e1－9e2.問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？ 解　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2) ＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2， 要使d與c共線，則

23、應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2， 即得λ＝－2μ. 故存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線． 10．如圖所示，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，＝， ＝a，＝b. (1)用a、b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． (1)解　延長(zhǎng)AD到G，使＝， 連接BG，CG，得到?ABGC，所以＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)． ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明　由(1)可知＝， 因?yàn)橛泄颤c(diǎn)B，所以B，E

24、，F(xiàn)三點(diǎn)共線． B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1． 設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且＋＋2＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積之比為 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　∵D為AB的中點(diǎn)， 則＝(＋)， 又＋＋2＝0，∴＝－， ∴O為CD的中點(diǎn)， 又∵D為AB中點(diǎn)，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC， 則＝4. 2． O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：＝＋λ ，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的 (　　) A．外心

25、 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 答案　B 解析　作∠BAC的平分線AD. ∵＝＋λ， ∴＝λ ＝λ′ (λ′∈[0，＋∞))， ∴＝，∴∥. ∴P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心． 3． 如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過點(diǎn)O的直線分別交 直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若＝m，＝n，則m ＋n的值為________． 答案　2 解析　∵O是BC的中點(diǎn)， ∴＝(＋)． 又∵＝m，＝n，∴＝＋. ∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴＋＝1.則m＋n＝2. 4． 設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，若a與b起點(diǎn)相同，t∈R，t為何值時(shí)，a，tb，(a＋b)三向量

26、的終點(diǎn)在一條直線上？ 解　設(shè)＝a，＝tb，＝(a＋b)． 若A，B，C三點(diǎn)共線，則有＝λ， ∴－＝λ(－)， ∴tb－a＝λ[(a＋b)－a]． 化簡(jiǎn)整理得，(λ－1)a＝(λ－t)b， ∵a與b不共線，由平面向量基本定理得 λ＝且t＝. 故當(dāng)t＝時(shí)，a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上． 5． 已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線； (2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1. 證明　(1)若m＋n＝1， 則＝m＋(1－m)＝＋m(－)， ∴－＝m(－)， 即＝m，∴與共線． 又∵與有公共點(diǎn)B，則A、P、B三點(diǎn)共線， (2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ， ∴－＝λ(－)． 又＝m＋n. 故有m＋(n－1)＝λ－λ， 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. ∵O，A，B不共線，∴，不共線， ∴∴m＋n＝1.