浙江版高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)講

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1、 第01節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預(yù)測 1.任意角的概念、弧度制 了解角、角度制與弧度制的概念，掌握弧度與角度的換算. 無 1.三角函數(shù)的定義； 2.扇形的面積、弧長及圓心角. 3.備考重點： (1) 理解三角函數(shù)的定義； (2) 掌握扇形的弧長及面積計算公式. 2.三角函數(shù)的定義 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義. 無 【知識清單】 1．象限角及終邊相同的角 1．任意角、角的分類： ①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角． ②按終邊位置不同分為象限角和軸線角． (2)終邊相

2、同的角： 終邊與角α相同的角可寫成α＋k360(k∈Z)． 2.弧度制： ①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角． ②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑． ③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)． 3.弧度與角度的換算：360＝2π弧度；180＝π弧度． 對點練習(xí)： 下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是(　　) A.2kπ＋45(k∈Z) B.k360＋π(k∈Z) C.k360－315(k∈Z) D.kπ＋(k

3、∈Z) 【答案】C. 確. 2．三角函數(shù)的定義 1.任意角的三角函數(shù)定義： 設(shè)α是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝，它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)． 2． 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函數(shù)線 設(shè)角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M.由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標為(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，

4、sin α＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan α＝AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線. 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 對點練習(xí)： 【河南省林州一中20xx-20xx上學(xué)期開學(xué)】已知角終邊經(jīng)過點，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由于，所以由三角函數(shù)的定義可得，應(yīng)選答案B. 3. 扇形的弧長及面積公式 弧長公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝lr＝|α|r2.

5、 對點練習(xí)： 已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60，R＝10 cm，求扇形的弧長l； (2)已知扇形的周長為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角； (3)若扇形周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ 【答案】(1) (cm).(2)圓心角為.(3)l＝10，α＝2. 【解析】(1)α＝60＝ rad，∴l(xiāng)＝αR＝10＝(cm). 【考點深度剖析】 高考對任意角三角函數(shù)定義的考查要求較低，均是以小題的形式進行考查，一般難度不大，要求學(xué)生深刻認識利用坐標法定義任意角三角函數(shù)的背景和目的．縱觀近幾年的高考試

6、題，主要考查以下兩個方面：一是直接利用任意角三角函數(shù)的定義求其三角函數(shù)值；二是根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義確定終邊上一點的坐標． 【重點難點突破】 考點1 象限角及終邊相同的角 【1-1】已知角α＝45， (1)在－720～0范圍內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角β； (2)設(shè)集合，判斷兩集合的關(guān)系． 【答案】（1）β＝－675或β＝－315.(2). 【解析】(1)所有與角α有相同終邊的角可表示為： β＝45＋k360(k∈Z)， 則令－720≤45＋k360<0， 得－765≤k360<－45，解得－≤k<－， 從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675或β＝－315. (

7、2)因為M＝{x|x＝(2k＋1)45，k∈Z}表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合； 而集合N＝{x|x＝(k＋1)45，k∈Z}表示終邊落在坐標軸或四個象限平分線上的角的集合，從而. 【1-2】若且，則角θ的終邊所在象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【1-3】終邊在直線y＝x上的角的集合為________． 【答案】{α|α＝kπ＋，k∈Z} 【解析】終邊在直線y＝x上的角的集合為{α|α＝kπ＋，k∈Z}． 【1-4】若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置． 【答案】角的終邊在第三象限或第四象限或軸的

8、負半軸上,的終邊在第一象限或第三象限. 【解析】∵角是第二象限角，∴ ， （1）， ∴ 角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負半軸上． 綜上所述，的終邊在第一象限或第三象限． 【領(lǐng)悟技法】 1.對與角α終邊相同的角的一般形式α＋k360(k∈Z)的理解;(1)k∈Z;(2)α任意角;(3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同. 2.利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角 3.已知角α的終邊位置，確定形如kα，πα等形式的角終邊的方法：先表示角α的范圍，再寫出kα、πα等形式的

9、角范圍，然后就k的可能取值討論所求角的終邊位置 【觸類旁通】 【變式一】如圖，質(zhì)點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0(，－)，角速度為1，那么點P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為(　　) 【答案】C 當(dāng)t＝0時，d＝，排除A、D；當(dāng)t＝時，d＝0，排除B. 考點2 三角函數(shù)的定義 【2-1】已知角α的終邊經(jīng)過點P(m，－3)，且cos α＝－，則m等于(　　) A．－ B. C．－4 D．4 【答案】C 【解析】由題意可知，cos α＝＝－， 又m<0，解得m＝－4. 【2-2】已知角α的終邊與

10、單位圓的交點P，則tan α＝(　　) A. B． C. D． 【答案】B　 【解析】由|OP|2＝x2＋＝1，得x＝，tan α＝. 【2-3】已知角α的終邊上有一點P(t，t2＋1)(t>0)，則tan α的最小值為(　　) A．1　　　　　 B．2 C. D. 【答案】B 【解析】根據(jù)已知條件得tan α＝＝t＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時，tan α取得最小值2. 【2-4】已知角α的終邊上一點P的坐標為，則角α的最小正值為(　　) A. B. C. D. 【答案】D

11、 【領(lǐng)悟技法】 1.已知角α終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解． 2.已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題．若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角α的三角函數(shù)值． 【觸類旁通】 【變式一】已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 【答案】A 【解析】　∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的

12、終邊落在第二象限或y軸的正半軸上． ∴∴－20時，r＝k， ∴sin α＝＝－，＝＝， ∴10sin α＋＝－3＋3＝0； 當(dāng)k<0時，r＝－k， ∴sin α＝＝， ＝＝－， ∴10sin α＋＝3－3＝0. 綜上，10sin α＋＝0. 考點3 扇形的弧長及面積公式 【3-1】【黑龍江省齊齊哈爾八中8月月考】若扇形的圓心角，弦長，則弧長__________ ． 【答案】 【解析】畫出

13、圖形，如圖所示. 設(shè)扇形的半徑為rcm，由sin60=，得r=4cm， ∴l(xiāng)==4= cm. 【3-2】已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？ 【答案】 當(dāng)r＝10，θ＝2時，扇形面積最大 【領(lǐng)悟技法】(1)弧度制下l＝|α|r，S＝lr，此時α為弧度．在角度制下，弧長l＝，扇形面積S＝，此時n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系． (2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形． 【觸類旁通】 【變式一】一段圓弧的長度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為(　　) A. B.

14、 C. D. 【答案】C 【變式二】一扇形的圓心角為120，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積之比為________． 【答案】(7＋4)∶9 【解析】設(shè)扇形半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.則(R－r)sin 60＝r， 即R＝1＋r.又S扇＝|α|R2＝R2＝R2＝πr2， ∴＝. 【易錯試題常警惕】 易錯典例：已知角的終邊過點,,求角的的正弦值、余弦值. 易錯分析：學(xué)生在做題時容易遺忘的情況． 正確解析：當(dāng)時，； 當(dāng)時， 溫馨提醒：本題主要考察了三角函數(shù)的定義以及分類討論思想方法，這也是高考考查的一個重點. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，

15、隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果. 【典例】滿足cos α≤－的角α的集合為________. 【答案】