浙江版高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)(講練測(cè))： 專(zhuān)題7.6 數(shù)學(xué) 歸納法練

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1、 第06節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法 A基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“，在驗(yàn)證時(shí)，等式左邊是 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】時(shí)，等式的左邊等于,選C. 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，當(dāng)時(shí)，等式左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由于當(dāng)時(shí)，等式左端，因此當(dāng)時(shí)，等式左端，增加了項(xiàng)．應(yīng)選答案D. 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由時(shí)不

2、等式成立，推證時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】當(dāng)n=k時(shí)，左邊=； 當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=++…+. 因?yàn)?k，2k+1，2k+2，…，2k+1-1是一個(gè)首項(xiàng)為2k，公差為1的等差數(shù)列，共有2k項(xiàng)， 所以左邊增加了2k項(xiàng). 故選C. 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+12+13+…+12n<F(n)”時(shí)，由n=k不等式成立，證明n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是( ) A. 2k-1 B. 2k-1 C. 2k D. 2k+1 【答案】C B能力提升訓(xùn)練 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明

3、不等式“”時(shí)的過(guò)程中，由到時(shí)，不等式的左邊（　?。? A. 增加了一項(xiàng) B. 增加了兩項(xiàng) C. 增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng) D. 增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng) 【答案】C 【解析】時(shí)，左邊, 時(shí)，左邊, 所以C選項(xiàng)是正確的. 2.用數(shù)學(xué)歸納證明“凸邊形對(duì)角線的條數(shù)”時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證 （ ） A. 成立 B. 成立 C. 成立 D. 成立 【答案】C 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由k到k+1，不等式左邊的變化是（　?。? A. 增加項(xiàng) B. 增加和兩項(xiàng) C. 增加和兩項(xiàng)同時(shí)減少項(xiàng) D. 以上結(jié)論都不對(duì) 【答案】C 【解析】時(shí)，左邊， 時(shí)，左

4、邊，由“”變成“”時(shí)， 故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題；用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：①明確初始值n0并驗(yàn)證真假．（必不可少）②“假設(shè)n=k時(shí)命題正確”并寫(xiě)出命題形式．③分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差別．弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)．④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明假設(shè)時(shí)成立,當(dāng)時(shí),左端增加的項(xiàng)數(shù)是 A. 1項(xiàng) B. 項(xiàng) C. 項(xiàng) D. 項(xiàng) 【答案】D 【解析】因?yàn)閺挠许?xiàng)，所以左端增加的項(xiàng)是項(xiàng)，應(yīng)選答案D. 5

5、．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n+1邊形有對(duì)角線數(shù)f(n+1)為( )． A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2 【答案】C C 思維拓展訓(xùn)練 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明， 的第一個(gè)取值應(yīng)當(dāng)是 A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】時(shí)， 成立， 時(shí)， ，不成立， 時(shí)， 不成立， 時(shí)， 不成立， 時(shí)， 不成立， 時(shí)， 不成立， 時(shí)， 不成立， 滿足成立， 的第一個(gè)值是 ，故選 2. 觀察如圖三角形數(shù)陣

6、，則 （1）若記第n行的第m個(gè)數(shù)為，則 ． （2）第行的第2個(gè)數(shù)是 ． 【答案】41 3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．勤于思考的小紅設(shè)計(jì)了下面兩種解題思路，請(qǐng)你選擇其中一種并將其補(bǔ)充完整． 思路1：先設(shè)的值為1，根據(jù)已知條件，計(jì)算出_________， __________， _________． 猜想： _______. 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．證明過(guò)程如下： ①當(dāng)時(shí)，________________，猜想成立 ②假設(shè)（N*）時(shí)，猜想成立，即_______． 那么，當(dāng)時(shí)，由已知，得_________． 又，兩式相減并化簡(jiǎn)

7、，得_____________（用含的代數(shù)式表示）． 所以，當(dāng)時(shí)，猜想也成立． 根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)任何N*都成立． 思路2：先設(shè)的值為1，根據(jù)已知條件，計(jì)算出_____________． 由已知，寫(xiě)出與的關(guān)系式： _____________________， 兩式相減，得與的遞推關(guān)系式： ____________________． 整理： ____________． 發(fā)現(xiàn)：數(shù)列是首項(xiàng)為_(kāi)_______，公比為_(kāi)______的等比數(shù)列． 得出：數(shù)列的通項(xiàng)公式____，進(jìn)而得到____________． 【答案】 2 2

8、 ，由此猜想 ；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明過(guò)程如下： ①當(dāng)時(shí)， ，得 ，符合 ，猜想成立. ②假設(shè)（N*）時(shí)，猜想成立，即, 那么，當(dāng)時(shí)，由已知，得 , 又，兩式相減并化簡(jiǎn)，得 ， （用含的代數(shù)式表示）．所以，當(dāng)時(shí)，猜想也成立． 根據(jù)①和②，可知猜想對(duì)任何N*都成立． 思路2. 先設(shè)的值為1，根據(jù)已知條件，計(jì)算出， 由已知，寫(xiě)出與的關(guān)系式： ， 兩式相減，得與的遞推關(guān)系式： ， 整理： ， 發(fā)現(xiàn)：數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． 得出：數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，進(jìn)而得到 ． 4.【浙江省波市九寧校期末聯(lián)考】已知， . (Ⅰ)求 ；

9、 (Ⅱ)猜想與的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)詳見(jiàn)解析. 試題解析： (Ⅰ) ； (Ⅱ)猜想： （） 證明：(1)當(dāng)時(shí)， ； （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)， ， 即， 則當(dāng)時(shí) = = =. 即時(shí)也成立, 由（1）（2）可知， 成立 5．【浙江省名校協(xié)

10、作體高三上學(xué)期聯(lián)考】已知無(wú)窮數(shù)列的首項(xiàng)， . （Ⅰ）證明： ； （Ⅱ） 記， 為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：對(duì)任意正整數(shù)， . 【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ)見(jiàn)解析. 則也為遞減數(shù)列，故當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ，成立； 當(dāng)時(shí)，利用裂項(xiàng)求和法即可得證 試題解析：（Ⅰ）證明：①當(dāng)時(shí)顯然成立； ②假設(shè)當(dāng) 時(shí)不等式成立，即， 那么當(dāng)時(shí)， ，所以， 即時(shí)不等式也成立. 綜合①②可知， 對(duì)任意成立. （Ⅱ），即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列。 又 ，易知為遞減數(shù)列， 所以也為遞減數(shù)列， 所以當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ，成立； 當(dāng)時(shí)， 綜上，對(duì)任意正整數(shù)，