浙江版高考數(shù)學 一輪復習(講練測)： 專題5.5 數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入講

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1、 第05節(jié) 數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入 1．理解復數(shù)的定義、復數(shù)的模和復數(shù)相等的概念. 2．了解復數(shù)的加、減運算的幾何意義. 3．掌握復數(shù)代數(shù)形式的四則運算. 20xx?浙江文2，理1； 20xx?浙江文11；理2； 20xx?浙江12. 1.以考查復數(shù)的運算（特別是乘法）為主，基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，為容易題； 2.從各地高考命題看，考查復數(shù)的運算、概念相結(jié)合，復數(shù)的運算與復數(shù)的幾何意義相結(jié)合，命題比較靈活，題型穩(wěn)定，均為容易題. 3.備考重點： 理解有關概念是基礎，掌握復

2、數(shù)代數(shù)的四則運算法則是關鍵，熟、快、準是得分的保障. 【知識清單】 1．復數(shù)的有關概念及性質(zhì) 1．虛數(shù)單位為i，規(guī)定：i2＝-1，且實數(shù)與它進行四則運算時，原有的加法、乘法的運算律仍然成立． 2．復數(shù)的概念 形如：a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部． ①當b＝0時，復數(shù)a＋bi為實數(shù)； ②當b≠0時，復數(shù)a＋bi為虛數(shù)； ③當a＝0且b≠0時，復數(shù)a＋bi為純虛數(shù)． 3.復數(shù)相等的充要條件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)? a＝c且b＝d，特別地，a＋bi＝0? a＝b＝0. 4.共軛復數(shù)：一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部

3、互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)，復數(shù)z的共軛復數(shù)記作． 5. 復數(shù)的模 向量的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或.即＝＝r＝(r≥0，r∈R)． 對點練習： 【20xx浙江臺州4月一?！恳阎獜蛿?shù)z=1+aii(a∈R)的實部為1，則a=_________，|z|=__________． 【答案】 1 2 【解析】z=1+aii=a-i ，實部a=1 ，所以z=1-i ，|z|=2 . 2．復數(shù)的幾何意義 1.z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面上的點Z(a，b)、平面向量都可建立一一對應的關系(其中O是坐標原點)． 2.復平面內(nèi)，實軸上的點

4、都表示實數(shù)；虛軸上的點除原點外都表示純虛數(shù)． 對點練習： 【20xx高考新課標2理數(shù)】已知在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 3.復數(shù)的四則運算 1.復數(shù)的加、減、乘、除的運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 (1)z1z2＝(ac)＋(bd)i； (2)z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3)＝＋i (z2≠0)． 2. . 對點練習： 【20xx浙江,12】已知a，b∈R，（i是虛數(shù)單位）則

5、 ，ab= ． 【答案】5，2 【解析】由題意可得，則，解得，則 【考點深度剖析】 從近幾年高考命題看，復數(shù)往往有一道選擇題或填空題，屬于容易題.主要考查的方向有兩個，一是復數(shù)的概念及運算，如復數(shù)的實部、虛部、純虛數(shù)、復數(shù)的相等、共軛復數(shù)等概念以及復數(shù)的運算；二是復數(shù)的幾何意義及其應用，如復數(shù)對應的點的位置（坐標），復數(shù)與方程的綜合問題等.偶有與其它知識綜合的簡單題，以考查復數(shù)的運算居多． 【重點難點突破】 考點1 復數(shù)的有關概念及性質(zhì) 【1-1】下列命題中： (1)在復數(shù)集中，任意兩個數(shù)都不能比較大小； (2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，則當且僅當m＝

6、0，n≠0時，z為純虛數(shù)； (3)若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3； (4)x＋yi＝1＋i?x＝y(tǒng)＝1； (5)若實數(shù)a與ai對應，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】 (4)只有當x，y∈R時命題才正確． (5)若a＝0，則0i＝0不是純虛數(shù)．故選A. 【1-2】(1)i是虛數(shù)單位，若復數(shù)a－(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)若＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a＋b＝________.

7、【答案】（1）D；（2）3. 【解析】(1)復數(shù)a－＝a－＝(a－3)－i為純虛數(shù)，∴a－3＝0，∴a＝3.故選D. (2)由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝(a＋b)＋(b－a)i，根據(jù)復數(shù)相等的定義可得 ∴a＋b＝3.故填3. 【領悟技法】 （1）中的負號易忽略. （2）對于復數(shù)m＋ni，如果m，n∈C(或沒有明確界定m，n∈R)，則不可想當然地判定m，n∈R. (3)對于a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0. 【觸類旁通】 【變式一】【20xx浙江嘉興測試】已知復數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)（ ） A．-2

8、 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【變式二】已知為虛數(shù)單位，，若為純虛數(shù)，則復數(shù)的模等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設,則,故,解之得,則,故,應選B. 考點2 復數(shù)的幾何意義 【2-1】【20xx浙江模擬】當23

9、m<1，則3m－2>0，m－1<0，點在第四象限． 【2-2】已知A，B是銳角三角形的兩內(nèi)角，則復數(shù)(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在復平面內(nèi)對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 即sinA－cosB＞0.同理可得，sinB－cosA＞0.故選A. 【領悟技法】 復數(shù)的幾何意義 (1)　(其中a，b∈R)． (2)表示復數(shù)z對應的點與原點的距離． (3)表示兩點的距離，即表示復數(shù)z1與z2對應的點的距離． 【觸類旁通】 【變式一】已知為虛數(shù)單位，在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點所在的象限是（ ）

10、A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，在第四象限. 【變式二】復數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在象限為（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因，故在第一象限，應選A． 考點3 復數(shù)的代數(shù)運算 【3-1】復數(shù)的實部與虛部之和為（ ） A．-3 B．4 C．3 D．-11 【答案】D 【解析】 【3-2】【20

11、xx浙江嘉興、杭州、寧波等五校聯(lián)考】若復數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則=(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設，所以 ，所以 ，所以選B. 【領悟技法】 復數(shù)的加、減法運算中，可以從形式上理解為關于虛數(shù)單位“”的多項式合并同類項，復數(shù)的乘法與多項式的乘法相類似，只是在結(jié)果中把換成－1.復數(shù)除法可類比實數(shù)運算的分母有理化．復數(shù)加、減法的幾何意義可依平面向量的加、減法的幾何意義進行理解． 【觸類旁通】 【變式一】【20xx浙江高考模擬】已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則 （ ） A. B. C.

12、 D.2 【答案】C. 【解析】由題意得，，∴，故選C. 【變式二】【20xx高考新課標3理數(shù)】若，則（ ） (A)1 (B) -1 (C) (D) 【答案】C 【易錯試題常警惕】 易錯典例：已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為（ ） A． B． C． D． 易錯分析：（Ⅰ）共軛復數(shù)的概念不清；（Ⅱ）分式中分母實數(shù)化過程中，分子分母同乘分母的共軛復數(shù)出錯． 正確解析：，所以，虛部為，選D. 溫馨提醒： 1.在進行復數(shù)的運

13、算時，不能把實數(shù)集的運算法則和性質(zhì)照搬到復數(shù)集中來，如下面的結(jié)論，當z∈C時，不是總成立的：(1)(zm)n＝zmn(m，n為分數(shù))；(2)若zm＝zn，則m＝n(z≠1)；(3)若z＋z＝0，則z1＝z2＝0. 2.注意利用共軛復數(shù)的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，即復數(shù)的模的運算，常能使解題簡捷． 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結(jié)

14、合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果. 【典例】20xx“超級全能生”浙江3月聯(lián)考】在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的向量為，復數(shù)對應的向量為，那么向量對應的復數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】D