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1．如果e1、e2是平面α內所有向量的一組基底，那么下列命題正確的是
( )．
A．若實數(shù)λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0
B．對空間任一向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1、λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內，λ1、λ2∈R
D．對于平面α內任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1、λ2有無數(shù)對
解析 A正確，B錯，這樣的a只能與e1、e2在同一平面內，不能是空間任一向量；C錯，在平面α內任一向量都可表示為λ1e1＋λ2e2的形式，
2、故λ1e1＋λ2e2一定在平面α內；D錯，這樣的λ1、λ2是唯一的，而不是有無數(shù)對．
答案 A
2．若e1，e2是平面內的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是 ( )．
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
解析 選項A、B、C中的向量都是共線向量，不能作為平面向量的基底．
答案 D
3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，則等于 ( )．
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.a＋b
解析 ∵＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴(1＋
3、λ)＝＋λ，
∴＝＋＝a＋b.
答案 D
4．如圖所示，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點，EF與AC交于點G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________.
解析?。剑剑?
＝a＋b－
＝a＋b－
＝a＋b－(a－b)＝a＋b.
答案 a＋b
5．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，則λ＋μ＝________.
解析 設＝a，＝b，
則＝a＋b，
＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
答案
6．判斷下列命題的正誤，并說明理由．
(1)若ae1＋be2＝ce1
4、＋de2(a、b、c、d∈R)，則a＝c，b＝d.
(2)若e1和e2是表示平面內所有向量的一組基底，那么該平面內的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出來．
解 (1)錯誤，當e1與e2共線時，結論不一定成立．
(2)正確，假設e1＋e2與e1－e2共線，則存在實數(shù)λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因為1－λ與1＋λ不同時為0，所以e1與e2共線，這與e1與e2不共線矛盾．
所以e1＋e2與e1－e2不共線，因而它們可以作為基底，該平面內的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出來．
7．已知AD為△ABC的中線，則等于 ( )
5、．
A.＋ B.－
C.－ D.＋
解析 延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE，BE，則四邊形ABEC是平行四邊形，則
＝＝(＋)＝＋.
答案 D
8．在△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，則＝ ( )．
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 如圖，∠1＝∠2，
∴＝＝，
∴＝＝
＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案 B
9．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為______
6、__．
解析 設＝a，＝b，
則＝(＋)＝a＋b，
又＝＋
＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ＝a＋b.
根據(jù)平面向量基本定理消去λ整理得m＋n＝2.
答案 2
10．已知向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3，問a能否表示成a＝λb＋μc的形式？若能，寫出表達式；若不能，說明理由．
解 由a＝λb＋μc得
－e1＋3e2＋2e3＝(4λ－3μ)e1＋(－6λ＋12μ)e2＋(2λ＋11μ)e3，
∴
由①②聯(lián)立解得，代入③也成立．
∴a能表示成a＝λb＋μc的形式，即a＝－b＋c.
11．如圖所示，設M，
7、N，P是△ABC三邊上的點，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，試用a，b將、，表示出來．
解 ＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)
＝－a＋b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
12.
(創(chuàng)新拓展)已知△ABC的兩邊AB、AC的中點分別為M、N，在BN的延長線上取點P，使NP＝BN，在CM的延長線上取點Q，使MQ＝CM，
證明：P、A、Q三點共線．
證明 設＝a、＝b.由題意可知，
＝＋＝a＋2＝a＋2(－)
＝a＋2(－a)＝a＋b－2a＝b－a；
＝＋＝b＋2＝b＋2(－)
＝b＋2(－b)＝b＋a－2b＝a－b.
顯然，＝－，說明，共線．
故P、A、Q三點共線．
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