二輪復習數(shù)學理普通生通用版講義：第一部分 第三層級 難點自選專題四　“函數(shù)與導數(shù)”壓軸大題的搶分策略 Word版含解析

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1、 難點自選專題四難點自選專題四 “函數(shù)與導數(shù)函數(shù)與導數(shù)”壓軸大題的搶分策略壓軸大題的搶分策略 全國卷全國卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份 全國卷全國卷 全國卷全國卷 全國卷全國卷 2018 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)極值與不等式證性、函數(shù)極值與不等式證明明 T21 函數(shù)的單調性、不等式的函數(shù)的單調性、不等式的證明、 函數(shù)的零點問題證明、 函數(shù)的零點問題 T21 導數(shù)在研究不等式及極值導數(shù)在研究不等式及極值問題的應用問題的應用 T21 2017 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的零點問題性、函數(shù)的零點問題 T21 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調利用導數(shù)

2、研究函數(shù)的單調性及極值、函數(shù)的零點、性及極值、函數(shù)的零點、不等式的證明不等式的證明 T21 導數(shù)在研究函數(shù)單調性中導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的應用、 不等式的放縮的應用、 不等式的放縮 T21 2016 利用導數(shù)解決函數(shù)的零點利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題、不等式的證明問題、不等式的證明 T21 利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、不等式證明及值域問性、不等式證明及值域問題題 T21 三角函數(shù)的導數(shù)運算、最三角函數(shù)的導數(shù)運算、最值問題及不等式證明值問題及不等式證明 T21 導數(shù)日益成為解決問題必不可少的工具， 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值導數(shù)日益成為解決問題必不可少的工具， 利用導數(shù)研究

3、函數(shù)的單調性與極值(最值最值)是高是高考的常見題型，而導數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等的交匯命題，是高考的熱點和難點考的常見題型，而導數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等的交匯命題，是高考的熱點和難點 解答題的熱點題型有：解答題的熱點題型有： (1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值；(2)利用導數(shù)證明不等式或探討方程根；利用導數(shù)證明不等式或探討方程根；(3)利用導數(shù)求解參數(shù)的范圍或值利用導數(shù)求解參數(shù)的范圍或值 考法考法 策略策略(一一) 利用分類討論思想探究函數(shù)的性質利用分類討論思想探究函數(shù)的性質 典例典例 設設 f(x)xln xax2(2a1)x，aR R. (1)

4、令令 g(x)f(x)，求，求 g(x)的單調區(qū)間；的單調區(qū)間； (2)已知已知 f(x)在在 x1 處取得極大值，求實數(shù)處取得極大值，求實數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 解解 (1)由由 f(x)ln x2ax2a， 可得可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，) 所以所以 g(x)1x2a12axx. 當當 a0，x(0，)時，時，g(x)0，函數(shù)，函數(shù) g(x)單調遞增；單調遞增； 當當 a0，x 0，12a時，時，g(x)0，函數(shù)，函數(shù) g(x)單調遞增，單調遞增，x 12a， 時，時，g(x)0，函數(shù)函數(shù) g(x)單調遞減單調遞減 所以當所以當 a0 時，時，g(x)的單調增區(qū)間為的

5、單調增區(qū)間為(0，)； 當當 a0 時，時，g(x)的單調增區(qū)間為的單調增區(qū)間為 0，12a，單調減區(qū)間為，單調減區(qū)間為 12a， . (2)由由(1)知，知，f(1)0. 當當 a0 時，時，f(x)單調遞增，單調遞增， 所以當所以當 x(0,1)時，時，f(x)0，f(x)單調遞減；單調遞減； 當當 x(1，)時，時，f(x)0，f(x)單調遞增單調遞增 所以所以 f(x)在在 x1 處取得極小值，不合題意處取得極小值，不合題意 當當 0a12時，時，12a1， 由， 由(1)知知 f(x)在在 0，12a內(nèi)單調遞增， 可得當內(nèi)單調遞增， 可得當 x(0,1)時，時， f(x)0，當，當

6、x 1，12a時，時，f(x)0. 所以所以 f(x)在在(0,1)內(nèi)單調遞減，在內(nèi)單調遞減，在 1，12a內(nèi)單調遞增，所以內(nèi)單調遞增，所以 f(x)在在 x1 處取得極小值，處取得極小值，不合題意不合題意 當當 a12時，時，12a1，f(x)在在(0,1)內(nèi)單調遞增，在內(nèi)單調遞增，在(1，)內(nèi)單調遞減，所以當內(nèi)單調遞減，所以當 x(0，)時，時，f(x)0，f(x)單調遞減，不合題意單調遞減，不合題意 當當 a12時，時，012a1，當，當 x 12a，1 時，時，f(x)0，f(x)單調遞增，當單調遞增，當 x(1，)時，時，f(x)0，f(x)單調遞減單調遞減 所以所以 f(x)在在

7、x1 處取極大值，符合題意處取極大值，符合題意 綜上可知，實數(shù)綜上可知，實數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為 12， . 題后悟通題后悟通 分類討論思想解決有關函數(shù)性質問題的策略分類討論思想解決有關函數(shù)性質問題的策略 (1)何時討論參數(shù)？何時討論參數(shù)？ 在求解中， 若參數(shù)的取值影響所求結果， 就要分類討論 如本例在求解中， 若參數(shù)的取值影響所求結果， 就要分類討論 如本例(1)中由中由 g(x)12axx確定單調區(qū)間確定單調區(qū)間時，對時，對 a 的取值要分類討論的取值要分類討論 (2)如何討論參數(shù)？如何討論參數(shù)？ 解答此類問題的關鍵是如何分類，分類時要結合題目條件，對參數(shù)取值范圍進行劃分，解答此

8、類問題的關鍵是如何分類，分類時要結合題目條件，對參數(shù)取值范圍進行劃分，進而研究其問題如本例進而研究其問題如本例(2)中分類的依據(jù)是中分類的依據(jù)是12a與與 1 的大小比較的大小比較 應用體驗應用體驗 1(2018 全國卷全國卷)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)1xxaln x. (1)討論討論 f(x)的單調性；的單調性； (2)若若 f(x)存在兩個極值點存在兩個極值點 x1，x2， 證明：證明：f x1 f x2 x1x22，令，令 f(x)0， 得得 xa a242或或 xa a242. 當當 x 0，a a242 a a242，時，時， f(x)0. 所 以所 以f(x) 在在 0，a a2

9、42， a a242，上 單 調 遞 減 ， 在上 單 調 遞 減 ， 在 a a242，a a242上單調遞增上單調遞增 (2)證明：由證明：由(1)知，當且僅當知，當且僅當 a2 時，時，f(x)存在兩個極值點存在兩個極值點 由于由于 f(x)的兩個極值點的兩個極值點 x1，x2滿足滿足 x2ax10， 所以所以 x1x21，不妨設，不妨設 x11. 由于由于f x1 f x2 x1x21x1x21aln x1ln x2x1x2 2aln x1ln x2x1x22a2ln x21x2x2， 所以所以f x1 f x2 x1x2a2 等價于等價于1x2x22ln x20. 設函數(shù)設函數(shù) g(

10、x)1xx2ln x， 由由(1)知，知，g(x)在在(0，)上單調遞減上單調遞減 又又 g(1)0，從而當，從而當 x(1，)時，時，g(x)0. 所以所以1x2x22ln x20， 即即f x1 f x2 x1x20)， f(1)a10，解得，解得 a1， 當當 a1 時，時，f(x)xxln x， 即即 f(x)ln x， 令令 f(x)0，解得，解得 x1； 令令 f(x)0，解得，解得 0 x1，即，即 m2， 當當 0 x1 時，時，f(x)x(1ln x)0 且且 x0 時，時，f(x)0； 當當 x時，顯然時，顯然 f(x). 如圖，由圖象可知，如圖，由圖象可知，m10，即，即

11、 m1， 由由可得可得2m1. 故實數(shù)故實數(shù) m 的取值范圍為的取值范圍為(2，1) 題后悟通題后悟通 轉化與化歸思想解決函數(shù)零點問題的策略轉化與化歸思想解決函數(shù)零點問題的策略 (1)直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖函數(shù)零點的個數(shù)問題即是函數(shù)圖象直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖函數(shù)零點的個數(shù)問題即是函數(shù)圖象與與 x 軸交點的個數(shù)問題軸交點的個數(shù)問題 (2)分離出參數(shù)，轉化為分離出參數(shù)，轉化為 ag(x)，根據(jù)導數(shù)的知識求出函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的知識求出函數(shù) g(x)在某區(qū)間的單調性，求在某區(qū)間的單調性，求出極值以及最值， 畫出草圖函數(shù)零點的個數(shù)問題即是直線出極值以及最值， 畫出草圖函

12、數(shù)零點的個數(shù)問題即是直線 ya 與函數(shù)與函數(shù) yg(x)圖象交點的圖象交點的個數(shù)問題只需要用個數(shù)問題只需要用 a 與函數(shù)與函數(shù) g(x)的極值和最值進行比較即可如本例函數(shù)的極值和最值進行比較即可如本例函數(shù) yf(x)m1的零的零點問題即可轉化為點問題即可轉化為 yf(x)與與 ym1 兩圖象的交點問題兩圖象的交點問題 應用體驗應用體驗 2已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ax2ln x的圖象在的圖象在 xe 處的切線經(jīng)過點處的切線經(jīng)過點(1，e)，其中，其中 e2.718 28. (1)求求 a 的值；的值； (2)若函數(shù)若函數(shù) g(x)tf(x)x 在在 1e，1 (1，e2上有兩個零點，求實數(shù)上有

13、兩個零點，求實數(shù) t 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)由題意，得函數(shù)由題意，得函數(shù) f(x)ax2ln x的定義域為的定義域為(0,1)(1，) 因為因為 f(x)ax 2ln x1 ln x 2，所以，所以 f(e)ae. 所以所以 f(x)的圖象在的圖象在 xe 處的切線方程為處的切線方程為 yf(e)f(e)(xe)， 即即 yae2ae(xe)，所以，所以 yeax. 因為因為 f(x)的圖象在的圖象在 xe 處的切線經(jīng)過點處的切線經(jīng)過點(1，e)， 所以所以 a1. (2)函數(shù)函數(shù) g(x)tf(x)x 在在 1e，1 (1，e2上有兩個零點等價于函數(shù)上有兩個零點等價于函數(shù) h(

14、x)ln xx與與 yt 的的圖象在圖象在 1e，1 (1，e2上有兩個不同的交點上有兩個不同的交點 因為因為 h(x)1ln xx2， 由由 h(x)0，得，得 0 xe 且且 x1； 由由 h(x)0，得，得 xe. 所以當所以當 xe 時，時，h(x)有極大值，即為最大值有極大值，即為最大值 h(e)1e. 又因為又因為 h 1ee，h(e2)2e2，h(1)0 且且2e20e， 所以所以實數(shù)實數(shù) t 的取值范圍為的取值范圍為 2e2，1e. 考法考法 策略策略(三三) 利用函數(shù)思想探究不等式問題利用函數(shù)思想探究不等式問題 典例典例 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ln xa(x1)，aR R

15、 的圖象在的圖象在(1，f(1)處的切線與處的切線與 x 軸平行軸平行 (1)求求 f(x)的單調區(qū)間；的單調區(qū)間； (2)若存在若存在 x01，當，當 x(1，x0)時，恒有時，恒有 f(x)x222x12k(x1)成立，求成立，求 k 的取值范的取值范圍圍 解解 (1)由已知可得由已知可得 f(x)的定義域為的定義域為(0，) f(x)1xa，f(1)1a0，a1， f(x)1x11xx， 令令 f(x)0，得，得 0 x1；令；令 f(x)0，得，得 x1， f(x)的單調遞增區(qū)間為的單調遞增區(qū)間為(0,1)，單調遞減區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(1，) (2)由由(1)知知 f(x)ln x

16、x1，不等式，不等式 f(x)x222x12k(x1)可化為可化為 ln xx22x12k(x1)，令，令 g(x)ln xx22x12k(x1)， 則則 g(x)1xx1kx2 1k x1x. 令令 h(x)x2(1k)x1， 則則 h(x)的對稱軸為直線的對稱軸為直線 x1k2， 當當1k21，即，即 k1 時，易知時，易知 h(x)在在(1，)上單調遞減，上單調遞減， x(1，)時，時，h(x)h(1)1k， 若若 k1，則，則 h(x)0，g(x)0，g(x)在在(1，)上單上單調遞減，調遞減， g(x)g(1)0，不符合題意，不符合題意 若若1k1，則，則 h(1)0，存在存在 x0

17、1，使得，使得 x(1，x0)時，時，h(x)0，即，即 g(x)0， g(x)在在(1，x0)上單調遞增，上單調遞增， g(x)g(1)0 恒成立，符合題意恒成立，符合題意 當當1k21，即，即 k1 時，易知存在時，易知存在 x01， 使得使得 h(x)在在(1，x0)上單調遞增，上單調遞增， h(x)h(1)1k0，g(x)0， g(x)在在(1，x0)上單調遞增，上單調遞增， g(x)g(1)0 恒成立，符合題意恒成立，符合題意 綜上，綜上，k 的取值范圍是的取值范圍是(，1) 題后悟通題后悟通 函數(shù)思想解決不等式問題的策略函數(shù)思想解決不等式問題的策略 移項法移項法 證明不等式證明不等

18、式 f(x)g(x)(f(x)g(x)的問題轉化為證明的問題轉化為證明 f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，進而構造輔助函數(shù)，進而構造輔助函數(shù) h(x)f(x)g(x)(如本例如本例) 構造構造“形似形似” 函數(shù)函數(shù) 對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)；把不等式轉化為左右兩邊是對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)；把不等式轉化為左右兩邊是相同結構的式子的結構，根據(jù)相同結構的式子的結構，根據(jù)“相同結構相同結構”構造輔助函數(shù)構造輔助函數(shù) 主元法主元法 對于對于(或可化為或可化為)f(x1，x2)A 的不等式，可選的不等式，可選 x1(或或 x2)為主元，構造函數(shù)為主元，構造函數(shù) f

19、(x，x2)(或或 f(x1，x) 應用應用體驗體驗 3(2018 全國卷全國卷)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)aexln x1. (1)設設 x2 是是 f(x)的極值點，求的極值點，求 a，并求，并求 f(x)的單調區(qū)間；的單調區(qū)間； (2)證明：當證明：當 a1e時，時，f(x)0. 解：解：(1)f(x)的定義域為的定義域為(0，)，f(x)aex1x. 由題設知，由題設知，f(2)0，所以，所以 a12e2. 從而從而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x. 可知可知 f(x)在在(0，)上單調遞增，又上單調遞增，又 f(2)0， 所以當所以當 0 x2 時，時，f(x)2 時，時，f(x)0. 所以所以 f(x)的單調遞減區(qū)間為的單調遞減區(qū)間為(0,2)， 單調遞增區(qū)間為單調遞增區(qū)間為(2，) (2)證明：當證明：當 a1e時，時，f(x)exeln x1. 設設 g(x)exeln x1，則，則 g(x)exe1x. 可知可知 g(x)在在(0，)上單調遞增，且上單調遞增，且 g(1)0， 所以當所以當 0 x1 時，時，g(x)1 時，時，g(x)0. 所以所以 x1 是是 g(x)的最小值點的最小值點 故當故當 x0 時，時，g(x)g(1)0. 因此，當因此，當 a1e時，時，f(x)0.