高考數(shù)學浙江理科一輪【第一章】集合與常用邏輯用語 第一章 1.3

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1、△+△2019年數(shù)學高考教學資料△+△ 1.3　簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞 1． 簡單的邏輯聯(lián)結詞 (1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結詞． (2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2． 全稱量詞與存在量詞 (1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用“?”表示；含有全稱量詞的命題叫做全稱命題． (2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用“?”表

2、示；含有存在量詞的命題叫做特稱命題． 3． 含有一個量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x) 1． 判斷下面結論是否正確(請在括號內打“√”或“”) (1)命題p∧q為假命題，則命題p、q都是假命題． (　　) (2)已知命題p：?n0∈N,>1 000，則綈p：?n∈N, ≤1 000. (　　) (3)命題p和綈p不可能都是真命題． (　√　) (4)命題“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2<0”． (　　) (5)若命題p、q

3、至少有一個是真命題，則p∨q是真命題． (　√　) 2． 命題p：?x∈R，sin x<1；命題q：?x∈R，cos x≤－1，則下列結論是真命題的是(　　) A．p∧q B．綈p∧q C．p∨綈q D．綈p∧綈q 答案　B 解析　p是假命題，q是真命題， ∴綈p∧q是真命題． 3． (2013重慶)命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為 (　　) A．對任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x≥0 D．存在x0∈R，使得x<0 答案　D 解析　因為“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M

4、，綈p(x)”，故“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x<0”． 4． (2013湖北)在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次，設命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為 (　　) A．(綈p)∨(綈q) B. p∨(綈q) C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q 答案　A 解析　“至少有一位學員沒有落在指定范圍”＝“甲沒有落在指定范圍”或“乙沒有落在指定范圍”＝(綈p)∨(綈q)． 5． 若命題“?x∈R，x2－mx－m<0”是假命題，則實數(shù)m的取

5、值范圍是________． 答案　[－4,0] 解析　“?x∈R，x2－mx－m<0”是假命題，則“?x∈R，x2－mx－m≥0”是真命題．即Δ＝m2＋4m≤0， ∴－4≤m≤0. 題型一　含有邏輯聯(lián)結詞命題的真假判斷 例1　命題p：將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向右平移個單位得到函數(shù)y＝sin的圖象；命題q：函數(shù)y＝sincos的最小正周期為π，則命題“p∨q”“p∧q”“綈p”為真命題的個數(shù)是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．0 思維啟迪　先判斷命題p、q的真假，然后利用真值表判斷p∨q、p∧q、綈p的真假． 答案　B

6、 解析　函數(shù)y＝sin 2x的圖象向右平移個單位后， 所得函數(shù)為y＝sin＝sin， ∴命題p是假命題． 又y＝sincos ＝sincos ＝sin2＝－cos， ∴其最小正周期為T＝＝π， ∴命題q真． 由此，可判斷命題“p∨q”真，“p∧q”假，“綈p”為真． 思維升華　“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命題真假的判斷步驟： (1)確定命題的構成形式； (2)判斷其中命題p、q的真假； (3)確定“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命題的真假． 　(1)若命題p：函數(shù)y＝x2－2x的單調遞增區(qū)間是[1，＋∞)，命題q：函數(shù)y＝x－的單調遞增區(qū)間是[1，＋∞)，則

7、 (　　) A．p∧q是真命題 B．p∨q是假命題 C．綈p是真命題 D．綈q是真命題 (2)“p或q”為真命題是“p且q”為真命題的________條件． 答案　(1)D　(2)必要不充分 解析　(1)因為函數(shù)y＝x2－2x的單調遞增區(qū)間是[1，＋∞)， 所以p是真命題； 因為函數(shù)y＝x－的單調遞增區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)， 所以q是假命題． 所以p∧q為假命題，p∨q為真命題，綈p為假命題，綈q為真命題，故選D. (2)若命題“p或q”為真命題，則p、q中至少有一個為真命題． 若命題“p且q”為真命題，則p、q都為真命題， 因此

8、“p或q”為真命題是“p且q”為真命題的必要不充分條件． 題型二　全(特)稱命題的否定 例2　寫出下列命題的否定，并判斷其真假： (1)p：?x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一個實數(shù)x0，使x＋1＝0. 思維啟迪　否定量詞，否定結論，寫出命題的否定；判斷命題的真假． 解　(1)綈p：?x0∈R，x－x0＋<0，假命題． (2)綈q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題． (3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命題． (4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題． 思維升華　(1)對

9、全(特)稱命題進行否定的方法 ①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義加上量詞，再進行否定． ②對原命題的結論進行否定． (2)判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立． 　(1)已知命題p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，則綈p是 (　　) A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．?x1，x2∈R，(f(x2)

10、－f(x1))(x2－x1)<0 D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 (2)命題“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是 (　　) A．對任意實數(shù)x，都有x>1 B．不存在實數(shù)x，使x≤1 C．對任意實數(shù)x ，都有x≤1 D．存在實數(shù)x，使x≤1 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)綈p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0. (2)利用特稱命題的否定是全稱命題求解． “存在實數(shù)x，使x>1”的否定是“對任意實數(shù)x，都有x≤1”．故選C. 題型三　邏輯聯(lián)結詞與命題真假的應用 例3　(1)已知p：?x∈R

11、，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為 (　　) A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 (2)已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命題q：“?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 思維啟迪　利用含邏輯聯(lián)結詞命題的真假求參數(shù)范圍問題，可先求出各命題為真時參數(shù)的范圍，再利用邏輯聯(lián)結詞的含義求參數(shù)范圍． 答案　(1)A　(2)[e,4] 解析　(1)依題意知，p，q均為假命題．當p是假命題

12、時，mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當q是假命題時，則有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均為假命題得，即m≥2. (2)若命題“p∧q”是真命題，那么命題p，q都是真命題．由?x∈[0,1]，a≥ex, 得a≥e；由?x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4. 思維升華　以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時，首先要對兩個簡單命題進行化簡，然后依據(jù)“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式(組)求解即可． 　(1)已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命題“

13、p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1} C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1} (2)命題“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________． 答案　(1)A　(2)[－2，2] 解析　(1)由題意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1， ∵“p且q”為真命題，∴p、q均為真命題，∴a≤－2或a＝1. (2)因題中的命題為假命題，則它的否定“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”為真命題，也就是常見的“恒成立”問題，因此只需Δ＝9a2－429≤0，即－2

14、≤a≤2. 借助邏輯聯(lián)結詞求解參數(shù)范圍 典例：(14分)已知c>0，且c≠1，設p：函數(shù)y＝cx在R上單調遞減；q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx＋1在上為增函數(shù)，若“p且q”為假，“p或q”為真，求實數(shù)c的取值范圍． 思維啟迪　(1)p、q都為真時，分別求出相應的a的取值范圍；(2)用補集的思想，求出綈p、綈q分別對應的a的取值范圍；(3)根據(jù)“p且q”為假、“p或q”為真，確定p、q的真假． 規(guī)范解答 解　∵函數(shù)y＝cx在R上單調遞減，∴00且c≠1，∴綈p：c>1. [4分] 又∵f(x)＝x

15、2－2cx＋1在上為增函數(shù)，∴c≤. 即q：00且c≠1，∴綈q：c>且c≠1. [6分] 又∵“p或q”為真，“p且q”為假， ∴p真q假或p假q真． [8分] ①當p真，q假時， {c|01}∩＝?. [12分] 綜上所述，實數(shù)c的取值范圍是. [14分] 第一步：求命題p、q對應的參數(shù)的范圍． 第二步：求命題綈p、綈q對應的參數(shù)的范圍． 第三步：根據(jù)已知條件構造新命題，如本題構造新命題 “p且q”或“p或q”

16、． 第四步：根據(jù)新命題的真假，確定參數(shù)的范圍． 第五步：反思回顧．查看關鍵點、易錯點及解題規(guī)范． 溫馨提醒　解決此類問題的關鍵是準確地把每個條件所對應的參數(shù)的取值范圍求解出來，然后轉化為集合交、并、補的基本運算． 答題時，可依答題模板的格式進行，這樣可使答題思路清晰，過程完整．老師在閱卷時，便于查找得分點. 方法與技巧 1． 把握含邏輯聯(lián)結詞的命題的形式，特別是字面上未出現(xiàn)“或”、“且”，要結合語句的含義理解． 2． 要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，對照否定結構去寫，并注意與否命題區(qū)別；否定的規(guī)律是“改量詞，否結論”． 失誤與防范 1． p∨q為

17、真命題，只需p、q有一個為真即可；p∧q為真命題，必須p、q同時為真． 2． p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q. 3． 命題的否定與否命題 “否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結論． A組　專項基礎訓練 (時間：30分鐘) 一、選擇題 1． 設命題p：函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)y＝cos x的圖象關于直線x＝對稱．則下列判斷正確的是 (　　) A．p為真 B．綈q為假 C．p∧q為假 D．p∨q為真

18、答案　C 解析　p是假命題，q是假命題，因此只有C正確． 2． (2013四川)設x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則 (　　) A．綈p：?x∈A,2x∈B B．綈p：?x?A,2x?B C．綈p：?x?A,2x∈B D．綈p：?x∈A,2x?B 答案　D 解析　命題p：?x∈A,2x∈B是一個全稱命題，其命題的否定綈p應為?x∈A,2x?B，選D. 3． 已知命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)；命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)，則下列命題中為真命題的是 (　　) A．綈p∨q B．p∧q C

19、．綈p∧綈q D．綈p∨綈q 答案　D 解析　不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，從而上述敘述中只有綈p∨綈q為真命題． 4． 已知命題p：若a>1，則ax>logax恒成立；命題q：在等差數(shù)列{an}中(其中公差d≠0)，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要條件(m，n，p，q∈N*)． 則下面選項中真命題是 (　　) A．綈p∧綈q B．綈p∨綈q C．綈p∨q D．p∧q 答案　B 解析　對于命題p，如圖所示，作出函數(shù)y＝ax(a>1)與y＝logax(a>1) 在(0，＋∞)上的圖象，顯然當a>1時，函數(shù)y＝

20、ax的圖象在函數(shù)y＝ logax圖象的上方，即當a>1時，ax>logax恒成立，故命題p為真命 題． 對于命題q，由等差數(shù)列的性質，可知當公差不為0時，m＋n＝p＋ q是an＋am＝ap＋aq的充要條件，故命題q為假命題． ∴命題綈p為假，綈q為真，故綈p∨綈q為真． 5． 下列命題中，真命題是 (　　) A．?x0∈，sin x0＋cos x0≥2 B．?x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．?x0∈R，x＋x0＝－1 D．?x∈，tan x>sin x 答案　B 解析　對于選項A， ?x∈，sin x＋cos x＝sin≤， ∴此命題為假

21、命題； 對于選項B，當x∈(3，＋∞)時，x2－2x－1＝(x－1)2－2>0， ∴此命題為真命題； 對于選項C，?x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0， ∴此命題為假命題； 對于選項D，當x∈時，tan x<0N”是“M>N”的充分不必要條件． A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　對于①，易知①是正確

22、的；對于②，由“綈p是q的必要條件”知，q可推知綈p，則p可推知綈q(注：互為逆否的兩個命題的真假性一致)，因此p是綈q的充分條件，②正確；對于③，由M>N不能得到M>N，因此③是錯誤的．故選C. 二、填空題 7． 若命題p：關于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－}，命題q：關于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a

23、?x∈R，tan x＝1；命題q：?x∈R，x2－x＋1>0.則命題“p∧綈q”是假命題； ②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是＝－3； ③命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題：“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”．其中正確結論的序號為________． 答案?、佗? 解析?、僦忻}p為真命題，命題q為真命題， 所以p∧綈q為假命題，故①正確； ②當b＝a＝0時，有l(wèi)1⊥l2，故②不正確； ③正確．所以正確結論的序號為①③. 三、解答題 9． 已知c>0，設命題p：函數(shù)y＝cx為減函數(shù)．命題q：當x∈時，函數(shù)f(x)＝x

24、＋>恒成立．如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求c的取值范圍． 解　由命題p為真知，0， 若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題， 則p、q中必有一真一假， 當p真q假時，c的取值范圍是00 B．?x∈N*，(x－1)2>0 C．?x∈R，lg x<1 D．?x∈R，tan x＝2

25、答案　B 解析　A正確；對于B，當x＝1時，(x－1)2＝0，錯誤； 對于C，當x∈(0,1)時，lg x<0<1，正確； 對于D，?x∈R，tan x＝2，正確． 2． 設有兩個命題，p：不等式＋>a的解集為R；q：函數(shù)f(x)＝－(7－3a)x在R上是減函數(shù)，如果這兩個命題中有且只有一個真命題，那么實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．1≤a<2 B．2a的解集為R}； B＝{a|f(x)＝－(7－3a)x在R上是減函數(shù)}． 由于函數(shù)y＝＋的最小值為1，故A＝{a|a<1}．

26、 又因為函數(shù)f(x)＝－(7－3a)x在R上是減函數(shù)， 故7－3a>1，即a<2，所以B＝{a|a<2}． 要使這兩個命題中有且只有一個真命題，a的取值范圍為[(?RA)∩B]∪[(?RB)∩A]， 而(?RA)∩B＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)， (?RB)∩A＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝?， 因此[(?RA)∩B]∪[(?RB)∩A]＝[1,2)，故選A. 3． 已知命題p：“?x∈R，?m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命題綈p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是__________． 答案　(－∞，1] 解析　若綈p是假命題，則p是真命題， 即關于x的方程4x

27、－22x＋m＝0有實數(shù)解， 由于m＝－(4x－22x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1. 4． 設p：關于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函數(shù)y＝的定義域為R.若p∨q是真命題，p∧q是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________________． 答案　∪[1，＋∞) 解析　根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，可知命題p為真命題時，實數(shù)a的取值集合為P＝{a|0

28、取值集合為Q＝{a|a≥}． 由“p∨q是真命題，p∧q是假命題”，可知命題p，q一真一假， 當p真q假時，a的取值范圍是P∩(?RQ)＝{a|02或a<－2. 即a的取值范圍為{a|a>2或a<－2}． 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品