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1、專題限時集訓(十一) 附加題部分
(對應學生用書第107頁)
(限時：120分鐘)
1．(本小題滿分10分)(2017江蘇省鹽城市高考數學二模)在平面直角坐標系xOy中，直線l：(t為參數)，與曲線C：(k為參數)交于A，B兩點，求線段AB的長．
[解] 法一：直線l的參數方程化為普通方程得4x－3y＝4，
將曲線C的參數方程化為普通方程得y2＝4x. 4分
聯(lián)立方程組解得或
所以A(4,4)，B.
所以AB＝. 10分
法二：將曲線C的參數方程化為普通方程得y2＝4x.
直線l的參數方程代入拋物線C的方程得2＝4，即4t2－15t－25＝0， 8分
所以t1＋t2＝，t
2、1t2＝－.
所以AB＝|t1－t2|＝＝. 10分
2．(本小題滿分10分)(2017江蘇省無錫市高考數學一模)已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；
(2)求經過兩圓交點的直線的極坐標方程．
[解] (1)ρ＝2?ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因為ρ2－2ρcos＝2，2分
所以ρ2－2ρ＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
6分
(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1.
8分
化為極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin＝.10分
3、3．(本小題滿分10分)(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學期期中)設n∈N*，f (n)＝3n＋7n－2.
(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；
(2)證明：對任意正整數n，f (n)是8的倍數．
[解] (1)代入求出f (1)＝8，f (2)＝56，f (3)＝368. 2分
(2)證明：①當n＝1時，f (1)＝8是8的倍數，
命題成立．
②假設當n＝k時命題成立，即f (k)＝3k＋7k－2是8的倍數，
那么當n＝k＋1時，f (k＋1)＝3k＋1＋7k＋1－2＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)，
6分
因為7k＋1是偶數，所
4、以4(7k＋1)是8的倍數，
又由歸納假設知3(3k＋7k－2)是8的倍數，
所以f (k＋1)是8的倍數，
所以當n＝k＋1時，命題也成立．
根據①②知命題對任意n∈N*成立. 10分
4．(本小題滿分10分)利用二項式定理證明：當n∈N*時，32n＋2－8n－9能被64整除．
[解] 32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝8n＋1＋C8n＋C8n－1＋…＋C82＋C8＋1－8n－9＝82(8n－1＋C8n－2＋C8n－3＋…＋C)，6分
而8n－1＋C8n－2＋C8n－3＋…＋C∈N*，所以32n＋2－8n－9能被64整除.10分
5．(本小
5、題滿分10分)(2017江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數學二模)已知a，b，c為正實數，求證：＋＋≥a＋b＋c.
【導學號：56394086】
[證明] ∵a，b，c為正實數，
∴a＋≥2b，b＋≥2c，c＋≥2a， 4分
將上面三個式子相加得：
a＋b＋c＋＋＋≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c. 10分
6．(本小題滿分10分)(四川省涼山州2017屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測)已知函數f (x)＝|x＋1|－|x|＋a.
(1)若不等式f (x)≥0的解集為空集，求實數a的取值范圍；
(2)若方程f (x)＝x有三個不同的解，求實數a的取值范圍．
[解] (1)
6、令g(x)＝|x＋1|－|x|，則f (x)≥0的解集為空集?g(x)≥－a的解集為空集?g(x)＜－a恒成立，
g(x)＝|x＋1|－|x|＝，作出函數g(x)的圖象，由圖可知，函數g(x)的最大值為g(x)max＝1，所以－a＞1，即a＜－1. 5分
綜上，實數a的取值范圍為(－∞，－1)．
(2)在同一坐標系內作出函數g(x)＝|x＋1|－|x|圖象和y＝x的圖象如圖所示，由題意可知，把函數y＝g(x)的圖象向下平移1個單位以內(不包括1個單位)與y＝x的圖象始終有3個交點，從而－1＜a＜0. 10分
7．(本小題滿分10分)(2017江蘇省淮安市高考數學二模)如圖11－9，
7、已知△ABC內接于⊙O，連接AO并延長交⊙O于點D，∠ACB＝∠ADC.
求證：ADBC＝2ACCD.
圖11－9
[證明] ∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直徑，
∴AD垂直平分BC，設垂足為E(圖略)，
∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED，
∴△ACD∽△CED， 6分
∴＝，∴ADBC＝ACCD，
∴ADBC＝2ACCD. 10分
8．(本小題滿分10分)(2017江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數學二模)如圖11－10，直線DE切圓O于點D，直線EO交圓O于A，B兩點，DC⊥OB于點C，且DE＝2BE，求證：2OC＝3BC.
圖11－10
[證明] 連
8、接OD，設圓的半徑為R，BE＝x，則OD＝R，DE＝2BE＝2x，
Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2＝OCOE，∴R2＝OC(R＋x)，①
4分
∵直線DE切圓O于點D，∴DE2＝BEAE，
∴4x2＝x(2R＋x)，②，∴x＝， 8分
代入①，解得OC＝，
∴BC＝OB－OC＝，∴2OC＝3BC. 10分
9．(本小題滿分10分)(2017江蘇省泰州市高考數學一模)已知向量是矩陣A的屬于特征值－1的一個特征向量．在平面直角坐標系xOy中，點P(1,1)在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)镻′(3,3)，求矩陣A.
[解] 設A＝，
因為向量是矩陣A的屬于特征值－1的一個
9、特征向量，
所以＝(－1)＝.
所以 6分
因為點P(1,1)在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)镻′(3,3)，
所以＝.所以 8分
解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝. 10分
10．(本小題滿分10分)(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學習測試)
已知α＝為矩陣A＝屬于λ的一個特征向量，求實數a，λ的值及A2.
[解] 由條件可知＝λ，
∴解得a＝λ＝2. 6分
因此A＝，
所以A2＝＝. 10分
11．(本小題滿分10分)(2017江蘇省淮安市高考數學二模)某樂隊參加一戶外音樂節(jié)，準備從3首原創(chuàng)新曲和5首經典歌曲中隨機選擇4首進行演唱．
(1)求該樂隊至少
10、演唱1首原創(chuàng)新曲的概率；
(2)假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂隊的互動指數為a(a為常數)，演唱一首經典歌曲觀眾與樂隊的互動指數為2a，求觀眾與樂隊的互動指數之和X的概率分布及數學期望.
【導學號：56394087】
[解] (1)設“該樂隊至少演唱1首原創(chuàng)新曲”的事件為A，則P(A)＝1－P()＝1－＝. 4分
(2)由題意可得：X＝5a,6a,7a,8a.
P(X＝5a)＝＝＝，P(X＝6a)＝＝＝， 6分
P(X＝7a)＝＝＝，P(X＝8a)＝＝＝.
X
5a
6a
7a
8a
P
E(X)＝5a＋6a＋7a＋8a＝a. 10分
12．(本小題
11、滿分10分)(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學習測試)在公園游園活動中有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球和2個黑球，乙箱子里裝有1個白球和2個黑球，這些球除顏色外完全相同；每次游戲都從這兩個箱子里各隨機地摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．(每次游戲結束后將球放回原箱)
(1)求在一次游戲中摸出3個白球的概率；
(2)在兩次游戲中，記獲獎次數為X，求X的數學期望．
[解] (1)記“在一次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)．
則P(A3)＝＝.
故在一次游戲中摸出3個白球的概率為.4分
(2)獲獎的概率為P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝
12、＋＝.
X的所有可能取值為0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝＝. 8分
X的分布列為
X
0
1
2
P
故X的數學期望E(X)＝0＋1＋2＝. 10分
(或：∵X～B，∴E(X)＝2＝，同樣給分)
13．(本小題滿分10分)(2017江蘇省泰州市高考數學一模)如圖11－11，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點，Q為棱BB1上的點，且BQ＝λBB1(λ≠0)．
圖11－11
(1)若λ＝，求AP與AQ所成角的余弦值；
(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45，求實數λ的值．
13、[解] 以{，，}為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標系A－xyz.
(1)因為＝(1,2,2)，＝(2,0,1)，
所以cos〈，〉＝
＝＝.
所以AP與AQ所成角的余弦值為. 4分
(2)由題意可知，＝(0,0,2)，＝(2,0,2λ)．
設平面APQ的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令z＝－2，則x＝2λ，y＝2－λ.
所以n＝(2λ，2－λ，－2). 7分
又因為直線AA1與平面APQ所成角為45，
所以|cos〈n，〉|＝＝＝，
可得5λ2－4λ＝0，又因為λ≠0，所以λ＝. 10分
14．(本小題滿分10分)(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2
14、017屆高三上學期期中)如圖11－12，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M為PC的中點.
圖11－12
(1)求異面直線AP，BM所成角的余弦值；
(2)點N在線段AD上，且AN＝λ，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求λ的值．
[解] (1)因為PA⊥平面ABCD，且AB，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因為∠BAD＝90，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．
分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，
則由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得
A(
15、0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，
又因為M為PC的中點，所以M(1,1,2)．
所以＝(－1,1,2)，＝(0,0,4)，
所以cos〈，〉＝
＝＝，
所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為. 6分
(2)因為AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－4)，
設平面PBC的法向量為m＝(x，y，z)，
則即令x＝2，解得y＝0，z＝1，
所以m＝(2,0,1)是平面PBC的一個法向量. 8分
因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，
所以|cos〈，m
16、〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0,4]，
所以λ的值為1. 10分
15．(本小題滿分10分)(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學習測試)已知拋物線C的方程為y2＝2px(p＞0)，點R(1,2)在拋物線C上．
圖11－13
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點Q(1,1)作直線交拋物線C于不同于R的兩點A，B.若直線AR，BR分別交直線l：y＝2x＋2于M，N兩點，求線段MN最小時直線AB的方程．
[解] (1)將R(1,2)代入拋物線中，可得p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x.2分
(2)設AB所在直線方程為x＝m(y－1)＋1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)
17、，
與拋物線聯(lián)立
得：
y2－4my＋4(m－1)＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－1)．
設AR：y＝k1(x－1)＋2，
由得xM＝，
而k1＝＝＝，
可得xM＝－，同理xN＝－. 6分
所以|MN|＝|xM－xN|＝2，
令m－1＝t(t≠0)，則m＝t＋1，
所以|MN|＝|xM－xN|＝2≥，
此時m＝－1，AB所在直線方程為x＋y－2＝0. 10分
16．(本小題滿分10分)(2017江蘇省泰州市高考數學一模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線x2＝2py(p＞0)上的點M(m,1)到焦點F的距離為2，
(1)求拋物線的方程；
(2)如
18、圖11－14，點E是拋物線上異于原點的點，拋物線在點E處的切線與x軸相交于點P，直線PF與拋物線相交于A，B兩點，求△EAB面積的最小值．
【導學號：56394088】
圖11－14
[解] (1)拋物線x2＝2py(p＞0)的準線方程為y＝－，
因為M(m,1)，由拋物線定義，知MF＝1＋，
所以1＋＝2，即p＝2，
所以拋物線的方程為x2＝4y. 2分
(2)因為y＝x2，所以y′＝x.
設點E，t≠0，則拋物線在點E處的切線方程為y－＝t(x－t)．
令y＝0，則x＝，即點P.
因為P，F(xiàn)(0,1)，所以直線PF的方程為y＝－，即2x＋ty－t＝0.
則點E到直線PF的距離為d＝＝. 4分
聯(lián)立方程消元，得t2y2－(2t2＋16)y＋t2＝0.
因為Δ＝(2t2＋16)2－4t4＝64(t2＋4)＞0，
所以y1＝，
y2＝，
所以AB＝y(tǒng)1＋1＋y2＋1＝y(tǒng)1＋y2＋2＝＋2＝. 6分
所以△EAB的面積為S＝＝.
不妨設g(x)＝(x＞0)，則g′(x)＝(2x2－4)．
因為x∈(0，)時，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，)上單調遞減；x∈(，＋∞)上，g′(x)＞0，所以g(x)在(，＋∞)上單調遞增．
所以當x＝時，g(x)min＝＝6.
所以△EAB的面積的最小值為3. 10分
江蘇高考數學二輪復習練習：專題限時集訓11 附加題部分 Word版含答案
