高三數學第83練 推理與證明練習

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1、 第83練 推理與證明 訓練目標 (1)會應用合情推理、演繹推理進行判斷推理；(2)會用綜合法、分析法、反證法進行推理證明． 訓練題型 (1)推理過程的判定；(2)合情推理、演繹推理的應用；(3)證明方法的應用． 解題策略 (1)應用合情推理時，找準變化規(guī)律及問題實質，借助定義、性質、公式進行類比歸納；(2)用分析法證明時，要注意書寫格式，執(zhí)果索因逐步遞推；(3)用反證法證明時，對所要證明的結論的否定性假設要具有全面性，防止片面性. 一、選擇題 1．有一段“三段論”推理是這樣的： 對于可導函數f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函數f(x)的極值點，因為函數

2、f(x)＝x3在x＝0處的導數值f′(0)＝0，所以x＝0是函數f(x)＝x3的極值點．以上推理中(　　) A．小前提錯誤 B．大前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．結論正確 2．已知數列{an}為等差數列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，則am＋n＝.類比上述結論，對于等比數列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n等于(　　) A. B. C. D. 3．(20xx湖北優(yōu)質高中聯(lián)考)如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n>1，n∈N)個點，相應的圖案中總的點數記為an，則＋＋＋

3、…＋等于(　　) A. B. C. D. 4．(20xx銀川二模)將正整數排列如下圖： 1 2　3　4 5　6　7　8　9 10　11　12　13　14　15　16 … 則圖中數2 016出現在(　　) A．第44行第81列 B．第45行第81列 C．第44行第80列 D．第45行第80列 5．用反證法證明命題：若整系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數，下列假設中正確的是(　　) A．假設a，b，c都是偶數 B．假設a，b，c都不是偶數 C．假設a，b，c至多有一個是偶數 D．假設a，b，c至多有兩個是偶數

4、 6．(20xx湖南六校聯(lián)考)對于問題“已知關于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－1,2)，解關于x的不等式ax2－bx＋c>0”，給出如下一種解法： 由ax2＋bx＋c>0的解集為(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集為(－2,1)，即關于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集為(－2,1)． 思考上述解法，若關于x的不等式＋<0的解集為(－1，－)∪(，1)，則關于x的不等式＋<0的解集為(　　) A．(－3，－1)∪(1,2) B．(1,2) C．(－1,2) D．(－3,2) 7．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若存在正整數m，n(m

5、，使得Sm＝Sn，則Sm＋n＝0.類比上述結論，設正項等比數列{bn}的前n項積為Tn，若存在正整數m，n(m

6、述正確的為(　　) A．S2＝S＋S＋S B．S2＝＋＋ C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋ 二、填空題 9．設數列{an}的首項a1＝，前n項和為Sn，且滿足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)，則滿足<<的所有n的和為________． 10．(20xx武昌調研)如圖，在圓內畫1條線段，將圓分成2部分；畫2條相交線段，將圓分割成4部分；畫3條線段，將圓最多分割成7部分；畫4條線段，將圓最多分割成11部分．則 (1)在圓內畫5條線段，將圓最多分割成________部分； (2)在圓內畫n條線段，將圓最多分割成________部分． 11．(20xx開封聯(lián)考)如圖所示，由曲

7、線y＝x2，直線x＝a，x＝a＋1(a>0)及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于相應小矩形與大矩形的面積之間，即a2<∫a＋1ax2dx<(a＋1)2.運用類比推理，若對?n∈N*，＋＋…＋

8、六邊形，依此推斷： (1)第6件首飾上應有________顆珠寶； (2)前n(n∈N*)件首飾所用珠寶總顆數為________．(結果用n表示) 答案精析 1．B　[大前提：如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函數f(x)的極值點，錯誤．] 2．C　[觀察{an}的性質：am＋n＝，則聯(lián)想nb－ma對應等比數列{bn}中的， 而{an}中除以(n－m)對應等比數列中開(n－m)次方，故bm＋n＝.] 3．C　[每條邊有n個點，所以3條邊有3n個點，三角形的3個頂點重復計算了一次，所以減3個頂點，即an＝3n－3，那么＝＝＝－， 即＋＋＋…＋ ＝(－)＋(－)＋(－

9、)＋…＋(－)＝1－＝，故選C.] 4．D　[由題意可知第n行有2n－1個數，則前n行的數的個數為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因為442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 016<2 025，所以2 016在第45行，又第45行有245－1＝89個數，2 016－1 936＝80，故2 016在第45行第80列．故選D.] 5．B　[至少有一個的否定是一個也沒有，即a，b，c都不是偶數．] 6．A　[由關于x的不等式＋<0的解集為(－1，－)∪(，1)，得＋<0的解集為(－3，－1)∪(1,2)，即關于x的不等式＋<0的解集為(－3，－1)∪(1,2)．] 7．

10、B　[因為Tm＝Tn，所以bm＋1bm＋2…bn＝1， 從而bm＋1bn＝1， Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1bn＋m ＝(b1bn＋m)(b2bn＋m－1)…(bmbn＋1)(bm＋1bn)…＝1.] 8．A　[如圖，作OD⊥BC于點D，連接AD，由立體幾何知識知，AD⊥BC，從而S2＝(BCAD)2＝BC2AD2＝BC2(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)OA2＋BC2OD2＝(OBOA)2＋(OCOA)2＋(BCOD)2＝S＋S＋S.] 9．7 解析　由2an＋1＋Sn＝3，得2an＋Sn－1＝3(n≥2)，兩式相減，得2an＋1－2an＋

11、an＝0，化簡得2an＋1＝an(n≥2)，即＝(n≥2)，由已知求出a2＝，易得＝，所以數列{an}是首項為a1＝，公比為q＝的等比數列，所以Sn＝＝3[1－()n]，S2n＝3[1－()2n]， 代入<<，可得<()n<，解得n＝3或4，所以所有n的和為7. 10．(1)16　(2)1＋ 解析　(1)設在圓內畫n條線段將圓最多可分成an部分，則a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，所以a5＝a4＋5＝11＋5＝16，即在圓內畫5條線段，將圓最多分割成16部分． (2)因為an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，所以將上述式子累加得an

12、－a1＝2＋3＋…＋n，則an＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋，n≥2，顯然當n＝1時上式也成立，故在圓內畫n條線段將圓最多可分割成1＋部分． 11．ln 2 解析　令

13、a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45， ∵a2－a1＝41＋1，a3－a2＝42＋1， a4－a3＝43＋1，a5－a4＝44＋1， ∴猜想an－an－1＝4(n－1)＋1＝4n－3， ∴推斷a6＝a5＋45＋1＝66. (2)由(1)知an－an－1＝4n－3， 則an－1－an－2＝4(n－1)－3，…，a2－a1＝42－3， 以上各式相加得an－a1＝4(n＋n－1＋…＋2)－3(n－1) ＝－3(n－1) ＝2n2－n－1， ∴an＝2n2－n， 則a1＋a2＋…＋an＝2(12＋22＋…＋n2)－(1＋…＋n) ＝2－ ＝， ∴前n件首飾所用珠寶總顆數為，n∈N*.