2020版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義：第十章 第五節(jié) 古典概型與幾何概型 Word版含答案

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1、 第五節(jié)第五節(jié)古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型 1.古典概型古典概型 (1)古典概型的特征：古典概型的特征： 有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個(gè)不同的基本事件；有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個(gè)不同的基本事件；,等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的. 一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征有限性和等有限性和等可能性可能性. (2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：古典概型的概率計(jì)算的基本步驟： 判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是

2、否是等可能的，設(shè)出所求的事件為判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為 A； 分別計(jì)算基本事件的總數(shù)分別計(jì)算基本事件的總數(shù) n 和所求的事件和所求的事件 A 所包含的基本事件個(gè)數(shù)所包含的基本事件個(gè)數(shù) m； 利用古典概型的概率公式利用古典概型的概率公式 P(A)mn，求出事件，求出事件 A 的概率的概率. (3)頻率的計(jì)算頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同 名稱(chēng)名稱(chēng) 不同點(diǎn)不同點(diǎn) 相同點(diǎn)相同點(diǎn) 頻率計(jì)頻率計(jì) 算公式算公式 頻率計(jì)算中的頻率計(jì)算中的 m，n 均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值

3、逐漸趨近于概率值著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值 都計(jì)算了一個(gè)比值都計(jì)算了一個(gè)比值mn 古典概型的古典概型的 概率計(jì)算公式概率計(jì)算公式 mn是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，m，n 都不都不會(huì)變化會(huì)變化 2.幾何概型幾何概型 (1)概念： 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度概念： 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積面積或體積)成比例， 則稱(chēng)成比例， 則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型. (2)幾何概型的基本特點(diǎn)：幾何概型的基本特點(diǎn)： 試驗(yàn)中所有可試驗(yàn)中所有

4、可能出現(xiàn)的結(jié)果能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件基本事件)有無(wú)限多個(gè)；有無(wú)限多個(gè)； 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等. (3)計(jì)算公式：計(jì)算公式： P(A)構(gòu)成事件構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積面積或體積 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積面積或體積 . 幾何概型應(yīng)用中的關(guān)注點(diǎn)幾何概型應(yīng)用中的關(guān)注點(diǎn) 1 關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率. 2 確定基本事件時(shí)一定要選準(zhǔn)度量，注意基本事件的等可能性確定基本事件時(shí)一定要選準(zhǔn)

5、度量，注意基本事件的等可能性. 小題查驗(yàn)基礎(chǔ)小題查驗(yàn)基礎(chǔ) 一、判斷題一、判斷題(對(duì)的打?qū)Φ拇颉啊?，錯(cuò)的打，錯(cuò)的打“”“”) (1)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).( ) (2)幾何概幾何概型與古典概型中的基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，其基本事件個(gè)數(shù)都有型與古典概型中的基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，其基本事件個(gè)數(shù)都有限限.( ) (3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面兩個(gè)正面”“”“一正一反一正一反”“”“兩個(gè)反面兩個(gè)反面”，這三個(gè)事件是等可，這三個(gè)事件是等可能事件能事件.( ) (4)在古典概型中，如果事件在古

6、典概型中，如果事件 A 中基本事件構(gòu)成集合中基本事件構(gòu)成集合 A，所有的基本事件構(gòu)成集合，所有的基本事件構(gòu)成集合 I，則，則事件事件 A 的概率為的概率為card A card I .( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 二、選填題二、選填題 1.一枚硬幣連擲一枚硬幣連擲 2 次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為( ) A.23 B.14 C.13 D.12 解析：解析：選選 D 一枚硬幣連擲一枚硬幣連擲 2 次可能出現(xiàn)次可能出現(xiàn)(正，正正，正)、(反，反反，反)、(正，反正，反)、(反，正反，正)四種情四種情況，只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種，故況，只有一次出

7、現(xiàn)正面的情況有兩種，故 P2412. 2.某路公共汽車(chē)每某路公共汽車(chē)每 5 分鐘發(fā)車(chē)一次， 某乘客到乘車(chē)點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的， 則他候車(chē)時(shí)間不超分鐘發(fā)車(chē)一次， 某乘客到乘車(chē)點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的， 則他候車(chē)時(shí)間不超過(guò)過(guò) 2 分鐘的概率是分鐘的概率是( ) A.35 B.45 C.25 D.15 解析：解析：選選 C 試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為 5，所求事件的區(qū)域長(zhǎng)度為，所求事件的區(qū)域長(zhǎng)度為 2，故所求概，故所求概率為率為 P25. 3.已知四邊形已知四邊形 ABCD 為長(zhǎng)方形，為長(zhǎng)方形，AB2，BC1，O 為為 AB 的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形 ABCD 內(nèi)隨內(nèi)隨

8、機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到 O 的距離大于的距離大于 1 的概率為的概率為( ) A.4 B.14 C.8 D.18 解析：解析：選選 B 如圖，依題意可知所求概率為圖中陰影部分與長(zhǎng)方形如圖，依題意可知所求概率為圖中陰影部分與長(zhǎng)方形的面積比，即所求概率的面積比，即所求概率 PS陰影陰影S長(zhǎng)方長(zhǎng)方形形ABCD22214. 4.從從 1,2,3,4,5 中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為 5 的概率是的概率是_. 解析：解析：兩數(shù)之和等于兩數(shù)之和等于 5 有兩種情況有兩種情況(1,4)和和(2,3)，總的基本事件有，總的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1

9、,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共，共 10 種，故所求概率種，故所求概率 P21015. 答案：答案：15 5.袋中有形狀、大小都相同袋中有形狀、大小都相同的的 4 只球，其中只球，其中 1 只白球，只白球，1 只紅球，只紅球，2 只黃球只黃球.從中一次隨機(jī)從中一次隨機(jī)摸出摸出 2 只球，則這只球，則這 2 只球顏色不同的概率為只球顏色不同的概率為_(kāi). 解析：解析：P1C22C2411656. 答案：答案：56 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 古典概型古典概型師生共研過(guò)關(guān)師生共研過(guò)關(guān) 典例精析典例精析 (1)(2018 全國(guó)卷全國(guó)卷)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)

10、在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于每個(gè)大于 2 的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如，如 30723.在不超過(guò)在不超過(guò) 30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于 30 的概率是的概率是( ) A.112 B.114 C.115 D.118 (2)(2019 武漢調(diào)研武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為 a 和和 b，則方，則方程程 ax2bx10 有實(shí)

11、數(shù)解的概率是有實(shí)數(shù)解的概率是( ) A.736 B.12 C.1936 D.518 解析解析 (1)不超過(guò)不超過(guò) 30 的所有素?cái)?shù)為的所有素?cái)?shù)為 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共，共 10 個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有同的數(shù)，共有 C21045 種情況，而和為種情況，而和為 30 的有的有 723,1119,1317 這這 3 種情況，種情況，所以所求概所以所求概率率 P345115. (2)投擲骰子兩次， 所得的點(diǎn)數(shù)投擲骰子兩次， 所得的點(diǎn)數(shù) a 和和 b 滿(mǎn)足的關(guān)系為滿(mǎn)足的關(guān)系為 1a6，aN*，1b6，bN*，所以所以 a 和和 b 的組的組合有

12、合有 36 種種. 若方程若方程 ax2bx10 有實(shí)數(shù)解，有實(shí)數(shù)解， 則則 b24a0，所以，所以 b24a. 當(dāng)當(dāng) b1 時(shí)，沒(méi)有時(shí)，沒(méi)有 a 符合條件；當(dāng)符合條件；當(dāng) b2 時(shí)，時(shí)，a 可取可取 1；當(dāng)；當(dāng) b3 時(shí)，時(shí)，a 可取可取 1,2；當(dāng)；當(dāng) b4 時(shí)，時(shí)，a 可取可取 1,2,3,4；當(dāng)；當(dāng) b5 時(shí)，時(shí)，a 可取可取 1,2,3,4,5,6；當(dāng)；當(dāng) b6 時(shí)，時(shí)，a 可取可取 1,2,3,4,5,6. 滿(mǎn)足條件的組合有滿(mǎn)足條件的組合有 19 種，則方程種，則方程 ax2bx10 有實(shí)數(shù)解的概率有實(shí)數(shù)解的概率 P1936. 答案答案 (1)C (2)C 解題技法解題技法 1.古

13、典概型的概率求解步驟古典概型的概率求解步驟 (1)求出所有基本事件的個(gè)數(shù)求出所有基本事件的個(gè)數(shù) n. (2)求出事件求出事件 A 包含的所有基本事件的個(gè)數(shù)包含的所有基本事件的個(gè)數(shù) m. (3)代入公式代入公式 P(A)mn求解求解. 2.基本事件個(gè)數(shù)的確定方法基本事件個(gè)數(shù)的確定方法 (1)列舉法：此法適合于基本事件個(gè)數(shù)較少的古典概型列舉法：此法適合于基本事件個(gè)數(shù)較少的古典概型. (2)列表法：此法適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)，也可看成坐標(biāo)法列表法：此法適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)，也可看成坐標(biāo)法. (3)樹(shù)狀圖樹(shù)狀圖法：樹(shù)狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問(wèn)題及較復(fù)雜

14、問(wèn)題中法：樹(shù)狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問(wèn)題及較復(fù)雜問(wèn)題中基本事件數(shù)的探求基本事件數(shù)的探求. (4)運(yùn)用排列組合知識(shí)計(jì)算運(yùn)用排列組合知識(shí)計(jì)算. 過(guò)關(guān)訓(xùn)練過(guò)關(guān)訓(xùn)練 1.(2019 益陽(yáng)、湘潭調(diào)研益陽(yáng)、湘潭調(diào)研)已知已知 a2,0,1,2,3，b3,5，則函數(shù)，則函數(shù) f(x)(a22)exb 為減為減函數(shù)的概率是函數(shù)的概率是( ) A.310 B.35 C.25 D.15 解析：解析：選選 C 若函數(shù)若函數(shù) f(x)(a22)exb 為減函數(shù)，則為減函數(shù)，則 a220，又，又 a2,0,1,2,3，故故只有只有 a0，a1 滿(mǎn)足題意，又滿(mǎn)足題意，又 b3,5，所以函數(shù)，所以函數(shù)

15、f(x)(a22)exb 為減函數(shù)的概率是為減函數(shù)的概率是225225. 2.從分別標(biāo)有從分別標(biāo)有 1,2，9 的的 9 張卡片中不放回地隨機(jī)抽取張卡片中不放回地隨機(jī)抽取 2 次，每次抽取次，每次抽取 1 張，則抽到張，則抽到的的 2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.79 解析：解析：選選 C 由題意得，所求概率由題意得，所求概率 P5429859. 3.將將 A，B，C，D 這這 4 名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排，則名同學(xué)從左至右隨機(jī)地排成一排，則“A 與與 B 相鄰且相鄰且 A 與與 C 之間之間恰好有恰好有 1 名同

16、學(xué)名同學(xué)”的概率是的概率是( ) A.12 B.14 C.16 D.18 解析：解析：選選 B A，B，C，D 4 名同學(xué)排成一排有名同學(xué)排成一排有 A4424 種排法種排法.當(dāng)當(dāng) A，C 之間是之間是 B 時(shí)，有時(shí)，有224 種排法，當(dāng)種排法，當(dāng) A，C 之間是之間是 D 時(shí)，有時(shí)，有 2 種排法，所以所求概率種排法，所以所求概率 P422414. 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 幾何概型幾何概型全析考法過(guò)關(guān)全析考法過(guò)關(guān) 考法全析考法全析 類(lèi)型類(lèi)型(一一) 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 例例 1 (2019 濮陽(yáng)模擬濮陽(yáng)模擬)在在6,9內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù) m，設(shè)，設(shè) f(x)x2mxm，

17、則函數(shù)，則函數(shù) f(x)的圖象與的圖象與 x 軸有公共點(diǎn)的概率等于軸有公共點(diǎn)的概率等于( ) A.215 B.715 C.35 D.1115 解析解析 f(x)x2mxm 的圖象與的圖象與 x 軸有公共點(diǎn)，軸有公共點(diǎn)，m24m0，m4 或或m0，在在6,9內(nèi)取一個(gè)實(shí)數(shù)內(nèi)取一個(gè)實(shí)數(shù) m，函數(shù)，函數(shù) f(x)的圖象與的圖象與 x 軸有公共點(diǎn)的概率軸有公共點(diǎn)的概率 P4 6 90 9 6 1115，故選，故選 D. 答案答案 D 類(lèi)型類(lèi)型(二二) 與面積有關(guān)的幾何概型與面積有關(guān)的幾何概型 例例 2 (1)(2018 濰坊模擬濰坊模擬)如圖， 六邊形如圖， 六邊形 ABCDEF 是一個(gè)正六邊形，是一個(gè)

18、正六邊形，若在正六邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在圖中陰影部分的概率是若在正六邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在圖中陰影部分的概率是( ) A.14 B.13 C.23 D.34 (2)(2019 洛陽(yáng)聯(lián)考洛陽(yáng)聯(lián)考)如圖，圓如圖，圓 O：x2y22內(nèi)的正弦曲線(xiàn)內(nèi)的正弦曲線(xiàn) ysin x 與與x 軸圍成的區(qū)域記為軸圍成的區(qū)域記為 M(圖中陰影部分圖中陰影部分)，隨機(jī)往圓，隨機(jī)往圓 O 內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)內(nèi)投一個(gè)點(diǎn) A，則點(diǎn)，則點(diǎn)A 落在區(qū)域落在區(qū)域 M 內(nèi)的概率是內(nèi)的概率是( ) A.42 B.43 C.22 D.23 解析解析 (1)設(shè)正六邊形的中心為點(diǎn)設(shè)正六邊形的中心為點(diǎn) O，BD 與與 AC 交于點(diǎn)交于點(diǎn)

19、G，BC1，則，則 BGCG，BGC120 ，在，在BCG 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 1BG2BG22BG2cos 120 ，得，得 BG33，所以，所以 SBCG 12BGBGsin 120 12333332312， 因?yàn)椋?因?yàn)镾六邊形六邊形ABCDEFSBOC61211sin 60 63 32，所以該點(diǎn)恰好在圖中陰影部分的概率，所以該點(diǎn)恰好在圖中陰影部分的概率 P16SBCGS六邊形六邊形ABCDEF23. (2)由題意知圓由題意知圓 O 的面積為的面積為 3， 正弦曲線(xiàn)， 正弦曲線(xiàn) ysin x， x， 與與 x 軸圍成的區(qū)域記為軸圍成的區(qū)域記為 M，根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性得區(qū)域根據(jù)

20、圖形的對(duì)稱(chēng)性得區(qū)域 M 的面積的面積 S20 sin xdx2cos x|0 4，由幾何概型的概率計(jì)，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得，隨機(jī)往圓算公式可得，隨機(jī)往圓 O 內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)內(nèi)投一個(gè)點(diǎn) A，則點(diǎn)，則點(diǎn) A 落在區(qū)域落在區(qū)域 M 內(nèi)的概率內(nèi)的概率 P43. 答案答案 (1)C (2)B 類(lèi)型類(lèi)型(三三) 與體積有關(guān)的幾何概型與體積有關(guān)的幾何概型 例例 3 已知在四棱錐已知在四棱錐 P- ABCD 中，中，PA底面底面 ABCD，底面，底面 ABCD 是正方形，是正方形，PAAB2， 現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)， 現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O， 則四棱錐， 則四棱錐O - ABCD的體積

21、不小于的體積不小于23的概率為的概率為_(kāi). 解析解析 當(dāng)四棱錐當(dāng)四棱錐 O - ABCD 的體積為的體積為23時(shí)，設(shè)時(shí)，設(shè) O 到平面到平面 ABCD 的距離的距離為為 h，則，則1322h23，解得，解得 h12. 如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐 P- ABCD 內(nèi)作平面內(nèi)作平面 EFGH 平行于底面平行于底面 ABCD，且，且平面平面 EFGH 與底面與底面 ABCD 的距離為的距離為12. 因?yàn)橐驗(yàn)?PA底面底面 ABCD，且，且 PA2，所以，所以PHPA34， 又四棱錐又四棱錐 P- ABCD 與四棱錐與四棱錐 P- EFGH 相似，相似， 所以四棱錐所以四棱錐 O - ABC

22、D 的體積不小于的體積不小于23的概率的概率 PV四棱錐四棱錐P- EFGHV四棱錐四棱錐P- ABCD PHPA3 3432764. 答案答案 2764 類(lèi)型類(lèi)型(四四) 與角度有關(guān)的幾何概型與角度有關(guān)的幾何概型 例例 4 如圖，四邊形如圖，四邊形 ABCD 為矩形，為矩形，AB 3，BC1，以，以 A 為為圓圓心，心，1 為半徑作四分之一個(gè)圓弧為半徑作四分之一個(gè)圓弧，在，在DAB 內(nèi)任作射線(xiàn)內(nèi)任作射線(xiàn) AP，則射，則射線(xiàn)線(xiàn)AP 與線(xiàn)段與線(xiàn)段 BC 有公共點(diǎn)的概率為有公共點(diǎn)的概率為_(kāi). 解析解析 連接連接 AC，如圖，如圖， 因?yàn)橐驗(yàn)?tanCABBCAB33， 所以所以CAB6，滿(mǎn)足條件的

23、事件是直線(xiàn)，滿(mǎn)足條件的事件是直線(xiàn) AP 在在CAB 內(nèi)，且內(nèi)，且 AP 與與 AC 相交時(shí)，即直線(xiàn)相交時(shí)，即直線(xiàn)AP 與線(xiàn)段與線(xiàn)段 BC 有公共點(diǎn)，所以射線(xiàn)有公共點(diǎn)，所以射線(xiàn) AP 與線(xiàn)段與線(xiàn)段 BC 有公共點(diǎn)的概率有公共點(diǎn)的概率 PCABDAB6213. 答案答案 13 規(guī)律探求規(guī)律探求 看看 個(gè)個(gè) 性性 類(lèi)型類(lèi)型(一一)與與類(lèi)型類(lèi)型(四四)分別講的是與長(zhǎng)度有關(guān)和與角度有關(guān)的幾何概型分別講的是與長(zhǎng)度有關(guān)和與角度有關(guān)的幾何概型. 要特別注意要特別注意“長(zhǎng)度型長(zhǎng)度型”與與“角度型角度型”的不同的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度長(zhǎng)度或角度). 類(lèi)型類(lèi)型( (二

24、二) )是與面積有關(guān)的幾何概型是與面積有關(guān)的幾何概型. . 求求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. 類(lèi)型類(lèi)型( (三三) )是與體積有關(guān)的幾何概型是與體積有關(guān)的幾何概型. . 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題， 關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題， 關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間總空間)以及事件的體積以及事件的體積(事事件空間件空

25、間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的問(wèn)題也可利用其對(duì)立事件求解，對(duì)于某些較復(fù)雜的問(wèn)題也可利用其對(duì)立事件求解 找找 共共 性性 建立相應(yīng)的幾何概型，將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并建立相應(yīng)的幾何概型，將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量加以度量. (1)若一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，則只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可；若一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，則只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可； (2)若一若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這兩個(gè)變量組成的有序?qū)崝?shù)對(duì)個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這兩個(gè)變量組成的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的

26、基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系即可建立與面積有關(guān)的幾何概型；來(lái)表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系即可建立與面積有關(guān)的幾何概型； (3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型 過(guò)關(guān)訓(xùn)練過(guò)關(guān)訓(xùn)練 1.(2019 豫東名校聯(lián)考豫東名校聯(lián)考)一個(gè)多面體的直觀(guān)圖和三視圖如圖所示，點(diǎn)一個(gè)多面體的直觀(guān)圖和三視圖如圖所示，點(diǎn) M 是是AB 的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體的中點(diǎn)，一只蝴蝶

27、在幾何體 ADF- BCE 內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體內(nèi)自由飛翔，則它飛入幾何體F- AMCD 內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為( ) A.34 B.23 C.13 D.12 解析：解析：選選 D 由題圖可知由題圖可知 VF- AMCD13S四邊形四邊形AMCDDF14a3，VADF- BCE12a3， 所以它飛入幾何體所以它飛入幾何體 F- AMCD 內(nèi)的概率內(nèi)的概率 P14a312a312. 2.在區(qū)間在區(qū)間0，上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x，則事件，則事件“sin xcos x22”發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為_(kāi). 解析：解析：由題意可得由題意可得 sin xcos x22，0 x， 即即 sin x

28、412，0 x，解得解得 0 x712， 故所求的概率為故所求的概率為712712. 答案：答案：712 3.(2018 唐山模擬唐山模擬)向圓向圓(x2)2(y 3)24 內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在 x 軸下方的概軸下方的概率為率為_(kāi). 解析：解析：如圖，連接如圖，連接 CA，CB，依題意，圓心，依題意，圓心 C 到到 x 軸的距離為軸的距離為 3，所，所以弦以弦 AB 的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 2.又圓的半徑為又圓的半徑為 2，所以弓形，所以弓形 ADB 的面積為的面積為12232122 323 3，所以向圓，所以向圓(x2)2(y 3)24 內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在點(diǎn)落在 x 軸下方的概率軸下方的概率 P1634. 答案：答案：1634