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1、第12章 重積分
內容提要
（一）二重積分概念和性質
1．二重積分定義：設二元函數定義在有界閉區(qū)域上。將任意劃分成除公共邊界外沒有其它公共部分的個子區(qū)域（），在每個中任取一點（），作和式。令表示各子區(qū)域直徑的最大值，若極限存在，且極限值和區(qū)域的分割方式以及各子區(qū)域中點的取法無關，則稱函數在區(qū)域上可積，并稱此極限為在區(qū)域上的二重積分，記作，即
其中，稱為被積函數，為被積表達式，為面積元素，、是積分變量，是積分區(qū)域，并稱為積分和式。
2．二重積分的幾何意義：設在區(qū)域上連續(xù)，當時，二重積分表示以曲面為頂，底面區(qū)域是的曲頂柱體的體積。
3．性質
（1
2、）線性性質
若，在上可積，和為任意常數，則在上可積，且
。
（2）積分區(qū)域可加性質
若，且和除邊界外沒有公共部分，則在上可積的充要條件是在和上都可積，且
。
（3）不等式性質
設，在上可積，則
（i）若，，則
，
特別有 。
（ii）若，是的面積，則有
。
（4）積分中值定理
設為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數，則存在，使得
，
其中是的面積。
（5）對稱區(qū)域上奇偶函數的積分性質
設在有界閉區(qū)域上可積，
（i）若關于軸對稱，則
，
其中。
（ii）若關于軸對稱，則
，
其中。
（二）二重積分的計算
1．利用直角坐標系計算
3、二重積分
設在平面有界閉區(qū)域上連續(xù)：
（i）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是：穿過內與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點，稱為型區(qū)域。則
。
（ii）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是：穿過內與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點，稱為型區(qū)域。則
。
如果區(qū)域不滿足以上條件，可以將區(qū)域分成若干個部分區(qū)域，使每個部分區(qū)域滿足以上條件，再利用積分關于區(qū)域的可加性來計算。
2．利用極坐標系計算二重積分
極坐標與直角坐標的關系為，極坐標系中的面積元素為。在極坐標系下，二重積分可變?yōu)?
（i）極點在區(qū)域外。區(qū)域在極坐標下可表示為
，
其中函數、在區(qū)間上連續(xù)，則
（ii）極點在區(qū)
4、域邊界上。區(qū)域在極坐標下可表示為
，
其中函數在區(qū)間上連續(xù)，則
（iii）極點在區(qū)域內。區(qū)域在極坐標下可表示為
，
其中在區(qū)間上連續(xù)，從而有
（三）二重積分的應用
1．曲面面積：設曲面是由方程給出，在平面上的投影區(qū)域為，且函數在上有連續(xù)的偏導數。則曲面的面積為
2．物理應用：設平面薄片在平面上所占的區(qū)域為，其面密度為。
（1） 薄片質量：。
（2） 一階矩：薄片關于、軸的一階矩、分別為
，
（3） 薄片質心：，。
（4） 薄片關于、軸和原點的轉動慣量分別為：
，
（四）三重積分的定義
設為空間閉區(qū)域上的有界函數，將任意分成個子域，以表示第個子域的
5、體積。在每一個子域上任取一點，作和式，如果當所有子域直徑中的最大值趨于零時，這和式的極限存在，則稱此極限值為函數在區(qū)域上的三重積分，記作，即
(五) 三重積分的性質
（1）線性性質
，其中在上可積，為常數。
（2）分域性質
，
其中在上可積，且無公共內點。
（3）若在上可積且，則有
（4）估值公式
設在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數，其最大值為，最小值，則
上式中表示閉區(qū)域的體積。
（5）中值定理
設在有界連通閉區(qū)域上的連續(xù)函數，則，使
（六）三重積分的計算
（1）在直角坐標系中的計算方法
（a）先單后重法
若先對積分，則將積分區(qū)域向平面投影，記投影區(qū)域為，
6、可表示為，則
類似可以先對y積分或先對x積分。
（b）先重后單法
將積分區(qū)域向子軸投影得，再用垂直于軸的平面去截積分區(qū)域，得，則有
（2）在柱面坐標系中的算法
設
若，則
（3）在球坐標系中的方法
設，若
則一
（七）三重積分的應用
（1）體積
（2）物體的質量
若物體所占空間區(qū)域為，密度函數為，則質量
（3）質心坐標
（4）轉動慣量
復習指導：
第12章 重積分
學習指導
1． 掌握二重積分的概念。
2． 會用聯立不等式表示平面區(qū)域。
3． 熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算。能按照積分區(qū)域的特征將二重
7、積分轉化為二次積分，也能由二次積分的積分限確定二重積分的積分區(qū)域，并進一步變換二次積分的次序。
4． 會將直角坐標系中簡單曲線的方程改寫為極坐標系下的方程，會確定極坐標系中積分區(qū)域的參數變化范圍，會在極坐標系下計算簡單區(qū)域的二重積分。
5． 掌握二重積分的幾何意義，能用二重積分計算平面區(qū)域的面積和空間中簡單立體的體積。
6． 會用二重積分計算質量、質心、一階矩和轉動慣量等。
7． 掌握第一型曲面積分的概念，會確定曲面在坐標平面上的投影區(qū)域，會計算簡單曲面上的第一型曲面積分。
8．對三重積分可以理解為密度函數為的所占的區(qū)域為的物體的質量。理解這一點對三重積分的許多性質的理解有極大的幫助
8、。
還應將三重積分和以前各類積分比較，一方面可以加強理解，另一方面也使同學不易忘記和混淆。
三重積分
變密度三維空間立體的質量
定積分dx
變密度一維直剛絲的質量
第一型曲線積分
變密度彎曲剛絲的質量
二重積分
變密度二維平面薄片的質量
第一型曲面積分
變密度空間曲面薄片的質量
9．對稱性
當積分區(qū)域關于面對稱時，若被積函數關于為偶函數，即
，則
其中為在面之上方的部分
若被積函數關于為奇函數, ，即，則
當關于其他坐標面對稱時有類似結論。
10．各類坐標系的選擇
（1）當積分區(qū)域是圓柱形或圓錐形區(qū)域，或在某坐標面上的投影是圓域，被積函數具有的形式，常采用柱坐標系。
（2）當積分區(qū)域是與球相關的區(qū)域，而被積函數具有的形式時，常采用球坐標。
（3）其他如平面或拋物面構成的區(qū)域，可選用直角坐標系。
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華理高數全部復習資料之重積分
