華理高數全部復習資料之數列及無窮級數

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1、第8章 數列與無窮級數 （一） 數列 1． 數列極限的定義 若>0，正整數，使得當時成立<,則稱常數是數列的極限，或稱數列收斂于，記為。否則稱數列發(fā)散。 2． 數列極限的運算法則 若，，c是常數，則 ； ； ； 。 3． 數列極限的性質 (1)若>0則，當時成立>0；，則。 (2) 收斂數列是有界數列。 4．數列極限的存在性準則 (1) 夾逼準則（夾逼定理）: （2）單調有界準則（數列的單調有界收斂定理）: 單調有界數列必有極限。 5． 數列極限與函數極限的聯系 對于數列，若存在定義域包含的函數，使，且，且。 6． 數列與數列的關系

2、 （1）若，是的一個子數列，則。 （2）若，則。 （二）無窮級數的基本概念 1．級數斂散性的定義 　稱為級數的前項部分和，而稱數列為級數的部分和數列。 　若級數的部分和數列收斂，即，則稱級數收斂，稱s為該級數的和，記為，同時稱為級數的余和。 　若級數的部分和數列發(fā)散，則稱級數發(fā)散。 2．級數的基本性質 （１）若，是常數，則。 （2）若=s，，則。 （3）若收斂，則也收斂，其中任一正整數；反之亦成立。 （4）收斂級數添加括弧后仍收斂于原來的和。 （5）級數收斂的必要條件：若收斂，則。 （三）數項級數 1．正項級數 （1）正項級數收斂的充要條件是其部分和

3、數列有界。 （2）正項級數的比較判別法及其極限形式 設，（１）若收斂，則收斂；（２）若發(fā)散，則發(fā)散。 設與均是正項級數，若，則與具有相同的斂散性。 （3）正項級數的積分判別法 對于正項級數，若存在單調減少的連續(xù)函數，使得，則級數與廣義積分具有相同的斂散性。 （4）正項級數比值判別法的極限形式 設為正項級數，且, 則 （a）<1時，級數收斂； （b）當>1（包含）時，級數收斂； （c）當時，本判別法失效。 （5）正項級數根值判別法的極限形式 設為正項級數，且,　則 （a）當<1時，級數收斂；

4、 (b) 當>1（包含）時，級數發(fā)散； ( c) 當時，本判別法失效。 2．交錯級數的萊布尼茲判別法 若正數列｛｝單調減少，且, 則交錯級數（及）收斂，且余和。 3.　絕對收斂與條件收斂 若收斂，則稱絕對收斂； 若發(fā)散，而收斂，則稱條件收斂。 絕對收斂級數必收斂。 絕對收斂級數的任一更序級數仍絕對收斂于原級數的和。 （四）冪級數 1．冪級數的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域 （1）阿貝爾定理 若冪級數在某點(0)處收斂，則在區(qū)間（）內的任一點處均絕對收斂； 若冪級數在某點處發(fā)散，則在

5、滿足的任一點處均發(fā)散。 （2）收斂半徑的定義 若冪級數不是僅在點x=0處收斂，也不是在（）內的任一點處均收斂，則存在正數r，使當時，收斂；而當時，發(fā)散，稱此正數稱為冪級數的收斂半徑。當僅在點=0處收斂時，定義收斂半徑=0; 當在（）上都收斂時，定義收斂半徑=+。 (3) 　收斂半徑的計算 設冪級數滿足,（這里的是某個正整數）,且，則?。╝）當L>0時，=; 　　(b) 當L=0時，= +; 　 　(c) 當L= +時，=0。 （４）收斂區(qū)間與收斂域 　　當冪級數的收斂半徑r>0時，稱（）是它的收斂區(qū)間；當判定在=處的斂散性后，可確定其收斂域。

6、2．冪級數的運算 （1）代數運算 設　　　，收斂域為，收斂半徑>０， 　　　，收斂域，收斂半徑>０， 則 　a) 　　　　　　　　　　　　　　＝，收斂域為； b) 　 　　　　　　　　　　　　　　 ＝，收斂半徑 （這里兩個冪級數的乘積是柯西乘積）。 （2）、分析運算 設，收斂域，收斂半徑，則 a) 和函數在上連續(xù)； b) 和函數在內可導且可逐項求導： 　　　　 ； ?。悖┖秃瘮翟趦瓤煞e，且可逐項積分： 　　　　　==，； 3． 冪級數的展開 （1）函數的泰勒級數 設函數f

7、(x)在點x的某個鄰域內有任意階導數，則稱冪級數 　　　=++… 為f(x)在點x的泰勒級數。而稱 　　　　　=++… 為f(x)的麥克勞林級數（=0時的泰勒級數）。 （2）函數的冪級數展開（間接展開法） 利用五個初等函數的麥克勞林級數展開式，通過冪級數的代數運算，分析運算， 變量代換等手段，求給定函數的冪級數展開式。 復習指導： 第8章 數列與無窮級數 （一）、數列 計算數列的極限，通?？衫么鷶岛愕茸冃巍盗袠O限的運算法則和利用函數極限的方法。這里必須注意的是：由于數列是定義域為離散點集的函數，故不能直接使用洛必達法則，如需使用此法則，必須先化成具有連續(xù)變量的函數

8、，再利用函數極限計算數列極限。 　　假定數列由遞推公式定義，則一般可考慮利用數列的單調有界收斂定理。 　　如果數列的通項是由n個項的和構成，通?？煽紤]利用夾逼定理或定積分的定義，也可以考慮先將和求出來，再求極限。 （二）、無窮級數的基本概念 1、級數斂散性的定義 　　每個級數涉及到兩個數列：一是由其項構成的數列｛u｝，二是由其部分和構成的數列｛s｝。級數的斂散性是用｛s｝的斂散性定義的。 　　一般，即使級數收斂，要求其和也是很困難的。但只要級數收斂，我們就可以用部分和近似表示它的和，其誤差為。故我們首先關心的是判斷級數的斂散性。 ２、級數的基本性質 （１）、在級數的每一項上同乘

9、以一不為零的常數，級數的斂散性不變。 （２）、收斂級數可以逐項相加。而且，若收斂，發(fā)散，則必有發(fā)散。 （３）、在級數的前面添上或去掉有限項，不影響級數的斂散性。 （４）、收斂級數可以加括弧，即滿足加法的結合律。若加括弧后的級數發(fā)散，則原級數發(fā)散。 （５）、＝０是級數收斂的必要條件，但不是充分條件。因此由　０可推得級數發(fā)散。 　　若需證明數列{ }收斂于零，也可考慮以下方法：證明級數收斂，再利用級數收斂的必要條件得{ }收斂于零。 （三）、數項級數 １、正項級數 （１）、首先得注意多種正項級數判斂法使用的前提，就是必須是正項級數。 （２）、一般，對于通項含有階乘、指數函數、冪指

10、函數等因式的正項級數，可優(yōu)先考慮利用比值判別法；對于通項含有指數函數、冪指函數等因式，但不含階乘因式的正項級數，可考慮利用根值判別法；以n的冪（整數冪或分數冪）有理式為通項的正項級數，因為n時，通項關于無窮小的階數易觀察而得，應優(yōu)先考慮與p級數比較，（利用比較判別法或其極限形式）。 （３）、比較判別法的比較對象，一般可取等比級數和p級數，故下列結論應牢記。 等比級數當<1時，收斂于，當 1時發(fā)散。 P級數，當p>１時收斂，當p１時發(fā)散。 ２、交錯級數的萊布尼茲判別法 　　這里需指出，與其他的判別法一樣，萊布尼茲判別法也僅是充分條件并不必要。 對于萊布尼茲型級數，其“截斷誤差”有估

11、計式 ３、絕對收斂與條件收斂 （１）、判斷變號級數的斂散性，是指判斷其絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。 （２）、若發(fā)散，且此結論是由正項級數的比值或根值判別法而得，則必有，因而立即可得 發(fā)散。 （四）、冪級數 1、冪級數的收斂半徑，收斂區(qū)間和收斂域 （1）、冪級數的條件收斂點必是其收斂域的端點。 （2）、對于“缺項”的冪級數，不能直接利用公式求收斂半徑，我們可以將任意取定為一常數，再利用正項級數的比值或根值判別法來確定其收斂半徑。 2、冪級數的運算 利用冪級數逐項微分或逐項積分的運算，可能會改變其收斂區(qū)間端點上的斂散性。 3．冪級數的展開 通常利用間接法展開。這里首先需要注意

12、的是基點，如果是將函數在點處展開為泰勒級數，是指將表達成 的形式。一般，對數函數可利用的麥克勞林級數，指數函數利用的麥克勞林級數等等，又，反三角函數或變限積分函數常常 先求導再展開。 若在展開過程中，利用了冪級數的乘法，逐項微分和逐項積分的運算，則收斂區(qū)間端點上的斂散性需重新判斷。 求所得冪級數的收斂域是函數的冪級數展開的必要步驟之一，千萬不要遺漏。 4．求冪級數的和函數與收斂數項級數的和 若在冪級數的項中沒出現階乘記號，通常利用冪級數的運算，將其化為等比級數，利用等比級數收斂性的結論求冪級數在收斂域上的和函數。若在冪級數的項中出現階乘記號，則利用 、sinx、cosx的麥克勞林級數展開式，通過冪級數的運算，求其在收斂域上的和函數。 求收斂數項級數的和，可以利用級數斂散性的定義，即計算。也可構造冪級數，使收斂的數項級數成為冪級數在其收斂域內某點處的值，通過計算冪級數在收斂域上的和函數達到目的。 9 / 9文檔可自由編輯打印