泰勒公式及其應(yīng)用 2

《泰勒公式及其應(yīng)用 2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《泰勒公式及其應(yīng)用 2（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 重慶三峽學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 題目：泰勒公式及其應(yīng)用 院 系 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類） 年 級 2009級 學(xué)生姓名 XXX 學(xué)生學(xué)號 XXX 指導(dǎo)教師 XXX 完成畢業(yè)設(shè)計（論文）時間 2013 年 5 月 目 錄 摘要 I Abstract II 引言 1 第一章 泰

2、勒公式的意義 2 第二章 泰勒公式的定義 3 2.1 帶有佩亞諾型余項的泰勒公式 3 2.2 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式 3 第三章 泰勒公式的應(yīng)用 5 3.1 利用泰勒公式進(jìn)行近似計算 5 3.2 利用泰勒公式求極限 7 3.3 利用泰勒公式求曲線的漸近線方程 8 3.4 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值 10 3.5 利用泰勒公式判斷級數(shù)和廣義積分的斂散性 11 3.5.1 判斷級數(shù)的斂散性 11 3.5.2 判斷廣義積分的斂散性 12 3.6 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值 13 3.7 利用泰勒公式證明不等式 14 3.8

3、泰勒公式在函數(shù)方程中的應(yīng)用 17 第四章 總結(jié) 19 致謝 19 參考文獻(xiàn) 19 泰勒公式及其應(yīng)用 XXX （XXX數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2009級 XXX XXX） 摘要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分.本文論述了泰勒公式的基本內(nèi)容,并著重介紹了泰勒公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上的一些應(yīng)用：利用泰勒公式作近似計算、求極限、判斷函數(shù)的極值、證明不等式和求曲線的漸近線方程；除此外,還可用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值、判斷級數(shù)和廣義積分?jǐn)可⑿?以及在函數(shù)方程中的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞：泰勒公式；佩亞諾余項；拉格朗日余項；應(yīng)用

4、 Taylor’s formula and its application XXX (Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics, School of Mathematics and Statistics, XXX, XXX, Chongqing XXX ) Abstract：Taylor’s formula is an important knowledge in the mathematical analysis.This p

5、aper discusses some basic contents about the Taylor’s formula.And emphatically introduces the applications of Taylor’s formula in mathematics: we can use the Taylor’s formula to calculate approximation, solve the limit,judge function extremum,prove inequality and solve asymptote equation of curve.In

6、 addition, Taylor’s formula still can be used to solve the value of higher order derivative in some point , judge the convergence and divergence of progression and generalized integral,as well as its application of functional equations. Keywords：Taylor’s formula;Peano’s remainder;Lagrange’s remai

7、nder;Application I 2013屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范類）專業(yè)畢業(yè)設(shè)計（論文） 引言 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析和微分學(xué)中的一個非常重要的公式,它將一些復(fù)雜的函數(shù)近似的表示為簡單的多項式函數(shù),這種化繁為簡的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力工具.18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒（Brook Taylor）,于1717年,他以泰勒定理求解了數(shù)值方程.泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》,書內(nèi)陳述出他已于1712年7月給其老師梅欽（數(shù)學(xué)家 、天文學(xué)家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理.泰勒公式起源于

8、牛頓插值的有限差分法,1772年,拉格朗日強調(diào)了此公式之重要性,而且稱之為微分學(xué)基本定理,但泰勒于證明當(dāng)中并沒有考慮級數(shù)的收斂性,因而使證明不嚴(yán)謹(jǐn),這工作直至十九世紀(jì)二十年代才由柯西完成. 泰勒公式的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具,集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓,在近似計算方面有著得天獨厚的優(yōu)勢,它建立了函數(shù)的增量、自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù),這種“化繁為簡”的功能使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力工具.所以我們可以使用泰勒公式,來很容易地解決一些問題,如證明不等式,判斷收斂性以及求極限問題等.本文主要介

9、紹泰勒公式及其在各種問題中的具體應(yīng)用,從而使我們更加認(rèn)識到泰勒公式的重要性. 雖然泰勒公式應(yīng)用到各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域很多,但同樣也還有很多方面學(xué)者很少提及,因此在泰勒公式及其在解題中的應(yīng)用方面我們有研究的必要,并且有著相當(dāng)大的空間. 第一章 泰勒公式的意義 泰勒公式的意義是,用一個次多項式來逼近函數(shù).而多項式具有形式簡單,易于計算等優(yōu)點. 泰勒公式由的次泰勒多項式和余項組成,我們來詳細(xì)討論它們. 當(dāng)時,有 是的曲線在點處

10、的切線(方程),稱為曲線在點處的一次密切,顯然,切線與曲線的差異是較大的,只是曲線的近似. 當(dāng)時,有 是曲線在點處的“二次切線”,也稱曲線在點處的二次密切.可以看出,二次切線與曲線的接近程度比切線要好.當(dāng)次數(shù)越來越高時,接近程度越來越密切,近似程度也越來越高. 第二章 泰勒公式的定義 泰勒公式的余項分為兩類,一類是定性的,一類是定量的,它們的本質(zhì)相同,但性質(zhì)各異.定性的余項如佩亞諾型余項,僅表示余項是比（當(dāng)時）高階的無窮小.如,表示當(dāng)時,用近似表示,誤差（余項）是比高階的無窮小.定量的余項如拉格朗日型余項（也可以寫成）、柯西

11、余項（如在某些函數(shù)的冪級數(shù)展開時用）.定量的余項一般用于函數(shù)值的計算與函數(shù)形態(tài)的研究. 2.1 帶有佩亞諾型余項的泰勒公式 定理1 若函數(shù)在點的某鄰域存在直至階導(dǎo)數(shù),則對此鄰域內(nèi)的點有 稱為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式,其中,稱佩亞諾余項. 當(dāng)時, 稱為帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式. 2.2 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式 定理2 若在[]上連續(xù),在內(nèi)存在,則,在與之間,使得

12、 稱為帶有拉格朗日型余項的泰勒公式,其中,稱為拉格朗日型余項. 注意到當(dāng)時,有 （在與之間） 此式即為拉格朗日中值公式,所以,泰勒中值定理可以看作是拉格朗日中值定理的推廣. 當(dāng)時,在與之間,可令,則 稱為帶拉格朗日余項的麥克勞林公式. 第三章 泰勒公式的應(yīng)用 3.1 利用泰勒公式進(jìn)行近似計算

13、 當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時,即只能求出近似值時,泰勒公式是解決這種問題的一個好方法,它既可以進(jìn)行一些數(shù)值的近似計算,又可以得到函數(shù)的近似計算式. 利用的帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式得到函數(shù)的近似計算式為 其誤差是. 下面列舉幾個例子,說明其具體做法. 例1 計算準(zhǔn)確到. 解 利用 （） 當(dāng)時,有 故,顯然當(dāng)=12時,可得. 例2 計算的值,使誤差不超過. 解 先寫出帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式： , 其中

14、（在0與之間）, 令,要使 則取即可.因此 其誤差. 注意 泰勒公式只是一種局部性質(zhì),因此在用它進(jìn)行近似計算時,不能遠(yuǎn)離,否則效果會比較差,甚至產(chǎn)生完全錯誤的結(jié)果. 如在的泰勒多項式中令,取它的前項計算的近似值,得到 而,誤差相當(dāng)大,但如改用其他泰勒多項式,如 , 令只取前兩項便有 , 取前四項則可達(dá)到 , 效果比前面好得多. 例3

15、當(dāng)很小時,推出的簡單的近似公式. 解 當(dāng)很小時, 3.2 利用泰勒公式求極限 對于待定型的極限問題,一般可以采用洛比達(dá)法則來求,但是,對于一些求導(dǎo)比較繁瑣,特別是要多次使用洛比達(dá)法則的情況,泰勒公式往往是比洛比達(dá)法則更為有效的求極限工具.利用泰勒公式求極限,一般用麥克勞林公式形式,并采用佩亞諾型余項.當(dāng)極限式為分式時,一般要將求分子分母展開成同一階的麥克勞林公式,通過比較求出極限. 例4 求極限 . 解 此題若采用洛必達(dá)法則求解,則十

16、分麻煩,因而采用下述解法： 由泰勒公式知 . 又因為當(dāng)時, 所以 . 例 5 用帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式,求極限 . 解 當(dāng)時,,由泰勒公式知 所以

17、對此式作運算時,把兩個的高階無窮小的代數(shù)和仍記作 ,故 . 從上面2個例子可以看出,用泰勒公式方法計算極限的實質(zhì)是一種利用等價無窮小的替換來計算極限的方法,熟知：當(dāng)時等,這種等價無窮小其實就是將函數(shù)用泰勒公式展開成一次項,有些問題用泰勒公式方法和我們已熟知的等價無窮小方法相結(jié)合,問題又能進(jìn)一步簡化. 3.3 利用泰勒公式求曲線的漸近線方程 若曲線上的點到直線的距離在或時趨于零,則稱直線是曲線的一條漸近線.顯然,直線是曲線的漸近線的充分必要條件為 或 如果是曲線的漸近線,則 （或）. 因此首先有 （或）. 其次,再由（或）可得

18、 （或） 反之,如果由以上兩式確定了和,那么是曲線的一條漸近線. 當(dāng)時,稱為水平漸近線,否則稱為斜漸近線.而如果在趨于某個定值時趨于或,即成立 則稱直線是的一條垂直漸近線. 注意 如果上面的極限對于成立,則說明直線關(guān)于曲線在和兩個方向上都是漸近線. 除上述情況外,如果當(dāng)或時,趨于或,即 或 , 則稱直線是曲線的一條垂直漸近線.如函數(shù)的垂直漸近線方程為.（因為） 例6 判斷函數(shù)的曲線是否存在漸近線

19、,若存在的話,求出漸近線方程． 解 首先設(shè)所求的漸近線為,并令,則有： . 從中解出：.所以有漸近線為． 例7 求 的漸近線方程. 解 當(dāng)漸近線斜率不存在時,有 因此為曲線的垂直漸近線方程. 當(dāng)漸近線斜率存在時,可設(shè) 的漸近線方程為,則由定義

20、 由此為曲線的斜漸近線方程. 3.4 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值 如果泰勒公式已知,其通項中的系數(shù)正是,從而可反過來求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo). 例8 求函數(shù)在x=1處的高階導(dǎo)數(shù). 解 設(shè),則 ,, 在時的泰勒公式為 , 從而 , 而中的泰勒展開式中含的項應(yīng)為,從的展開式知的項為,因此 , 從而 . 3.5 利用泰勒公式判斷級數(shù)和廣義積分的斂散性 3.5.1 判斷級數(shù)的斂散性 在判斷

21、級數(shù)的斂散性時,當(dāng)級數(shù)的通項表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁雜形式時,通常利用泰勒公式將級數(shù)通項簡化或統(tǒng)一形式,以便利用判斂準(zhǔn)則. 例9 討論級數(shù)的斂散性. 分析 直接根據(jù)通項去判斷該級數(shù)是正項級數(shù)還是非正項級數(shù)比較困難,因而也就無法恰當(dāng)選擇斂散性的判別方法,注意到,若將其展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應(yīng),會使斂散性的判別容易進(jìn)行. 解 因為 , 所以 , 因此 故該級數(shù)是正項級數(shù). 又因為 所以 . 因為收斂,所以由正項級數(shù)比較判別法知原級

22、數(shù)收斂. 3.5.2 判斷廣義積分的斂散性 在判定廣義積分?jǐn)可⑿詴r, 通常選取廣義積分進(jìn)行比較, 在此通過研究無窮小量的階來有效地選中的值,從而簡單地判定的斂散性（注意到：如果收斂,則收斂). 例10 研究廣義積分的斂散性. 解 令 ,則 , 因此,,即是的階,而收斂,故收斂,從而收斂,即收斂. 3.6 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值 函數(shù)的極值在實際問題中占有很重要的地位,并且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征,泰勒公式可以作為研究函數(shù)極值的一個重要工

23、具. 定理3 設(shè)函數(shù)在附近有階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且 , （1）如果為偶數(shù),則不是函數(shù)的極值點． （2）如果為奇數(shù),則是函數(shù)的極值點,且當(dāng)時,是函數(shù)的極小值點；當(dāng) 時,是函數(shù)的極大值點． 證明 函數(shù)在點處作帶有佩亞諾型余項的公式為 于是 由于 故,在中,與同號． （1）如果為偶數(shù),則由在附近變號知,也變號,故不是函數(shù)的極值點． （2）如果為奇數(shù),則為偶數(shù),于是在附近不變號,故與同號． 若,則,,為函數(shù)的極小值點． 若,則,,為函數(shù)的極大值點． 例11 試求函數(shù)的極值． 解 設(shè),由于,令得,是函數(shù)的三個穩(wěn)定點,的二階導(dǎo)數(shù)為

24、 , 由此得,及.所以據(jù)定理3知在時取得極小值． 求三階導(dǎo)數(shù) ： 有．因,則為偶數(shù),由定理3知在處不取極值. 再求的四階導(dǎo)數(shù)： , 有,因為,則為奇數(shù),由定理3知在處取得極大值． 綜上所述,為極大值,為極小值． 3.7 利用泰勒公式證明不等式 關(guān)于在不等式的證明方面,我們已經(jīng)知道有很多種方法,比如利用函數(shù)的凸性來證明不等式,利用拉格朗日中值定理來證明不等式,以及通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來得到函數(shù)的單調(diào)性,從而證明不等式的方法,同樣泰勒公式也是不等式證明的

25、一個重要方法. 如果函數(shù)存在二階及二階以上導(dǎo)數(shù)并且有界,利用泰勒公式去證明這些不等式,一般的證明思路為： (1)寫出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的函數(shù)的泰勒展開式； (2)恰當(dāng)?shù)剡x擇等式兩邊的與； (3)根據(jù)最高階導(dǎo)數(shù)的大小對函數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行縮放. 例12 證明：不等式. 分析 不等式左邊是二次三項式.右邊是無理式,兩者沒有明顯的大小關(guān)系,這時可將用的二階泰勒公式表示出來,然后與左邊的二次三項式比較,進(jìn)而判斷兩者的大小關(guān)系. 證明 設(shè),則

26、 代入的二次泰勒公式,有 當(dāng)時,余項,從而有 . 例13 設(shè)在 上具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足條件 ,其中,為非負(fù)常數(shù),證明對任意,有. 證明 已知在 上具有二階導(dǎo)數(shù),則由泰勒展開式得 ,在與t之間. 分別令 得 , (1) , (2) (1)-(2)得 于是 ++ 由于在

27、時,有 所以有 . 例14 在（）上滿足 ,證明： . 證明 令 , 則 . 由泰勒展開式得 , 當(dāng)時亦有 其中在與之間. 因為,所以有 因此有 從而得到 = 則 = 即 . 3.8 泰勒公式在函數(shù)方程中的應(yīng)用 例15 設(shè)

28、在內(nèi)有連續(xù)三階導(dǎo)數(shù),且滿足方程： （與無關(guān)） （3） 試證：是一次或二次函數(shù). 證明 問題在于證明：或.為此將（3）式對求導(dǎo),注意與無關(guān).我們有 （4） 從而 . 令取極限,得 . 若,由此知為一次函數(shù)；若,(4）式給出 此式兩端同時對求導(dǎo),減去,除去,然后令取極限,即得,為二次函數(shù). 在一定條件

29、下證明某函數(shù)的問題,我們稱之為歸零問題,因此,上例實際上是的歸零問題.下面再看一例. 例16 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),且, . （5） 試證：使得在內(nèi). 證明 為了證明在的鄰域內(nèi)恒為零,將（5）式右端的,在處泰勒公式展開.注意到,有 , . 從而 . (6) 今限制,則在

30、上連續(xù) 有,使得 只要證明即可.事實上 . 即所以,因此在上,證畢. 第四章 總結(jié) 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容,也是研究數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域的不可或缺的工具.本文章是在大量查閱有關(guān)泰勒公式的資料的基礎(chǔ)上作出的初步整理,這篇文章介紹了泰勒公式的各種余項,并重點歸納總

31、結(jié)了其在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用.對泰勒公式在近似值計算、求極限、判斷級數(shù)和廣義積分的斂散性、判別函數(shù)的極值、證明不等式、求曲線的漸進(jìn)性方程等方面做了簡單系統(tǒng)的介紹和分析,充分利用其解題技巧在解題時可以起到事半功倍的效果,從而體現(xiàn)了泰勒公式在微分學(xué)應(yīng)用中的重要的地位.所以,我們應(yīng)該牢固掌握這些知識并靈活應(yīng)用才能更方便地解決某些復(fù)雜問題.但由于自己的知識和水平能力有限,沒有對這方面的內(nèi)容進(jìn)行深入的研究. 致謝 寫畢業(yè)論文是一件很繁瑣的事情,在這一次完成論文的過程中遇到很多問題,比如文章的排版格式,內(nèi)容的安排以及數(shù)學(xué)公式的編輯等方面的問題,而以前對于這些問題都沒有深入學(xué)習(xí)過,因而我寫論文的時候

32、在遇到這些問題時,也有過氣餒．但在李本秀老師的指導(dǎo)和幫助下,在同學(xué)的幫助和鼓勵下,我得以順利的完成了畢業(yè)論文．在此,要感謝李老師的細(xì)心指導(dǎo)和批閱,另外,還要感謝關(guān)心我的同學(xué)的支持和鼓勵. 在大學(xué)里,我不僅學(xué)到豐富的專業(yè)知識和技能,還鍛煉了各方面能力,這得感謝我的母校重慶三峽學(xué)院,是它給我提供了良好的學(xué)習(xí)和生活環(huán)境,給了我知識,教會我做人,給予我關(guān)心和幫助,還得衷心感謝我的親人,在我四年的大學(xué)生涯中給予我的理解、支持和無私援助,是你們的鼓勵讓我完成了學(xué)業(yè).四年的大學(xué)生涯將是我生命里最絢爛最難忘的一段時光. 參考文獻(xiàn) [1] 吳文俊. 世界著名科學(xué)家傳記[M]. 北京：

33、科學(xué)出版社,1992. [2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（上）[M]. 高等教育出版社,2001. [3] 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]. 高等教育出版社,2006. [4] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室. 高等數(shù)學(xué)[M]. 高等教育出版社,1993. [5] 楊萬利. 數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)[M]. 中國水利水電出版社,2005. [6] 劉玉漣,傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義[M]. 高等教育出版社,1992. [7] 陳紀(jì)修,徐惠平. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解指南[M]. 高等教育出版社,2005. [8] 孫清華,孫昊. 數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧[M]. 華中科技大學(xué)出版社,2003. [9] 徐森林,薛春華. 數(shù)學(xué)分析（第一冊）[M]. 清華大學(xué)出版社,2005. [10] 韓丹. 帶有Lagrange 余項的泰勒公式的證明[J]. 大連教育學(xué)院學(xué)報,2004. [11] 張云艷. Taylor 公式的應(yīng)用補遺[J]. 洛陽師范學(xué)院學(xué)報,2007. [12] 潘紅,儲亞偉. 關(guān)于泰勒(Taylor) 公式的幾點應(yīng)用[J]. 科技資訊,2008. [13] 董斌斌. 泰勒公式及其在解題中的應(yīng)用[J]. 河南工程技術(shù)學(xué)校學(xué)報. 2010. 第 19 頁 共20 頁