高考數(shù)學復習方案 第2單元第6講 函數(shù)的奇偶性和周期性課件 理 北師大版

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1、第第6 6講講 函數(shù)的奇偶性和周期性函數(shù)的奇偶性和周期性知識梳理1函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 (1)函數(shù)奇偶性的定義函數(shù)奇偶性的定義 如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意定義域內(nèi)的任意x都有都有_ _ _，則稱則稱f(x)為奇函數(shù)；為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意定義域內(nèi)的任意x都有都有_，則稱則稱f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)不具有上述性質，則不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性；如果函數(shù)同時具有上不具有奇偶性；如果函數(shù)同時具有上述兩條性質，則述兩條性質，則f(x)既是既是_，又是又是_ (2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟利用定義判斷函數(shù)

2、奇偶性的步驟 首先確定首先確定_，并判斷其定義域是否關于并判斷其定義域是否關于_對稱對稱； 確定確定_與與_的關系；的關系； 作出相應結論：若作出相應結論：若f(x)f(x)或或f(x)f(x)0，則，則f(x)是偶函數(shù)；若是偶函數(shù)；若f(x)f(x)或或f(x)f(x)0，則，則f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)第第6 6講講 知識梳理知識梳理f(x)f(x) f(x)f(x) 奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域 原點原點 f(x) f(x) 第第6 6講講 知識梳理知識梳理原點原點 y軸軸 偶函數(shù)偶函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù) 0 偶偶 奇奇 第第6 6講講 知識梳理知識梳理f(x

3、T)f(x) 最小正周期最小正周期 要點探究 探究點探究點1判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性第第6 6講講 要點探究要點探究思路思路 從定義域入手，在定義域關于原點對稱的情況下，判斷從定義域入手，在定義域關于原點對稱的情況下，判斷f(x)與與f(x)的關系的關系 第第6 6講講 要點探究要點探究第第6 6講講 要點探究要點探究 點評點評 判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的定義不大，解決問題時應先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的定義域不關于原點對稱，則函數(shù)不具有奇偶性；若定義域關于域不關于原點對稱，則函數(shù)不具有奇偶

4、性；若定義域關于原點對稱，再判斷原點對稱，再判斷f(x)與與f(x)的關系；若定義域關于原的關系；若定義域關于原點對稱，且函數(shù)的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但點對稱，且函數(shù)的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程化簡必須是等價變換過程(要保證定義域不變要保證定義域不變) 第第6 6講講 要點探究要點探究思路思路 分段函數(shù)的奇偶性，要將分段函數(shù)的奇偶性，要將x在每一段的情況都要驗證，然后在整在每一段的情況都要驗證，然后在整個定義域內(nèi)得出個定義域內(nèi)得出f(x)與與f(x)的關系的關系 第第6 6講講 要點探究要點探究第第6 6講講 要點探究要點探究思路思路 對對x1，x2合理

5、賦值，利用函數(shù)的性質和已知條件，判斷合理賦值，利用函數(shù)的性質和已知條件，判斷f(x)與與f(x)的關系的關系 (2)2010保定模擬保定模擬 已知函數(shù)已知函數(shù)yf(x)是定義在是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意對于任意x1，x2R，都有，都有f(x1x2)x1f(x2)x2f(x1)，則對函數(shù)，則對函數(shù)f(x)，下列，下列判斷正確的是判斷正確的是() Af(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù) Bf(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù) Cf(x)為非奇非偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù) Df(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 答案答案 A 解析解析 令令x1x20，得，得f(0)0，令，令x1x

6、21，得，得f(1)0，令，令x1x21，得，得f(1)0，令，令x1x，x21，得，得f(x)f(x)0，因此因此f(x)f(x)，所以，所以f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù) 第第6 6講講 要點探究要點探究 點評點評 (1)分段函數(shù)的奇偶性的判斷和分類討論思想密切相關，分段函數(shù)的奇偶性的判斷和分類討論思想密切相關，要注意自變量在不同情況下的不同形式以及題目之間的相互關系，要注意自變量在不同情況下的不同形式以及題目之間的相互關系，一定要注意求一定要注意求f(x)時，將時，將x代入函數(shù)中的哪一段表達式中代入函數(shù)中的哪一段表達式中(2)抽抽象函數(shù)的奇偶性的判斷，一般需要結合已知條件，對抽象函數(shù)進行象函數(shù)

7、的奇偶性的判斷，一般需要結合已知條件，對抽象函數(shù)進行恰當?shù)淖冃危x予恰當?shù)臄?shù)值，經(jīng)過運算和推理，然后得出結論恰當?shù)淖冃?，賦予恰當?shù)臄?shù)值，經(jīng)過運算和推理，然后得出結論 探究點探究點2函數(shù)奇偶性的性質及其應用函數(shù)奇偶性的性質及其應用 例例3 2010廣州模擬廣州模擬 已知已知f(x)是是R上的奇函數(shù)，且當上的奇函數(shù)，且當x0時，時，f(x)x2x1，求，求f(x)的解析式的解析式 第第6 6講講 要點探究要點探究第第6 6講講 要點探究要點探究 2010江蘇卷江蘇卷 設函數(shù)設函數(shù)f(x)x(exaex)(xR)是偶函數(shù)，則實數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)a_. 思路思路 利用奇偶函數(shù)的性質，得到參數(shù)利用奇偶函

8、數(shù)的性質，得到參數(shù)a滿足的方滿足的方程程 答案答案 1 第第6 6講講 要點探究要點探究解析解析 本題考查函數(shù)的基本性質中的奇偶性，該知識點在本題考查函數(shù)的基本性質中的奇偶性，該知識點在高考考綱中為高考考綱中為B級要求級要求設設g(x)exaex，xR，由題意分析，由題意分析g(x)應為奇函數(shù)應為奇函數(shù)(奇奇函數(shù)函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù))，xR，g(0)0，則，則1a0，所以，所以a1 點評點評 已知區(qū)間上函數(shù)的解析式求給定區(qū)間上的函數(shù)解已知區(qū)間上函數(shù)的解析式求給定區(qū)間上的函數(shù)解析式，一般都要借助于函數(shù)的奇偶性或周期性，要注意最后的析式，一般都要借助于函數(shù)的奇偶性或周期性，要注意最后的解析

9、式一定是解析式一定是f(x)而不能是其他形式而不能是其他形式 探究點探究點3函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性第第6 6講講 要點探究要點探究 思路思路 利用已知條件，求得函數(shù)的周期，通過函數(shù)的周期性和利用已知條件，求得函數(shù)的周期，通過函數(shù)的周期性和奇偶性，將自變量的值轉化為在奇偶性，將自變量的值轉化為在2,3內(nèi)，再計算內(nèi)，再計算 第第6 6講講 要點探究要點探究 答案答案 2.5 第第6 6講講 要點探究要點探究 思路思路 利用已知條件所給的式子，通過變形，并結合奇偶函數(shù)利用已知條件所給的式子，通過變形，并結合奇偶函數(shù)與周期函數(shù)定義判斷與周期函數(shù)定義判斷 (2)2010南昌模擬南昌模擬 定義在定義在R

10、上的函數(shù)上的函數(shù)f(x)不是常數(shù)函數(shù)，不是常數(shù)函數(shù)，滿足滿足f(x1)f(x1)，f(1x)f(1x)，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)() A是奇函數(shù)也是周期函數(shù)是奇函數(shù)也是周期函數(shù) B是偶函數(shù)也是周期是偶函數(shù)也是周期函數(shù)函數(shù) C是奇函數(shù)但不是周期函數(shù)是奇函數(shù)但不是周期函數(shù) D是偶函數(shù)但不是周是偶函數(shù)但不是周期函數(shù)期函數(shù) 第第6 6講講 要點探究要點探究 答案答案 B 解析解析 由由f(x1)f(x1)，知，知f(x2)f(x)，所以，所以f(x)是以是以2為周為周期的周期函數(shù)，且用期的周期函數(shù)，且用x1代替代替f(1x)f(1x)中的中的x，得，得f(x)f(2x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)故是偶函

11、數(shù)故f(x)是偶函數(shù)也是周期函數(shù)是偶函數(shù)也是周期函數(shù) 第第6 6講講 要點探究要點探究 點評點評 (1)通過函數(shù)的周期性既可進行解析式通過函數(shù)的周期性既可進行解析式的代數(shù)變形，又可進行圖像的幾何變換，解題時要注的代數(shù)變形，又可進行圖像的幾何變換，解題時要注意這兩方面的應用；意這兩方面的應用；(2)判斷一個函數(shù)是否是周期函判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)，主要通過定義來進行，步驟為：數(shù)，主要通過定義來進行，步驟為：先探求周期先探求周期T，證明證明f(xT)f(x)對任意屬于定義域內(nèi)的對任意屬于定義域內(nèi)的x都成都成立立 探究點探究點4函數(shù)性質的綜合運用函數(shù)性質的綜合運用第第6 6講講 要點探究要點探究

12、思路思路 (1)利用函數(shù)周期性的定義證明；利用函數(shù)周期性的定義證明；(2)要求某一區(qū)間上的函數(shù)要求某一區(qū)間上的函數(shù)解析式，一般把解析式，一般把x設在該區(qū)間上，然后利用奇偶性或周期性，轉化到已設在該區(qū)間上，然后利用奇偶性或周期性，轉化到已知的區(qū)間上，利用已知的解析式求未知的解析式；知的區(qū)間上，利用已知的解析式求未知的解析式；(3)解決周期函數(shù)的解決周期函數(shù)的有關問題，一般轉化為解決一個周期內(nèi)的有關問題，然后推廣到定義域有關問題，一般轉化為解決一個周期內(nèi)的有關問題，然后推廣到定義域范圍內(nèi)范圍內(nèi) 第第6 6講講 要點探究要點探究第第6 6講講 要點探究要點探究 點評點評 周期函數(shù)的研究方法是先研究周

13、期函數(shù)周期函數(shù)的研究方法是先研究周期函數(shù)在一個周期上的性質，再將它拓展到整個定義域上，在一個周期上的性質，再將它拓展到整個定義域上，這樣，可簡化對函數(shù)的研究這樣，可簡化對函數(shù)的研究規(guī)律總結第第6 6講講 規(guī)律總結規(guī)律總結 1判定函數(shù)的奇偶性，首先要檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再判定函數(shù)的奇偶性，首先要檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇偶性的定義經(jīng)過化簡、整理，再將嚴格按照奇偶性的定義經(jīng)過化簡、整理，再將f(x)與與f(x)比較，得出結論其比較，得出結論其中，分段函數(shù)的奇偶性應分段證明中，分段函數(shù)的奇偶性應分段證明f(x)與與f(x)的關系，只有當對稱的兩段上都的關系，只有當對

14、稱的兩段上都滿足相同的關系時才能判斷其奇偶性滿足相同的關系時才能判斷其奇偶性 2利用函數(shù)的奇偶性把研究整個函數(shù)具有的性質問題轉化到只研究部分利用函數(shù)的奇偶性把研究整個函數(shù)具有的性質問題轉化到只研究部分(一半一半)區(qū)間上的問題，是簡化問題的一種途徑區(qū)間上的問題，是簡化問題的一種途徑 3函數(shù)的奇偶性常與函數(shù)的其他性質及不等式結合出題，運用函數(shù)的奇函數(shù)的奇偶性常與函數(shù)的其他性質及不等式結合出題，運用函數(shù)的奇偶性就是運用函數(shù)圖像的對稱性偶性就是運用函數(shù)圖像的對稱性 4要善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)特征，圖像特征，運用數(shù)形結合，定向轉化，分類討要善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)特征，圖像特征，運用數(shù)形結合，定向轉化，分類討論的思想，整體代換的手段，從而簡化解決問題的程序，既快又準論的思想，整體代換的手段，從而簡化解決問題的程序，既快又準