高中數(shù)學 221橢圓的標準方程課件 新人教B版選修21

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1、 1知識與技能 理解橢圓定義，掌握橢圓的標準方程，會求與橢圓有關的軌跡問題 2過程與方法 通過橢圓概念的引入與橢圓標準方程的推導過程，培養(yǎng)學生分析、探索問題的能力，熟練掌握解決解析幾何問題的方法坐標法 3情感態(tài)度與價值觀 通過橢圓定義和標準方程的學習，滲透數(shù)形結合的思想，啟發(fā)學生在研究問題時，抓住問題本質(zhì)，嚴謹細致思考，規(guī)范得出解答，體會運動變化，對立統(tǒng)一的思想 重點：橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式 難點：橢圓標準方程的建立和推導 1對于橢圓定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上的點的幾何性質(zhì)，可以對比圓的定義來理解要注意到定義中對“常數(shù)”的限定的常數(shù)要大于|F1F2|.這樣

2、規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于|F1F2|時軌跡是一條線段； 當常數(shù)小于|F1F2|時無軌跡”這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質(zhì) 2求橢圓的方程， 首先要建立直角坐標系，由于曲線上同一個點在不同的坐標系中的坐標不同，曲線的方程也不同，為了使方程簡單，必須注意坐標系的選擇怎樣選擇坐標系，要根據(jù)具體情況來確定在一般情況下，應注意要使已知點的坐標和直線(或曲線)的方程盡可能簡單，在求橢圓的標準方程時，選擇x軸經(jīng)過兩個定點F1、F2，并且使坐標原點與線段F1F2的中點重合，這樣，兩個定點的坐標比較簡單，便于推導方程 在求方程時，設橢圓的焦距為2c(c0)，橢圓上任意

3、一點到兩個焦點的距離的和為2a(a0)，這是為了使焦點及長軸兩個端點的坐標不出現(xiàn)分數(shù)形式，以便使導出的橢圓的方程形式簡單令a2c2b2是為了使方程的形式整齊而便于記憶 3橢圓的兩種標準方程中，總是ab0, 即橢圓的標準方程中，哪個項的分母大焦點就在相應的哪個軸上；反過來，焦點在哪個軸上，相應的那個項的分母就大 a、b、c始終滿足c2a2b2，如果焦點在x軸上， 焦點坐標是(c,0)，(c,0)；如果焦點在y軸上，焦點坐標是(0，c)，(0，c) 4求橢圓的標準方程時，要首先進行“定位”，即確定焦點的位置；其次是進行定“量”，即求a、b的大小，a、b、c滿足的關系有：a2b2c2；ab0；ac0

4、. 5牽涉到橢圓上一點坐標問題，常考慮此點到兩焦點的距離之和為2a，來確定標準方程中的a2. 1平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于定長(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做這兩個定點F1、F2叫做橢圓的，兩焦點的距離|F1F2|叫做橢圓的 2在橢圓定義中，條件2a|F1F2|不應忽視，若2a|F1F2|，則這樣的點不存在；若2a|F1F2|，則動點的軌跡是橢圓焦點焦距線段 3橢圓的標準方程 例1在橢圓9x225y2225上求點P，使它到右焦點的距離等于它到左焦點距離的4倍 分析由P(x，y)到橢圓焦點的距離建立兩個關于x，y的方程，可以求出x，y的值 例2已知圓C：(x1)2y225及點A(

5、1,0)，Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M，求點M的軌跡方程 解析如圖所示，M是AQ的垂直平分線與CQ的交點，連接MA，則|MQ|MA|， |MC|MA|MC|MQ|CQ|5， 且|AC|2， 動點M的軌跡是橢圓，且其焦點為C，A， 已知F1、F2是兩點，|F1F2|8，動點M滿足|MF1|MF2|10，則點M的軌跡是_ 動點M滿足| M F1| | M F2| 8 ，則點M 的軌跡是_ 答案以F1、F2為焦點的橢圓線段F1F2 說明1.點在橢圓上這個條件的轉化常有兩種方程：一是點的坐標滿足橢圓的方程；二是點滿足橢圓定義，若點P在橢圓上，則有|PF1|PF2|2a. 2平面內(nèi)的點滿足橢

6、圓的定義，可得點P的軌跡是橢圓，進而求得橢圓的方程. 分析根據(jù)題意，先判斷橢圓的焦點位置，再設出橢圓的標準方程，從而確定a、b的值 說明 根據(jù)已知條件，判定焦點的位置，設出橢圓的方程是解決此題的關鍵 分析根據(jù)橢圓方程的特征求解 2當橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上時，對應的方程才是標準方程，同一橢圓在不同坐標系下其方程是不同的 答案B 解析0k0,25k0且25k9k， a225k，b29k， c225k(9k)16， c4. 兩橢圓有相等的焦距，選B. 分析只需求出|PF1|PF2|的值即可 例6(1)命題甲：動點P到兩定點A、B的距離之和|PA|PB|2a(a0，常數(shù))；(2)命題乙：

7、P點軌跡是橢圓則命題甲是命題乙的() A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分且必要條件 D既不充分又不必要條件 分析由橢圓定義直接作出判斷 解析若P點軌跡是橢圓，則一定有|PA|PB|2a(a0，常數(shù)) 所以甲是乙的必要條件 反過來，若|PA|PB|2a(a0，常數(shù))，是不能推出P點軌跡是橢圓的 這是因為僅當2a|AB|時，P點軌跡才是橢圓；而當2a|AB|時，P點軌跡是線段AB；當2a|F1F2|2c. 若一個動點P(x，y)到兩個定點A(1,0)，A(1,0)的距離和為定值m，試求P點的軌跡方程 解析|PA|PA|m，|AA|2， (1)當m2時，P點的軌跡就是線段AA. 其方程為y0

8、(1x1) (2)當m2時，由橢圓的定義知，點P的軌跡是以A、A為焦點的橢圓 2c2,2am， 在ABC中，BC24，AC、AB邊上的中線長之和等于39，求ABC的重心的軌跡方程 解析如圖所示，以線段BC所在直線為x軸、線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系 例7已知ABC中，A，B，C所對的邊分別為a、b、c，且acb成等差數(shù)列，|AB|2，求頂點C的軌跡方程 辨析上述解答中沒有注意題設中的條件acb，同時也忽略了隱含條件，即點C不能在x軸上，從而導致了變量x范圍的擴大，使軌跡不滿足“完備性”求軌跡方程時“純粹性”與“完備性”要同時具備，缺一不可，這就要求我們應結合圖形，認真觀察動點在各種可能

9、位置的情形，以防疏漏或軌跡不滿足純粹性 正解接上面有3x24y212，又ab，即|BC|AC|， 點C只能在y軸的左邊，即x0. 又由于ABC的三個頂點不能共線，即點C不能在x軸上，故x2. 所求C點的軌跡方程為3x24y212(2x0) 說明(1)求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的求軌跡，不但要求出軌跡方程，還要指明軌跡是什么圖形 (2)求出軌跡方程后，注意考查曲線的完備性和純粹性，以防“疏漏”和“不純” 答案B 解析根據(jù)題意畫出圖形(如圖所示)， |AF1|AF2|2，|BF1|BF2|2， |AF1|BF1|AF2|BF2|4， 即|AB|AF2|BF2|4. 答案A 答案D 解析由橢圓的方程知a5， 2a10，根據(jù)橢圓定義，得|PF1|PF2|2a， 其中一段長為3，另一段長為7，故選D. 三、解答題 6已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點P(3,0)，a3b，求橢圓的標準方程