高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入 階段復習課課件 新人教A版選修12

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1、階段復習課第 三 章【核心解讀【核心解讀】1.1.復數的分類復數的分類對復數對復數z za abi(abi(a，bRbR) )，當當b b0 0時，時，z z為實數；當為實數；當b0b0時，時，z z為虛數；為虛數；當當a a0 0，b0b0時，時，z z為純虛數為純虛數2.2.復數中的兩種思想復數中的兩種思想(1)(1)函數思想：求復數模的最值時，需轉化為關于復數函數思想：求復數模的最值時，需轉化為關于復數z=x+yi(x,yRz=x+yi(x,yR) )的實部的實部x x或虛部或虛部y y的二次函數討論求最值的二次函數討論求最值. .(2)(2)方程思想：由復數的代數形式利用復數相等的條件

2、得到方程思想：由復數的代數形式利用復數相等的條件得到方程方程( (組組) )，解決問題，解決問題. .3.3.復數的運算技巧復數的運算技巧(1)(1)化復為實化復為實: :設設z za abi(abi(a，bRbR) )，利用復數相等和相關性，利用復數相等和相關性質將復數問題實數化，是解決復數問題的常用方法質將復數問題實數化，是解決復數問題的常用方法(2)(2)類比實數：在復數代數形式的四則運算中，加、減、乘運類比實數：在復數代數形式的四則運算中，加、減、乘運算按多項式運算法則進行，除法則需分母實數化算按多項式運算法則進行，除法則需分母實數化4.4.復數中的兩種對應關系復數中的兩種對應關系(1

3、)(1)復數與復平面上點的對應復數與復平面上點的對應. .(2)(2)復數與以坐標原點為起點的向量的對應復數與以坐標原點為起點的向量的對應. .利用對應點可以把復數問題轉化為幾何問題、向量問題利用對應點可以把復數問題轉化為幾何問題、向量問題. .主題一主題一 復數的概念復數的概念【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013陜西高考陜西高考) )設設z z是復數是復數, ,則下列命題中的則下列命題中的假命題是假命題是( )( )A.A.若若z z2 20,0,則則z z是實數是實數 B.B.若若z z2 20,0,則則z z是虛數是虛數C.C.若若z z是虛數是虛數, ,則則z z2 2

4、0 D.0 D.若若z z是純虛數是純虛數, ,則則z z2 200(2)(2)復數復數z zloglog3 3(x(x2 23x3x3)3)ilogilog2 2(x(x3),3),當當x x為何實數時為何實數時, ,zR.zR.z z為虛數為虛數. .【解題指南【解題指南】(1)(1)設出復數的代數形式，復數問題轉化為設出復數的代數形式，復數問題轉化為實數問題求解，進行驗證，從而得出正確的答案實數問題求解，進行驗證，從而得出正確的答案. .(2)(2)利用復數分類求利用復數分類求x.x.【自主解答【自主解答】(1)(1)選選C.C.設設z=a+bi,a,bRz=a+bi,a,bR z z2

5、 2=a=a2 2b b2 2+2abi.+2abi.對選項對選項A:A:若若z z2 20,0,則則b=0b=0 z z為實數為實數, ,所以所以z z為實數正確為實數正確. .對選項對選項B:B:若若z z2 20,0,則則a=0,a=0,且且b0b0z z為純虛數為純虛數, ,所以所以z z為虛數正確為虛數正確. .對選項對選項C:C:若若z z為純虛數為純虛數, ,則則a=0,a=0,且且b0b0z z2 20,0,所以所以z z2 200錯誤錯誤. .對選項對選項D:D:若若z z為純虛數為純虛數, ,則則a=0,a=0,且且b0b0z z2 20,0,所以所以z z2 203x3所

6、以當所以當 且且x4x4時，時，z z為虛數為虛數. .321321xx.22或321x2【延伸探究【延伸探究】若把題若把題(2)(2)結論改為結論改為z z為純虛數，則為純虛數，則x x的范圍的范圍如何如何? ?【解析【解析】因為一個復數是純虛數的充要條件是其實部為因為一個復數是純虛數的充要條件是其實部為0 0，且虛部不為且虛部不為0 0，所以所以此方程組無解此方程組無解所以復數所以復數z z不可能是純虛數不可能是純虛數2322logx3x30,x3x3 0logx30,x30,【方法技巧【方法技巧】復數的有關概念復數的有關概念(1)(1)正確確定復數的實、虛部是準確理解復數的有關概念正確確

7、定復數的實、虛部是準確理解復數的有關概念( (如如實數、虛數、純虛數、相等復數、共軛復數、復數的模實數、虛數、純虛數、相等復數、共軛復數、復數的模) )的的前提前提(2)(2)兩復數相等的充要條件是復數問題轉化為實數問題的兩復數相等的充要條件是復數問題轉化為實數問題的依據依據提醒：提醒：求字母的范圍時一定要關注實部與虛部自身有意義求字母的范圍時一定要關注實部與虛部自身有意義. .【補償訓練【補償訓練】(2013(2013上海高考上海高考) )設設mRmR，m m2 2+m+m2+(m2+(m2 21)i1)i是純虛數，其中是純虛數，其中i i是虛數單位，則是虛數單位，則m=_.m=_.【解析【

8、解析】m m2 2+m+m2+(m2+(m2 21)i1)i是純虛數是純虛數答案：答案：-2-222mm20m2.m10，主題二主題二 復數的四則運算復數的四則運算【典例【典例2 2】(1)(1)已知已知i i是虛數單位，復數是虛數單位，復數(1+bi)(2+i)(1+bi)(2+i)是純虛數，是純虛數，則實數則實數b b的值為的值為( )( )A.-2 B.- C. D.2A.-2 B.- C. D.2(2)(2)已知已知z z是純虛數是純虛數, , 是實數是實數, ,那么那么z z等于等于( )( )A.2i B.iA.2i B.i C.-i D.-2i C.-i D.-2i1212z21

9、 i【自主解答【自主解答】(1)(1)選選D.D.因復數因復數(1+bi)(2+i)(1+bi)(2+i)2-b+(2b+1)i2-b+(2b+1)i是是純虛數，所以純虛數，所以2-b=0,2-b=0,且且2b+10,2b+10,得得b=2.b=2.(2)(2)選選D.D.設純虛數設純虛數z=bi(bRz=bi(bR),),代入代入由于其為實數，所以由于其為實數，所以b=-2.b=-2.所以所以z=-2i.z=-2i. bi2 1 i2bb2 iz2bi2,1 i1 i1 i 1 i2【方法技巧【方法技巧】復數加減乘運算可類比多項式的加減乘運算，復數加減乘運算可類比多項式的加減乘運算，注意把注

10、意把i i看作一個字母看作一個字母(i(i2 2=-1),=-1),除法運算注意應用共軛的性質除法運算注意應用共軛的性質z z 為實數為實數. .z【拓展延伸【拓展延伸】復數運算的考查點復數運算的考查點復數的四則運算是本章的重點，復數的乘法、除法是高考的熱復數的四則運算是本章的重點，復數的乘法、除法是高考的熱點，考題呈現以下特點：點，考題呈現以下特點：(1)(1)復數的乘除運算復數的乘除運算. .(2)(2)與復數的有關概念、復數的幾何意義相結合與復數的有關概念、復數的幾何意義相結合. .(3)(3)與兩復數相等的充要條件結合與兩復數相等的充要條件結合【補償訓練【補償訓練】(2014(2014

11、大同高二檢測大同高二檢測) )復數復數 =( )=( )【解析【解析】選選C.C.依題意得依題意得 選選C.C.1111A.i B.i22221111C.i D.i2222234iii1 i2341i1iii1 i1 i i 1 ii1 i11i1 i1 i 1 i222，主題三主題三 共軛復數、復數的模共軛復數、復數的?！镜淅镜淅? 3】(1)(2013(1)(2013新課標全國卷新課標全國卷) =( ) =( )(2)(2013(2)(2013新課標全國卷新課標全國卷)若復數若復數z z滿足滿足(3(34i)z=|4+3i|4i)z=|4+3i|，則則z z的虛部為的虛部為( )( )【

12、解題指南【解題指南】(1)(1)先化簡先化簡 然后計算模然后計算模. .(2)(2)首先設首先設z=a+bi(a,bRz=a+bi(a,bR),),利用復數的運算法則進行化簡利用復數的運算法則進行化簡, ,然后利用復數相等列出關于然后利用復數相等列出關于a,ba,b的方程組，求出的方程組，求出b b的值的值. .2|1 iA.2 2 B.2 C. 2 D.144A. 4 B. C.4 D.5521 i，【自主解答【自主解答】(1)(1)選選C. C. 所以所以 選選C.C.(2)(2)選選D.D.設設z=a+bi(a,bRz=a+bi(a,bR) )，則，則(3(34i)z=(34i)z=(3

13、4i)(a+bi)=54i)(a+bi)=5，化簡得化簡得3a+4b+(3b3a+4b+(3b4a)i=54a)i=5，所以，所以解得解得即即 所以所以z z的虛部為的虛部為2 1 i2 1 i21 i1 i1 i 1 i2 ，2|21 i，3a4b53b4a0，3a54b5，34zi.554.5【方法技巧【方法技巧】化復為實化復為實利用模的定義將復數模的條件轉化為其實虛部滿足的條件，是利用模的定義將復數模的條件轉化為其實虛部滿足的條件，是一種復數問題實數化思想；根據復數模的意義，結合圖形，可一種復數問題實數化思想；根據復數模的意義，結合圖形，可利用平面幾何知識解答本題利用平面幾何知識解答本題

14、【補償訓練【補償訓練】把復數把復數z z的共軛復數記作的共軛復數記作 已知已知(1+2i)+ =4+3i(1+2i)+ =4+3i，則，則【解析【解析】(1+2i)+ =4+3i(1+2i)+ =4+3i 3+i3+i，從而有，從而有z=3z=3i i，所以所以答案：答案：z，zz.z_zzz43i.55z43i55主題四主題四 復數的幾何意義復數的幾何意義【典例【典例4 4】(1)(1)在復平面內，復數在復平面內，復數z=i(1+2i)z=i(1+2i)，對應的點位于，對應的點位于( )( )A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限

15、(2)(2)設復數設復數z z滿足滿足|z|=5|z|=5，且，且(3+4i)z(3+4i)z在復平面上對應的點在在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上，求復數第二、四象限的角平分線上，求復數z z【自主解答【自主解答】(1)(1)選選B.B.因為因為z=i(1+2i)=i+2iz=i(1+2i)=i+2i2 2=-2+i=-2+i，所以復數，所以復數z z所對應的點為所對應的點為(-2,1)(-2,1)，故選，故選B.B.(2)(2)設復數設復數z=x+yi(x,yRz=x+yi(x,yR).).又又|z|=5|z|=5，所以，所以x x2 2+y+y2 2=25.=25.因為因為(3

16、+4i)z=(3+4i)(x+yi)=3x(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=3x4y+(4x+3y)i4y+(4x+3y)i在復平面上對應在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上，所以它的實部與虛部互為的點在第二、四象限的角平分線上，所以它的實部與虛部互為相反數，相反數，3x3x4y+(4x+3y)=04y+(4x+3y)=0 y=7xy=7x，由由所以所以22xy2527 2x,y22y7x ，27 227 2zizi.2222或【方法技巧【方法技巧】數形結合數形結合復數的幾何意義充分體現了數形結合這一重要的數學思想方法復數的幾何意義充分體現了數形結合這一重要的數學思想方法(1)

17、(1)復數的幾何表示法：即復數復數的幾何表示法：即復數z za abi(abi(a，bRbR) )可以用復平可以用復平面內的點面內的點Z(aZ(a，b)b)來表示此類問題可建立復數的實部與虛部來表示此類問題可建立復數的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程應滿足的條件，通過解方程( (組組) )或不等式或不等式( (組組) )求解求解(2)(2)復數的向量表示：以原點為起點的向量表示的復數等于它復數的向量表示：以原點為起點的向量表示的復數等于它的終點對應的復數；向量平移后，此向量表示的復數不變，但的終點對應的復數；向量平移后，此向量表示的復數不變，但平移前后起點、終點對應的復數要改變平移前后起點、

18、終點對應的復數要改變【補償訓練【補償訓練】(2014(2014蘭州高二檢測蘭州高二檢測) )復數復數m(3+i)-(2+i)m(3+i)-(2+i)(mR(mR，i i為虛數單位為虛數單位) )在復平面內對應的點不可能位于在復平面內對應的點不可能位于( )( )A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限【解析【解析】選選B.B.因為因為m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)im(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i，設復數，設復數m(3+i)-(2+i)(mR,im(3+i)-(2+i)(mR,i為虛數單位為虛數單位

19、) )在復平面內對應的點在復平面內對應的點M M的的坐標為坐標為(x,y(x,y),),則則消去消去m m得：得：x-3y-1=0,x-3y-1=0,因為直線因為直線x-3y-1=0 x-3y-1=0經過第一、三、四經過第一、三、四象限，所以，復數象限，所以，復數m(3+i)-(2+i)(mR,im(3+i)-(2+i)(mR,i為虛數單位為虛數單位) )在復在復平面內對應的點不可能位于第二象限，故選平面內對應的點不可能位于第二象限，故選B.B.x3m2ym 1，【強化訓練【強化訓練】1.(20141.(2014青島高二檢測青島高二檢測) )關于復數關于復數 下列說法中下列說法中正確的是正確的

20、是( )( )A.A.在復平面內復數在復平面內復數z z對應的點在第一象限對應的點在第一象限B.B.復數復數z z的共軛復數的共軛復數 =1-i=1-iC.C.若復數若復數z z1 1=z+b(bR=z+b(bR) )為純虛數，則為純虛數，則b=1b=1D.D.設設a,ba,b為復數為復數z z的實部和虛部，則點的實部和虛部，則點(a,b(a,b) )在以原點為圓心，在以原點為圓心，半徑為半徑為1 1的圓上的圓上21 iz,1 iz【解析【解析】選選C.C.由題可知由題可知 對應的點為對應的點為(-1(-1，1),1),在第二象限，故在第二象限，故A A錯；錯； =-1-i,=-1-i,故故B

21、 B錯；若錯；若z+b(bRz+b(bR) )為純虛數，則為純虛數，則b=1,b=1,故故C C正確；正確；(a,b(a,b) )為為(-1(-1，1)1)，在以原點為圓，在以原點為圓心心, ,半徑為半徑為 的圓上，故的圓上，故D D錯錯. .21 i2iz1 i1 i1 i ，z22.(20142.(2014江西高考江西高考) )若復數若復數z z滿足滿足z(1+i)=2i(iz(1+i)=2i(i為虛數單位為虛數單位) )，則則|z|=( )|z|=( )A.1 B.2 C. D.A.1 B.2 C. D.【解題指南【解題指南】運用復數除法的運算法則及模的公式進行計算運用復數除法的運算法則

22、及模的公式進行計算. .【解析【解析】選選C. C. 232i 1 i2iz1 i z2.1 i1 i 1 i ，3.(20143.(2014湖南高考湖南高考) )滿足滿足 (i(i為虛數單位為虛數單位) )的復數的復數z=( )z=( )【解題指南【解題指南】先解關于先解關于z z的方程，再用復數的除法法則進行運算的方程，再用復數的除法法則進行運算. .【解析【解析】選選B.B.因為因為 所以所以z+i=zi,zz+i=zi,z= =ziiz1111A.i B.i22221111C.i D.i2222ziiz ，i1 ii(1 i)(1 i)(1 i)i111i.2224.(20134.(2

23、013廣東高考廣東高考) )若復數若復數z z滿足滿足iziz=2+4i=2+4i，則在復平面內，則在復平面內，z z對應的點的坐標是對應的點的坐標是( )( )A. (2,4) B.(2,-4) C. (4,-2) D.(4,2)A. (2,4) B.(2,-4) C. (4,-2) D.(4,2)【解題指南【解題指南】本題考查復數四則運算，既可以將本題考查復數四則運算，既可以將z z作為未知數作為未知數解出來，也可以利用解出來，也可以利用i i的乘方的性質，在等式兩端乘以因式的乘方的性質，在等式兩端乘以因式i.i.【解析【解析】選選C. C. 解方程解方程iziz=2+4i,z= =4=2

24、+4i,z= =42i2i，z z對應點的對應點的坐標是坐標是(4,(4,2).2).24ii【一題多解【一題多解】在在iziz=2+4i=2+4i兩端乘以因式兩端乘以因式i i可得可得( (i)izi)iz= =( (i)(2+4i),z=4i)(2+4i),z=42i2i，z z對應點的坐標是對應點的坐標是(4,(4,2).2).5.(20145.(2014北京高考北京高考) )若若(x+i)i(x+i)i=-1+2i(xR)=-1+2i(xR)，則，則x=_.x=_.【解題指南【解題指南】展開后利用復數相等列式求解展開后利用復數相等列式求解. .【解析【解析】由已知得由已知得-1+xi=

25、-1+2i -1+xi=-1+2i ，所以，所以x=2.x=2.答案：答案：2 26 6設設(1+i)sin -(1+icos )(1+i)sin -(1+icos )對應的點在直線對應的點在直線x+y+1=0 x+y+1=0上，上，則則tan tan 的值為的值為_._.【解析【解析】由題意，得由題意，得sin sin 1 1sin sin coscos 1 10 0，所以所以tan tan 答案：答案：1.2127.7.實數實數m m分別取什么數時，復數分別取什么數時，復數z=(1+i)mz=(1+i)m2 2+(5+(52i)m+62i)m+615i15i是：是：(1)(1)實數實數.(

26、2).(2)虛數虛數.(3).(3)純虛數純虛數.(4).(4)對應點在第三象限對應點在第三象限.(5).(5)對應對應點在直線點在直線x+y+5=0 x+y+5=0上上.(6).(6)共軛復數的虛部為共軛復數的虛部為12.12.【解析【解析】z=(1+i)mz=(1+i)m2 2+(5+(52i)m+62i)m+615i15i=(m=(m2 2+5m+6)+(m+5m+6)+(m2 22m2m15)i.15)i.因為因為mRmR, ,所以所以z z的實部為的實部為m m2 2+5m+6,+5m+6,虛部為虛部為m m2 22m2m15.15.(1)(1)若若z z是實數，則是實數，則(2)(

27、2)若若z z是虛數，則是虛數，則m m2 22m2m150150 m5m5且且mm3.3.(3)(3)若若z z是純虛數，則是純虛數，則(4)(4)若若z z的對應點在第三象限，則的對應點在第三象限，則(5)(5)若若z z對應的點在直線對應的點在直線x+y+5=0 x+y+5=0上，則上，則(m(m2 2+5m+6)+(m+5m+6)+(m2 22m2m15)+5=015)+5=0(6)(6)若若z z的共軛復數的虛部為的共軛復數的虛部為1212，則，則(m(m2 22m2m15)=1215)=12m=m=1 1或或m=3.m=3.2m2m 150,m5m3.mR或22m5m60,m2.m2m 15022m5m60,3m2.m2m 150341m.4