高中數(shù)學(xué) 第三講 排序不等式課件 新人教A版選修45

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1、三 排序不等式1.1.順序和、亂序和、反序和的概念順序和、亂序和、反序和的概念. .設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組:a:a1 1aa2 2aan n;b;b1 1bb2 2bbn n, ,c c1 1,c,c2 2, ,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2, ,b,bn n的任意一個排列的任意一個排列. .(1)(1)順序和順序和:_:_(2)(2)亂序和亂序和:_:_(3)(3)反序和反序和:_:_a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+ +a+an nb bn na a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+ +a+an nc cn na a1 1b bn n

2、+a+a2 2b bn-1n-1+ +a+an nb b1 12.2.排序不等式排序不等式( (排序原理排序原理).).設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組組:a:a1 1aa2 2aan n;b;b1 1bb2 2bbn n,c,c1 1,c,c2 2, ,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2, , ,b bn n的任一排列的任一排列, ,則則_a_a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+ +a+an nc cn n_,_,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a a1 1=a=a2 2= =a=an n或或b b1 1=b=b2 2= =b=bn n時時, ,反序和等于順序和反序和等于順序和. .a

3、 a1 1b bn n+a+a2 2b bn-1n-1+ +a+an nb b1 1a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+ +a+an nb bn n1.1.使用排序不等式的關(guān)鍵是什么使用排序不等式的關(guān)鍵是什么? ?提示提示: :使用排序不等式使用排序不等式, ,關(guān)鍵是出現(xiàn)有大小順序的兩列數(shù)關(guān)鍵是出現(xiàn)有大小順序的兩列數(shù)( (或者或者代數(shù)式代數(shù)式) )來探求對應(yīng)項(xiàng)的乘積的和的大小關(guān)系來探求對應(yīng)項(xiàng)的乘積的和的大小關(guān)系. .2.2.如圖所示如圖所示, ,矩形矩形OPAQOPAQ中中,a,a1 1aa2 2,b,b1 1bb2 2, ,則陰影部分的矩形的則陰影部分的矩形的面積之和面積之和

4、空白部分的矩形的面積之和空白部分的矩形的面積之和. .【解析【解析】這可沿圖中線段這可沿圖中線段MNMN向上向上翻折比較即知翻折比較即知. .當(dāng)然由圖我們可知當(dāng)然由圖我們可知, ,陰影面積陰影面積=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2, ,而空白而空白面積面積=a=a1 1b b2 2+a+a2 2b b1 1. .根據(jù)順序和根據(jù)順序和反序和可知答案反序和可知答案. .答案答案: :3.3.已知兩組數(shù)已知兩組數(shù)1,2,31,2,3和和45,25,30,45,25,30,若若c c1 1,c,c2 2,c,c3 3是是45,25,3045,25,30的一個的一個排列排列, ,則則1

5、c1c1 1+2c+2c2 2+3c+3c3 3的最大值是的最大值是, ,最小值是最小值是. .【解析【解析】對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系和和備注備注(1,2,3)(1,2,3)(25,30,45)(25,30,45)S S1 1=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=220=220( (最大值最大值) )順序和順序和(1,2,3)(1,2,3)(25,45,30)(25,45,30)S S2 2=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b3 3+a+a3 3b b2 2=205=205亂序和亂序和(1,2,3)(1,2,3)(30,25,45)(30,25,45

6、)S S3 3=a=a1 1b b2 2+a+a2 2b b1 1+a+a3 3b b3 3=215=215亂序和亂序和答案答案:220:220180180對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系和和備注備注(1,2,3)(1,2,3)(30,45,25)(30,45,25)S S4 4=a=a1 1b b2 2+a+a2 2b b3 3+a+a3 3b b1 1=195=195亂序和亂序和(1,2,3)(1,2,3)(45,25,30)(45,25,30)S S5 5=a=a1 1b b3 3+a+a2 2b b1 1+a+a3 3b b2 2=185=185亂序和亂序和(1,2,3)(1,2,3)(45,30,2

7、5)(45,30,25)S S6 6=a=a1 1b b3 3+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b1 1=180=180( (最小值最小值) )反序和反序和1.1.對排序不等式的證明的理解對排序不等式的證明的理解對排序不等式的證明中對排序不等式的證明中, ,用到了用到了“探究探究猜想猜想檢驗(yàn)檢驗(yàn)證明證明”的思維方法的思維方法, ,這是探索新知識、新問題常用到的基本方這是探索新知識、新問題常用到的基本方法法, ,對于數(shù)組涉及的對于數(shù)組涉及的“排序排序”及及“乘積乘積”的問題的問題, ,又使用了又使用了“一一搭配一一搭配”這樣的描述這樣的描述, ,這實(shí)質(zhì)上也是使用最接近生活常識這實(shí)質(zhì)上也

8、是使用最接近生活常識的處理問題的方法的處理問題的方法, ,所以可以結(jié)合像平時班級排隊(duì)等一些常識所以可以結(jié)合像平時班級排隊(duì)等一些常識的事例來理解的事例來理解. .對于出現(xiàn)的對于出現(xiàn)的“逐步調(diào)整比較法逐步調(diào)整比較法”, ,則要引起注意則要引起注意, ,研究數(shù)組這研究數(shù)組這種帶種帶“順序順序”的乘積的和的問題時的乘積的和的問題時, ,這種方法對理解相關(guān)問題這種方法對理解相關(guān)問題時是比較簡單易懂的時是比較簡單易懂的. .2.2.排序原理的思想排序原理的思想在解答數(shù)學(xué)問題時在解答數(shù)學(xué)問題時, ,常常涉及一些可以比較大小的量常常涉及一些可以比較大小的量, ,它們之它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序間并沒有預(yù)先

9、規(guī)定大小順序, ,那么在解答問題時那么在解答問題時, ,我們可以利我們可以利用排序原理的思想方法用排序原理的思想方法, ,將它們按一定順序排列起來將它們按一定順序排列起來, ,繼而利繼而利用不等關(guān)系來解題用不等關(guān)系來解題. .因此因此, ,對于排序原理對于排序原理, ,我們要記住的是處理我們要記住的是處理問題的這種思想及方法問題的這種思想及方法, ,同時要學(xué)會善于利用這種比較經(jīng)典的同時要學(xué)會善于利用這種比較經(jīng)典的結(jié)論來處理實(shí)際問題結(jié)論來處理實(shí)際問題. .類型類型 一一 利用排序不等式求最值利用排序不等式求最值 【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013成都高二檢測成都高二檢測) )設(shè)設(shè)

10、a a，b b，c c為正數(shù)，為正數(shù)，則則 的最小值為的最小值為_2.2.用用A A，B B，C C表示表示ABCABC的三個內(nèi)角的弧度數(shù)，的三個內(nèi)角的弧度數(shù)，a a，b b，c c表示其表示其對邊，求對邊，求 的最小值的最小值. .abcbccaabaAbBcCabc【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中要利用排序不等式求解最小值，關(guān)鍵是什么？中要利用排序不等式求解最小值，關(guān)鍵是什么？2. 2. 題題2 2中的中的 對解題有什么暗示？對解題有什么暗示？探究提示：探究提示：1.1.要利用排序不等式求解要利用排序不等式求解 的最小值關(guān)鍵是找的最小值關(guān)鍵是找出兩組有序數(shù)組，然后根據(jù)反序和出兩組

11、有序數(shù)組，然后根據(jù)反序和亂序和亂序和順序和求解最順序和求解最小值小值. .aAbBcCabcabcbccaab2. 2. 題題2 2中的中的 分子出現(xiàn)了三角形的邊與角的積，分子出現(xiàn)了三角形的邊與角的積，結(jié)合排序原理可以考慮尋找的兩組有序?qū)崝?shù)組為結(jié)合排序原理可以考慮尋找的兩組有序?qū)崝?shù)組為a,b,ca,b,c和和A,B,C.A,B,C.aAbBcCabc，【解析【解析】1.1.不妨設(shè)不妨設(shè)abcabc，于是，于是a abcbcababc.c.則則由排序不等式：順序和由排序不等式：順序和亂序和得：亂序和得：111.bccaababcbcabccaabbccaab，abccabbccaabbccaab

12、，兩式相加得：兩式相加得：所以所以 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a ab bc c時，等號成立時，等號成立所以所以 的最小值為的最小值為 答案：答案：abc2()3.bccaababc3.bccaab2abcbccaab3.2322.2.由對稱性，不妨設(shè)由對稱性，不妨設(shè)abcabc, ,于是于是ABCABC，于是由順序和，于是由順序和亂序和，可得亂序和，可得aA+bB+cC=aA+bB+cCaA+bB+cC=aA+bB+cC, ,aA+bB+cCaB+bC+cAaA+bB+cCaB+bC+cA, ,aA+bB+cCaC+bA+cBaA+bB+cCaC+bA+cB. .將上面三式相加可得將上面三式相加可得3

13、(aA+bB+cC)(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c3(aA+bB+cC)(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c).).因?yàn)橐驗(yàn)閍+b+ca+b+c00，所以，所以所以所以 的最小值為的最小值為aAbBcC.abc3aAbBcCabc.3【互動探究【互動探究】題題2 2中，若條件不變，你能證明中，若條件不變，你能證明 嗎？嗎？【證明【證明】由由0 0b+c-a,0b+c-a,0a+b-c,0a+b-c,0a+c-ba+c-b, ,有有0 0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+CA(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B

14、+C-A)+b(A+C- -B)+c(A+B-C)=a(-2A)+b(-2B)+c(-2C)=(a+b+c)B)+c(A+B-C)=a(-2A)+b(-2B)+c(-2C)=(a+b+c)- -2(aA+bB+cC).2(aA+bB+cC).得得aAbBcCabc2aAbBcCabc2【拓展提升【拓展提升】利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值時利用排序不等式求最值時, ,先要對待證不等式及已知條件仔細(xì)先要對待證不等式及已知條件仔細(xì)分析分析, ,觀察不等式的結(jié)構(gòu)觀察不等式的結(jié)構(gòu), ,明確兩個數(shù)組的大小順序明確兩個數(shù)組的大小順序, ,分清順序分清順序和、亂序和及

15、反序和和、亂序和及反序和, ,由于亂序和是不確定的由于亂序和是不確定的, ,根據(jù)需要寫出根據(jù)需要寫出其中的一個即可其中的一個即可. .一般最值是順序和或反序和一般最值是順序和或反序和. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)a a1 1，a a2 2，a a3 3為正數(shù)，且為正數(shù)，且a a1 1a a2 2a a3 31 1，求，求 的最小值的最小值【解析【解析】不妨設(shè)不妨設(shè)a a3 3aa1 1aa2 200，則，則所以所以a a1 1a a2 2aa2 2a a3 3a90A90, ,此時此時sin A=sin(B+Csin A=sin(B+C),),因?yàn)橐驗(yàn)锽+CB+C為銳角為銳角, ,故亦有故亦

16、有sin sin Asin BsinAsin Bsin C. C.由順序和由順序和亂序和，可得亂序和，可得asin A+bsin asin A+bsin B+csin Casin B+bsin C+csinB+csin Casin B+bsin C+csin A. A.綜上可知綜上可知,asin A+bsin B+csin Ch,asin A+bsin B+csin Cha a+h+hb b+h+hc c成立成立. .2.2.由不等式的性質(zhì)，不妨設(shè)由不等式的性質(zhì)，不妨設(shè) 因而因而 可知可知a a5 5bb5 5cc5 5，由排序不等式，由排序不等式得：得：又由不等式的性質(zhì)知又由不等式的性質(zhì)知

17、根據(jù)排序原理：根據(jù)排序原理：由不等式的傳遞性可知：由不等式的傳遞性可知：111cba，333333111,abc,b cc aa b555555222333333333333333abcabcabc.b cc aa bc aa bb ccab222333111abccba，222222333333abcabc111.cababcabc555888333333333111abcabc.abcb cc aa ba b c【拓展提升【拓展提升】排序不等式證明不等式的策略排序不等式證明不等式的策略(1)(1)利用排序不等式證明不等式時，若已知條件中已給出兩組利用排序不等式證明不等式時，若已知條件中已給

18、出兩組量的大小關(guān)系，則需要分析清楚順序和、亂序和及反序和量的大小關(guān)系，則需要分析清楚順序和、亂序和及反序和. .利利用排序不等式證明即可用排序不等式證明即可. .(2)(2)若在解答數(shù)學(xué)問題時若在解答數(shù)學(xué)問題時, ,涉及一些可以比較大小的量涉及一些可以比較大小的量, ,它們之它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序. .那么在解答問題時那么在解答問題時, ,我們可以利我們可以利用排序原理將它們按一定順序排列起來用排序原理將它們按一定順序排列起來, ,繼而用不等關(guān)系來解繼而用不等關(guān)系來解題題. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知a,b,cRa,b,cR+ +，求證：，求證：【解題指南

19、【解題指南】可以發(fā)現(xiàn)左右兩邊的次數(shù)相等可以發(fā)現(xiàn)左右兩邊的次數(shù)相等, ,因此因此, ,應(yīng)該進(jìn)行應(yīng)該進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠礈愡m當(dāng)?shù)钠礈? ,使其成為積的形式使其成為積的形式. .【證明【證明】不妨設(shè)不妨設(shè)abcabc0,0,則則 且且a a1212bb1212cc12120,0,則則121212101010abcabc .bccaab1110bccaab121212121212abcabcbccaababbcac111111111111101010abcabcabc .bcaabc【易錯誤區(qū)【易錯誤區(qū)】不能正確尋找有序?qū)崝?shù)組致誤不能正確尋找有序?qū)崝?shù)組致誤【典例【典例】(2013(2013榆林高二檢測榆林高二

20、檢測) )一般地，對于一般地，對于n n個正數(shù)個正數(shù)a a1 1,a,a2 2,a,an n. .幾何平均數(shù)幾何平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù) 利用排序不等式可以判斷利用排序不等式可以判斷G Gn n，A An n的大小關(guān)的大小關(guān)系為系為_._.nn12nGa aa，12nnaaaAn，【解析【解析】令令 則則b b1 1b b2 2b bn n=1=1，故可取，故可取x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n00，使得，使得 由排序不等式有：由排序不等式有：當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x x1 1=x=x2 2= =x=xn n時取等號時取等號，所以所以 即即 即即A An nGGn n. .答案：答案

21、：A An nGGn niinabi1,2,nG，12n 1n12n 1n23n1xxxxb,b,b,b.xxxx12n12n12n23112nxxx111bbbxxxnxxxxxx，12nnnnaaan,GGG12nnaaaG .n【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】【防范措施【防范措施】1.1.關(guān)于尋找有序?qū)崝?shù)組關(guān)于尋找有序?qū)崝?shù)組利用排序不等式的關(guān)鍵是正確地尋找兩組有序?qū)崝?shù)組，構(gòu)造利用排序不等式的關(guān)鍵是正確地尋找兩組有序?qū)崝?shù)組，構(gòu)造的恰當(dāng)是正確解題的前提，如本例中的恰當(dāng)是正確解題的前提，如本例中處的構(gòu)造，恰好能夠處的構(gòu)造，恰好能夠解決反序和為解決反序和為n n，使得問題得以解決，使得問題得以解決. .2

22、.2.關(guān)于等號成立的條件關(guān)于等號成立的條件對于利用排序不等式求解完成后，一定要說明等號成立的條對于利用排序不等式求解完成后，一定要說明等號成立的條件，若取不到等號也應(yīng)該說明原因，使得解題更加清晰和準(zhǔn)件，若取不到等號也應(yīng)該說明原因，使得解題更加清晰和準(zhǔn)確，如本例中的錯解忽視了等號成立的條件，導(dǎo)致不得分確，如本例中的錯解忽視了等號成立的條件，導(dǎo)致不得分. . 【類題試解【類題試解】設(shè)設(shè)a a1 1,a,a2 2,a,an n是是1 1，2 2，n n的一個排列，的一個排列，則則A An n與與B Bn n的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_._.【解析【解析】設(shè)設(shè)b b1 1,b,b2 2, , ,b,bn

23、-1n-1是是a a1 1,a,a2 2, , ,a,an-1n-1的一個排列，的一個排列，且且b b1 1bb2 2 bbn-1n-1；c c1 1,c,c2 2, , ,c,cn-1n-1是是a a2 2,a,a3 3, , ,a,an n的一個排列，的一個排列，且且c c1 1cc2 2 cQ B.PQA.PQ B.PQ C.PQ C.P0,0,所以所以a a2 2bb2 2cc2 20.0.由排序不等式得由排序不等式得:a:a2 2a+ba+b2 2b+cb+c2 2caca2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a.a.所以所以PQ.PQ.3.3.已知兩組數(shù)已知兩組數(shù)a a1 1a

24、a2 2aa3 3aa4 4aa5 5,b,b1 1bb2 2bb3 3bb4 4bb5 5, ,其中其中a a1 1=2,a=2,a2 2=7,a=7,a3 3=8,a=8,a4 4=9,a=9,a5 5=12,b=12,b1 1=3,b=3,b2 2=4,b=4,b3 3=6,b=6,b4 4=10,b=10,b5 5=11,=11,將將b bi i(i(i=1,2,3,4,5)=1,2,3,4,5)重新排列記為重新排列記為c c1 1,c,c2 2,c,c3 3,c,c4 4,c,c5 5, ,則則a a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+ +a+a5 5c c5 5的最大值和

25、最小值分別是的最大值和最小值分別是 ( () )A.132,6A.132,6B.304,212B.304,212C.22,6C.22,6 D.21,36 D.21,36【解析【解析】選選B.B.由順序和最大知由順序和最大知, ,最大值為最大值為:a:a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3+a+a4 4b b4 4+a+a5 5b b5 5=304,=304,由反序和最小知由反序和最小知, ,最小值為最小值為:a:a1 1b b5 5+a+a2 2b b4 4+a+a3 3b b3 3+a+a4 4b b2 2+a+a5 5b b1 1=212.=212.4.4

26、.設(shè)設(shè)abab0,0,則則a a3 3+b+b3 3與與a a2 2b+abb+ab2 2的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是. .【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍bab0,0,所以所以a a2 2bb2 20,0,因此因此a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2( (排序不等式排序不等式).).答案答案: :a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 25.n5.n個正數(shù)與這個正數(shù)與這n n個正數(shù)的倒數(shù)的乘積的和的最小值為個正數(shù)的倒數(shù)的乘積的和的最小值為_._.【解析【解析】設(shè)設(shè)0 0a a1 1aa2 2aa3 3aan n, ,則則因?yàn)榉葱蚝鸵驗(yàn)榉葱蚝蛠y序和亂序和順序和，順序和

27、，所以最小值為反序和所以最小值為反序和答案：答案：n nnn 111110,aaa12n12n111aaan.aaa6.6.設(shè)設(shè)a,b,ca,b,c都是正數(shù)，求證：都是正數(shù)，求證： 【證明【證明】由題意不妨設(shè)由題意不妨設(shè)abcabc0.0.由不等式的性質(zhì)，知由不等式的性質(zhì)，知a a2 2bb2 2cc2 2,abacbc.,abacbc.根據(jù)排序原理，得根據(jù)排序原理，得a a2 2bc+abbc+ab2 2c+abcc+abc2 2aa3 3c+bc+b3 3a+ca+c3 3b.b.又由不等式的性質(zhì)，知又由不等式的性質(zhì)，知a a3 3bb3 3cc3 3, ,且且abcabc. .再根據(jù)排序原理，得再根據(jù)排序原理，得a a3 3c+bc+b3 3a+ca+c3 3baba4 4+b+b4 4+c+c4 4. .由由及不等式的傳遞性，得及不等式的傳遞性，得a a2 2bc+abbc+ab2 2c+abcc+abc2 2aa4 4+b+b4 4+c+c4 4. .兩邊同除以兩邊同除以abcabc得證不等式成立得證不等式成立 444abcabc.abc