江蘇省蘇州市第五中學高考數(shù)學總復習 第3講 直接證明與間接證明課件

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1、第第3講直接證明與間接證明講直接證明與間接證明 知 識 梳 理 1直接證明(1)綜合法定義：從命題的條件出發(fā)，利用 ，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結論，直到完成命題的證明這樣的思維方法稱為綜合法(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結論)定義、公理、定理及運算法則 (3)分析法定義：從求證的結論出發(fā)，一步一步地探索 ，直到歸結為這個命題的條件，或者歸結為定義、公理、定理等這樣的思維方法稱為分析法保證前一個結論成立的 充分條件 2間接證明(1)反證法定義：在證明數(shù)學命題時，要證明的結論要么正確，要么錯誤，二者必居其一我們可以先假定命題結論的反面成立，在這個前提下，若

2、推出的結果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結論的反面不可能成立，由此斷定命題的結論成立這種證明方法叫作反證法(2)反證法的證題步驟是：作出否定結論的假設；進行推理，導出矛盾；否定假設，肯定結論辨 析 感 悟對三種證明方法的認識(1)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件()(2)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾()(3)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程() 感悟提升兩點提醒一是分析法是“執(zhí)果索因”，特點是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋找使結論成

3、立的充分條件，如(1)；二是應用反證法證題時必須先否定結論，把結論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推理，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法所謂矛盾主要指：與已知條件矛盾；與假設矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與公認的簡單事實矛盾；自相矛盾. 考點一綜合法的應用 【例1】 (2013新課標全國卷)設a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：規(guī)律方法 綜合法往往以分析法為基礎，是分析法的逆過程，但更要注意從有關不等式的定理、結論或題設條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導證明.審題路線從結論出發(fā)觀察不等式兩邊的符號移項(把不等式兩邊都變?yōu)檎?平方移項整理平方移項整理可得顯然成立的

4、結論規(guī)律方法 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵(2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證 證明m0，1m0.所以要證原不等式成立， 只需證(amb)2(1m)(a2mb2) 即證m(a22abb2)0， 即證(ab)20，而(ab)20顯然成立，故原不等式得證規(guī)律方法 用反證法證明不等式要把握三點：(1)必須先否定結論，即肯定結論的反面；(2)必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一

5、條件進行推證；(3)推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實矛盾等，且推導出的矛盾必須是明顯的 【訓練3】 已知a1，求證三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實數(shù)根 1分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知 2綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知 3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來 4利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結

6、論錯誤，并用假設的命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的 答題模板13反證法在證明題中的應用所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形(14分)反思感悟 (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，明確作假設是反證法的基礎，應用假設是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的(2)當證明的結論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時，常采用反證法(3)利用反證法證明時，一定要回到結論上去答題模板用反證法證明數(shù)學命題的答題模板：第一步：分清命題“pq”的條件和結論；第二步：作出與命題結論q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因，在于所作的假設綈q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題 【自主體驗】設直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實數(shù)k1，k2滿足k1k220.(1)證明：l1與l2相交；(2)證明：l1與l2的交點在橢圓2x2y21上