高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第四節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課件 理

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1、理數(shù)課標(biāo)版第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理教材研讀教材研讀文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行abababOlalb 、ab2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面,就說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),就說它們所

2、成的角是0的角.如圖所示,PAO就是斜線AP與平面所成的角.(2)線面角的范圍:.0,23.二面角的有關(guān)概念二面角的有關(guān)概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.4.平面與平面垂直的判定定理平面與平面垂直的判定定理1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直線l.若直線m,n滿足m,n,則()A.mlB.mnC.nlD.mn答案答案C對(duì)于A,m與l可能平行或異面,故A錯(cuò);對(duì)于B、D,m與n可能平行、相交或異面,故B、D錯(cuò);對(duì)于C,

3、因?yàn)閚,l,所以nl,故C正確.故選C.2.已知直線a,b和平面,且ab,a,則b與的位置關(guān)系為()A.bB.bC.b或bD.b與相交答案答案C由ab,a知b或b,但直線b不與平面相交.3.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1答案答案 D易知AC平面BB1D1D.A1C1AC,A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D,A1C1B1O,故選D.4.一平面垂直于另一平面的一條平行線,則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是.答案答案垂直解析解析由線面平行的性質(zhì)定理知,若一直線平行于一平面,則該面內(nèi)必有

4、一直線與已知直線平行,再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面,另一條也垂直于該平面”得出結(jié)論.5.如圖,已知PA平面ABC,BCAC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為.答案答案4解析解析題圖中直角三角形為PAC、PAB、BCP、BCA,故直角三角形的個(gè)數(shù)為4.考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)典例典例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).(1)證明:CDAE;(2)證明:PD平面ABE.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破證明證明(1)在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,P

5、AAC=A,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中點(diǎn),AEPC.由(1)知,AECD,且PCCD=C,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD,又ABAD,ABPD.又ABAE=A,PD平面ABE.方法技巧方法技巧證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與一平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則該直線與另一個(gè)平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.1-1 S是RtABC

6、所在平面外一點(diǎn),且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證:SD面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD面SAC.證明證明(1)如圖所示,取AB的中點(diǎn)E,連接SE,DE,在RtABC中,D、E分別為AC、AB的中點(diǎn),DEBC,DEAB,SA=SB,SAB為等腰三角形,SEAB.又SEDE=E,AB面SDE.又SD面SDE,ABSD.在SAC中,SA=SC,D為AC的中點(diǎn),SDAC.又ACAB=A,SD面ABC.(2)由于AB=BC,則BDAC,由(1)知,SD面ABC,又BD面ABC,SDBD,又SDAC=D,BD面SAC.考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性

7、質(zhì)典例典例2(2016天津,17改編)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,BAD=60,G為BC的中點(diǎn).(1)求證:FG平面BED;(2)求證:平面BED平面AED.證明證明(1)取BD的中點(diǎn)O,連接OE,OG.在BCD中,因?yàn)镚是BC的中點(diǎn),所以O(shè)GDC且OG=DC=1,又因?yàn)镋FAB,ABDC,EF=1,所以EFOG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FGOE.又FG 平面BED,OE平面BED,所以FG平面BED.12(2)在ABD中,AD=1,AB=2,BAD=60,由余弦定理可得BD=,進(jìn)而ADB=90,即BDAD

8、.又因?yàn)槠矫鍭ED平面ABCD,BD平面ABCD,平面AED平面ABCD=AD,所以BD平面AED.又因?yàn)锽D平面BED,所以平面BED平面AED.3方法技巧方法技巧面面垂直的證明方法(1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明二面角的平面角為直角的問題.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決.2-1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等邊三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8.(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),證明:平

9、面MBD平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積.3解析解析(1)證明:在ABD中,AD=4,BD=4,AB=8,AD2+BD2=AB2.ADBD.又平面PAD平面ABCD,3平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,BD平面PAD.又BD平面MBD,平面MBD平面PAD.(2)過點(diǎn)P作POAD于O,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面ABCD.即PO為四棱錐P-ABCD的高.又PAD是邊長為4的等邊三角形,PO=4=2.在RtADB中,斜邊AB上的高為=2,此即為梯形ABCD的高.S梯形ABCD=2=12.3234 4 38348233VP-ABCD=12

10、2=24.1333考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明典例典例3 (2016江蘇,16,14分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求證:(1)直線DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.證明證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DEAC,于是DEA1C1.又因?yàn)镈E 平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱

11、柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因?yàn)锳1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因?yàn)锽1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因?yàn)锽1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.命題角度二平行與垂直關(guān)系中的探索性問題命題角度二平行與垂直關(guān)系中的探索性問題典例典例4如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,S

12、A=SD,SAAB,N是棱AD的中點(diǎn).(1)求證:AB平面SCD;(2)求證:SN平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一點(diǎn)P,使得平面PBD平面ABCD?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.SPPC解析解析(1)證明:因?yàn)锳BCD是矩形,所以ABCD,又因?yàn)锳B 平面SCD,CD平面SCD,所以AB平面SCD.(2)證明:因?yàn)锳BSA,ABAD,SAAD=A,所以AB平面SAD,又因?yàn)镾N平面SAD,所以ABSN.因?yàn)镾A=SD,且N為AD的中點(diǎn),所以SNAD.又因?yàn)锳BAD=A,所以SN平面ABCD.(3)在棱SC上存在一點(diǎn)P,使得平面PBD平面ABCD.理由:如圖,連接BD交NC于點(diǎn)

13、F,在SNC中,過F作FPSN,交SC于點(diǎn)P,連接PB,PD.因?yàn)镾N平面ABCD,所以FP平面ABCD.又因?yàn)镕P平面PBD,所以平面PBD平面ABCD.在矩形ABCD中,因?yàn)镹DBC,且N為AD的中點(diǎn),所以=.在SNC中,因?yàn)镕PSN,所以=.所以在棱SC上存在一點(diǎn)P,使得平面PBD平面ABCD,此時(shí)=.NFFCNDBC12NFFCSPPC12SPPC12命題角度三平行與垂直關(guān)系中的折疊問題命題角度三平行與垂直關(guān)系中的折疊問題典例典例5(2016課標(biāo)全國,19,12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到

14、DEF的位置.(1)證明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱錐D-ABCFE的體積.542解析解析(1)證明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.(2分)由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(4分)(2)由EFAC得=.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以O(shè)H=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以O(shè)D平面ABC.(8分)AEADCFCDOHDOAEAD1422ABAO2

15、又由=得EF=.五邊形ABCFE的面積S=68-3=.(10分)所以五棱錐D-ABCFE的體積V=2=.(12分)EFACDHDO9212129269413694223 22方法技巧方法技巧平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的處理策略(1)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明,探索點(diǎn)存在問題,點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中的某一個(gè),也可以根據(jù)相似知識(shí)取點(diǎn).(2)折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.3-1如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證:(1)PA底面

16、ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.證明證明(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD,且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn),所以ABDE,且AB=DE.所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BEAD.又因?yàn)锽E 平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD,且四邊形ABED為平行四邊形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD,又PAAD=A,所以CD平面PAD.所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn),所以PDEF,故CDEF.又因?yàn)镋F平面BEF,BE平面B

17、EF,且EFBE=E,所以CD平面BEF.又因?yàn)镃D平面PCD,所以平面BEF平面PCD.3-2如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn).現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起,在折起的圖形中解答下列問題:(1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)K,使BC平面DFK?若存在,請(qǐng)證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由;(2)若平面ADE平面ABCE,求證:平面BDE平面ADE.解析解析(1)如圖,線段AB上存在一點(diǎn)K,且當(dāng)AK=AB時(shí),BC平面DFK.證明如下:14設(shè)H為AB的中點(diǎn),連接EH,則BCEH,AK=AB,F為AE的中點(diǎn),KFEH,KFBC,KF平面DFK,BC 平面DFK,BC平面DFK.14(2)證明:在折起前的圖形中E為CD的中點(diǎn),AB=2,BC=1,在折起后的圖形中,AE=BE=,2從而AE2+BE2=4=AB2,AEBE.平面ADE平面ABCE,平面ADE平面ABCE=AE,BE平面ADE,BE平面BDE,平面BDE平面ADE.