()第六版同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)課后答案詳解

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1、 同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)課后答案全集第一章習(xí)題1-1 1. 設(shè)A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 寫出AB, AB, AB及A(AB)的表達(dá)式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +), A(AB)=-10, -5). 2. 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合, 證明對(duì)偶律: (AB)C=AC BC . 證明 因?yàn)?x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC, 所以 (AB)C=AC BC . 3. 設(shè)映射f : X Y, AX, BX . 證明 (1)f(AB)=f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)f(B

2、). 證明 因?yàn)?yf(AB)$xAB, 使f(x)=y (因?yàn)閤A或xB) yf(A)或yf(B) yf(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因?yàn)?yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因?yàn)閤A且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B),所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 設(shè)映射f : XY, 若存在一個(gè)映射g: YX, 使, , 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對(duì)于每一個(gè)xX, 有IX x=x; 對(duì)于每一個(gè)yY, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 證明 因?yàn)閷?duì)于任意的yY, 有x=g(y)X,

3、且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y(jié)的滿射. 又因?yàn)閷?duì)于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此f既是單射, 又是滿射, 即f是雙射. 對(duì)于映射g: YX, 因?yàn)閷?duì)每個(gè)yY, 有g(shù)(y)=xX, 且滿足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定義, g是f的逆映射. 5. 設(shè)映射f : XY, AX . 證明: (1)f -1(f(A)A; (2)當(dāng)f是單射時(shí), 有f -1(f(A)=A . 證明 (1)因?yàn)閤A f(x)=yf(A) f -1(y)=

4、xf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)A. (2)由(1)知f -1(f(A)A. 另一方面, 對(duì)于任意的xf -1(f(A)存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因?yàn)閥f(A)且f是單射, 所以xA. 這就證明了f -1(f(A)A. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函數(shù)的自然定義域: (1); 解 由3x+20得. 函數(shù)的定義域?yàn)? (2); 解 由1-x20得x1. 函數(shù)的定義域?yàn)?-, -1)(-1, 1)(1, +). (3); 解 由x0且1-x20得函數(shù)的定義域D=-1, 0)(0, 1. (4); 解 由4-x20得 |x|0得函數(shù)的定義

5、域D=(-1, +). (10). 解 由x0得函數(shù)的定義域D=(-, 0)(0, +). 7. 下列各題中, 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因?yàn)槎x域不同. (2)不同. 因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同, x0, 1-x20. 因?yàn)楫?dāng)x1x2時(shí), , 所以函數(shù)在區(qū)間(-, 1)內(nèi)是單調(diào)增加的. (2)對(duì)于任意的x1, x2(0, +), 當(dāng)x1x2時(shí), 有 , 所以函數(shù)y=x+ln x在區(qū)間(0, +)內(nèi)是單調(diào)增加

6、的. 10. 設(shè) f(x)為定義在(-l, l)內(nèi)的奇函數(shù), 若f(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加, 證明f(x)在(-l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 證明 對(duì)于x1, x2(-l, 0)且x1-x2. 因?yàn)閒(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù), 所以f(-x2)f(-x1), -f(x2)f(x1), 這就證明了對(duì)于x1, x2(-l, 0), 有f(x1)0); 解 由0x+a1得-ax1-a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域?yàn)?a, 1-a. (4) f(x+a)+f(x-a)(a0). 解 由0x+a1且0x-a1得: 當(dāng)時(shí), ax1-a; 當(dāng)時(shí), 無解. 因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閍, 1-

7、a, 當(dāng)時(shí)函數(shù)無意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求fg(x)和gf(x), 并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40(圖1-37). 當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時(shí), 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域. 圖1-37 解 , 又從得, 所以. 自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組h0, 確定, 定義域?yàn)? 20. 收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵(lì)銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺(tái)以上的, 每多訂購1臺(tái), 售價(jià)就降低1分, 但最低價(jià)為每臺(tái)75元. (1)將

8、每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購量x的函數(shù); (2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù); (3)某一商行訂購了1000臺(tái), 廠方可獲利潤多少？ 解 (1)當(dāng)0x100時(shí), p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此當(dāng)x1600時(shí), p=75. 當(dāng)100xN時(shí), xn與其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =0.001時(shí), 求出數(shù)N. 解 . . e 0, 要使|x n-0|N, 有|xn-0|0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (2); 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (3); 分析 要使, 只須. 證明 因?yàn)?/p>

9、e0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (4). 分析 要使|0.99 9-1|, 只須0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有|0.99 9-1|0, $NN, 當(dāng)nN時(shí), 有, 從而|un|-|a|un-a|0, $NN, 當(dāng)nN時(shí), 有. 從而當(dāng)nN時(shí), 有 , 所以. 6. 對(duì)于數(shù)列xn, 若x2k-1a(k), x2k a(k ), 證明: xna(n). 證明 因?yàn)閤2k-1a(k), x2k a(k ), 所以e0, $K1, 當(dāng)2k-12K1-1時(shí), 有| x2k-1-a|2K2時(shí), 有|x2k-a|N, 就有|xn-a|e . 因此xna (n).習(xí)題1-3 1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

10、 (1); 分析 因?yàn)?|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8|0, $, 當(dāng)0|x-3|d時(shí), 有 |(3x-1)-8|e , 所以. (2); 分析 因?yàn)?|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|0, $, 當(dāng)0|x-2|d時(shí), 有 |(5x+2)-12|0, $, 當(dāng)0|x-(-2)|0, $, 當(dāng)時(shí), 有 , 所以. 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1); 分析 因?yàn)?, 所以要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)|x|X時(shí), 有 , 所以. (2). 分析 因?yàn)?. 所以要使, 只須,

11、 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)xX時(shí), 有 , 所以. 3. 當(dāng)x2時(shí), y=x24. 問d等于多少, 使當(dāng)|x-2|d時(shí), |y-4|0.001？ 解 由于當(dāng)x2時(shí), |x-2|0, 故可設(shè)|x-2|1, 即1x3. 要使 |x2-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001, 只要. 取d=0.0002, 則當(dāng)0|x-2|d時(shí), 就有|x2-4|X時(shí), |y-1|0.01? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x0時(shí)極限為零. 證明 因?yàn)?|f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|f(x)-0|e, 只須|x|0, $d=e, 使當(dāng)0|x-

12、0|d, 時(shí)有 |f(x)-0|=|x|-0|0, $X10, 使當(dāng)x-X1時(shí), 有|f(x)-A|0, 使當(dāng)xX2時(shí), 有|f(x)-A|X時(shí), 有|f(x)-A|0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|d 時(shí), 有|f(x)-A|e . 因此當(dāng)x0-dxx0和x0xx0+d 時(shí)都有|f(x)-A|0, $d10, 使當(dāng)x0-d1xx0時(shí), 有| f(x)-A0, 使當(dāng)x0xx0+d2時(shí), 有| f(x)-A|e . 取d=mind1, d2, 則當(dāng)0|x-x0|d 時(shí), 有x0-d1xx0及x0xx0+d2 , 從而有| f(x)-A|0及M0, 使當(dāng)|x|X時(shí), |f(x)|0, 當(dāng)|x|X時(shí)

13、, 有|f(x)-A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A|f(x)-A|+|A|0及M0, 使當(dāng)|x|X時(shí), |f(x)|0, $d=e , 當(dāng)0|x-3|0, $d=e , 當(dāng)0|x-0|104？ 證明 分析, 要使|y|M, 只須, 即. 證明 因?yàn)镸0, $, 使當(dāng)0|x-0|104. 4. 求下列極限并說明理由: (1); (2). 解 (1)因?yàn)? 而當(dāng)x 時(shí)是無窮小, 所以. (2)因?yàn)?x1), 而當(dāng)x0時(shí)x為無窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義, 填寫下表:f(x)Af(x)f(x)+f(x)-xx0e0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有恒|

14、f(x)-A|0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.x+x-解f(x)Af(x)f(x)+f(x)-xx0e0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|x-x0|d時(shí), 有恒f(x)0, $d0, 使當(dāng)0x-x0d時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使當(dāng)0x-x0M.M0, $d0, 使當(dāng)0x-x0M.M0, $d0, 使當(dāng)0x-x0d時(shí), 有恒f(x)0, $d0, 使當(dāng)0x0-xd時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使當(dāng)0x0-xM.M0,

15、$d0, 使當(dāng)0x0-xM.M0, $d0, 使當(dāng)0x0-xd時(shí), 有恒f(x)0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)0, $X0, 使當(dāng)x-X時(shí), 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使當(dāng)xM.e0, $X0, 使當(dāng)xM.e0, $X0

16、, 使當(dāng)x-X時(shí), 有恒f(x)0, 在(-, +)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), 就有| y(2kp)|M. 當(dāng)x+ 時(shí), 函數(shù)y=xcos x不是無窮大. 這是因?yàn)镸0, 找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn), 使對(duì)一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如(k=0, 1, 2, ), 對(duì)任何大的N, 當(dāng)k充分大時(shí), 總有, 但|y(x)|=00, 在(0, 1中總可以找到點(diǎn)xk, 使y(xk)M. 例如當(dāng)(k=0, 1, 2, )時(shí), 有, 當(dāng)k充分大時(shí), y(xk)M. 當(dāng)x0+ 時(shí), 函數(shù)不是

17、無窮大. 這是因?yàn)?M0, 對(duì)所有的d0, 總可以找到這樣的點(diǎn)xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取(k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=00. 因?yàn)閒(x)在x0連續(xù), 所以, 由極限的局部保號(hào)性定理, 存在x0的某一去心鄰域, 使當(dāng)x時(shí)f(x)0, 從而當(dāng)xU(x0)時(shí), f(x)0. 這就是說, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)xU(x0)時(shí), f(x)0. 5. 試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子: (1)x=0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有間斷點(diǎn), 且它們都是無窮間斷點(diǎn); 解 函數(shù)在點(diǎn)x=0

18、, 1, 2, , , n, , 處是間斷的,且這些點(diǎn)是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn). (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù); 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù). (3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點(diǎn)連續(xù). 解 函數(shù)在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù). 習(xí)題1-9 1. 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間, 并求極限, 及. 解 , 函數(shù)在(-, +)內(nèi)除點(diǎn)x=2和x=-3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-, -3)、(-3, 2)、(2, +). 在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x=0處, . 在函數(shù)的間斷點(diǎn)x=2和x=-3處, , . 2. 設(shè)函數(shù)f(x)與g

19、(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 證明函數(shù) j(x)=maxf(x), g(x), y(x)=minf(x), g(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 證明 已知, . 可以驗(yàn)證 , . 因此 , . 因?yàn)?=j(x0),所以j(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 同理可證明y(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 3. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7). 解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)x=0有定義, 所以 . (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以 . (3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以 .

20、(4) . (5) . (6) . (7) . 4. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5). 因?yàn)?, , 所以. (6) . 5. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(-, +)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(-, +)內(nèi)連續(xù), 只須f(x)在x=0處連續(xù), 即只須 . 因?yàn)? , 所以只須取a=1. 習(xí)題1-10 1. 證明方程x5-3x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間. 證明 設(shè)f(x)=x5-3x-1, 則f(x)是閉區(qū)間1, 2上的連續(xù)函數(shù). 因?yàn)閒(1)=-3, f(

21、2)=25, f(1)f(2)0, 所以由零點(diǎn)定理, 在(1, 2)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(1x0, b0, 至少有一個(gè)正根, 并且它不超過a+b. 證明 設(shè)f(x)=asin x+b-x, 則f(x)是0, a+b上的連續(xù)函數(shù). f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=asin(a+b)-10. 若f(a+b)=0, 則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個(gè)不超過a+b的根; 若f(a+b)0, 則f(0)f(a+b)0, 由零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)x(0, a+b), 使f(x)=0, 這說明x=x 也是方程x=asinx+b的一個(gè)不超過a+b的根. 總之,

22、方程x=asinx+b至少有一個(gè)正根, 并且它不超過a+b. 3. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于閉區(qū)間a, b上的任意兩點(diǎn)x、y, 恒有|f(x)-f(y)|L|x-y|, 其中L為正常數(shù), 且f(a)f(b)0. 證明: 至少有一點(diǎn)x(a, b), 使得f(x)=0. 證明 設(shè)x0為(a, b)內(nèi)任意一點(diǎn). 因?yàn)?, 所以 , 即 . 因此f(x)在(a, b)內(nèi)連續(xù). 同理可證f(x)在點(diǎn)a處左連續(xù), 在點(diǎn)b處右連續(xù), 所以f(x)在a, b上連續(xù). 因?yàn)閒(x)在a, b上連續(xù), 且f(a)f(b)0, 由零點(diǎn)定理, 至少有一點(diǎn)x(a, b), 使得f(x)=0. 4. 若f(x)在a, b上連續(xù)

23、, ax1x2 xn0, 存在X0, 只要|x|X, 就有 |f(x)-A|e , 即A-ef(x)0, 使|f(x)|M, x-X, X. 取N=maxM, |A-e|, |A+e|, 則|f(x)|N, x(-, +), 即f(x)在(-, +)內(nèi)有界. 6. 在什么條件下, (a, b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？總習(xí)題一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi): (1)數(shù)列xn有界是數(shù)列xn收斂的_條件. 數(shù)列xn收斂是數(shù)列xn有界的_的條件. (2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的_條件. 存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的_

24、條件. (3) f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的_條件. 是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的_條件. (4)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的右極限f(x0+)及左極限f(x0-)都存在且相等是存在的_條件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論: 設(shè)f(x)=2x+3x-2, 則當(dāng)x0時(shí), 有( ). (A)f(x)與x是等價(jià)無窮小; (B)f(x)與x同階但非等價(jià)無窮小; (C)f(x)是比x高階的無窮小; (D)f(x)是比x低階的無窮小. 解 因?yàn)?(令2x-1=t, 3x-1=u)

25、 .所以f(x)與x同階但非等價(jià)無窮小, 故應(yīng)選B. 3. 設(shè)f(x)的定義域是0, 1, 求下列函數(shù)的定義域: (1) f(ex); (2) f(ln x); (3) f(arctan x); (4) f(cos x). 解 (1)由0ex1得x0, 即函數(shù)f(ex)的定義域?yàn)?-, 0. (2) 由0 ln x1得1xe , 即函數(shù)f(ln x)的定義域?yàn)?, e. (3) 由0 arctan x 1得0xtan 1, 即函數(shù)f(arctan x)的定義域?yàn)?, tan 1. (4) 由0 cos x1得(n=0, 1, 2, ), 即函數(shù)f(cos x)的定義域?yàn)? (n=0, 1, 2

26、, ). 4. 設(shè) , , 求ff(x), gg(x), fg(x), gf(x). 解 因?yàn)閒(x)0, 所以ff(x)=f(x); 因?yàn)間(x)0, 所以gg(x)=0; 因?yàn)間(x)0, 所以fg(x)=0; 因?yàn)閒(x)0, 所以gf(x)=-f 2(x). 5. 利用y=sin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形: (1)y=|sin x|; (2)y=sin|x|; (3). 6. 把半徑為R的一圓形鐵片, 自中心處剪去中心角為a的一扇形后圍成一無底圓錐. 試將這圓錐的體積表為a的函數(shù). 解 設(shè)圍成的圓錐的底半徑為r, 高為h, 依題意有 R(2p-a)=2pr , , . 圓錐的體積為 (0a0, 要使, 只需|x-3|e, 取d=e, 當(dāng)0|x-3|d時(shí), 就有|x-3|e, 即, 所以.